(姜堰第二中學(xué),江蘇 泰州 225500))

文獻(xiàn)[1]指出簡(jiǎn)化解析幾何的運(yùn)算一直是解析幾何研究的重點(diǎn)，并提出兩個(gè)視角，即幾何視角和代數(shù)視角.文獻(xiàn)[2]通過(guò)“先定后證”從代數(shù)視角有效地簡(jiǎn)化了解析幾何中定點(diǎn)定值問(wèn)題的運(yùn)算.文獻(xiàn)[3]給出5種策略：設(shè)而不求、巧用幾何性質(zhì)、合理翻譯條件、利用常見(jiàn)結(jié)論、爭(zhēng)取整體替代.而實(shí)際上，繁分式的運(yùn)算與化簡(jiǎn)才是解析幾何運(yùn)算的難點(diǎn)，如何簡(jiǎn)化此類運(yùn)算才是廣大師生的共同追求，由此筆者進(jìn)一步提出解決策略：換個(gè)順序，先算后代，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

圖1

2)已知△ABF外接圓的圓心在直線y=-x上，求橢圓的離心率e的值．

(2019年江蘇省數(shù)學(xué)高考模擬試題第17題)

由點(diǎn)C在線段AB的中垂線上，得

整理得

b(a-c)+b2=ac,

即

(b-c)(a+b)=0.

因?yàn)閍+b>0，所以b=c,故橢圓的離心率

評(píng)注此為常規(guī)思路，在得到點(diǎn)C的坐標(biāo)后，直接代入線段AB的中垂線方程進(jìn)行運(yùn)算，雖然整體運(yùn)算量不大，但仍可以換個(gè)順序，先算后代，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

第2)小題另解因?yàn)椤鰽BF外接圓的圓心在直線y=-x上，所以可設(shè)△ABF的外心為C(x0,-x0)，由外心的性質(zhì)知點(diǎn)C在線段AF的中垂線上，且滿足AC=BC，則

(1)

且

(2)

由式(1)和式(2)可得b=c，

故

例2已知⊙C的方程為(x+1)2+y2=1，過(guò)y軸正半軸上一點(diǎn)P(0,2)且斜率為k的直線l交⊙C于點(diǎn)A,B，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，直線l的斜率k=______.

思路1直線l的斜率存在且直線l的方程為y=kx+2，即kx-y+2=0,從而

至此陷入運(yùn)算的困境，要得到最終答案，還得費(fèi)一番心思.

思路2直線l的斜率存在且直線l的方程為y=kx+2，即kx-y+2=0,代入圓的方程(x+1)2+y2=1,得

(k2+1)x2+2(2k+1)x+4=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

又

Δ=[2(2k+1)]2-16(k2+1)>0，

從而

與思路1一樣，想得到最終答案也不容易.

評(píng)注上述兩個(gè)常規(guī)思路均將△ABC的面積表示為關(guān)于斜率k的函數(shù)，但由于函數(shù)表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜，不易求得最大值.這就暗示我們要進(jìn)行換位思考，用另外的變量來(lái)表示△ABC的面積，在求得最大值后，再去求相應(yīng)的斜率.

解法1直線l的斜率存在且直線l的方程為y=kx+2，即kx-y+2=0,從而

解法2設(shè)∠ACB=θ(其中0<θ<π)，則

說(shuō)明思路1與思路2均將△ABC的面積直接表示為斜率k的函數(shù)，但函數(shù)表達(dá)式過(guò)于繁瑣，最大值不好求.在重新調(diào)整思路后，借助不同于斜率k的變量(點(diǎn)C到直線AB的距離dC-AB或∠ACB)建立了新的函數(shù)，其表達(dá)式簡(jiǎn)潔，易于求得最大值.在S△ABC取得最大值的條件下很快求得相應(yīng)的斜率的值，快速達(dá)成問(wèn)題的解決.這里運(yùn)用了“換個(gè)順序，先算后代”的策略，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

實(shí)際上，思路1和思路2的問(wèn)題在于運(yùn)算得太徹底，其實(shí)中間的運(yùn)算步驟已經(jīng)能解決問(wèn)題，調(diào)整如下：

1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

圖2

2)如圖2，設(shè)A為橢圓E的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C(1,0)的直線與橢圓E交于點(diǎn)M,N，直線AM與直線l:x=9交于點(diǎn)T，問(wèn)：直線TN是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路1這是定點(diǎn)問(wèn)題，常規(guī)思路是先設(shè)后求.

(5+9k2)x2-18k2x+9k2-45=0,

從而

于是

x1x2=5(x1+x2)-9.

從而

故直線NT的方程為

即

亦即直線NT的方程為

綜上可知直線NT過(guò)定點(diǎn)(3,0).

(5m2+9)y2+10my-40=0,

于是

4(y1+y2)=my1y2.

從而

于是直線NT的方程為

故直線NT過(guò)定點(diǎn)B(3,0).

評(píng)注設(shè)直線NT的方程為x=my+1，可以減去斜率不存在的討論，運(yùn)算量也稍簡(jiǎn)單一點(diǎn).當(dāng)然，與前面一樣，要不是4(y1+y2)=my1y2的幫忙(注：此式的得來(lái)要比x1x2=5(x1+x2)-9容易多了)，也會(huì)很麻煩.

思路3既然此題為定點(diǎn)問(wèn)題，也可用文獻(xiàn)[2]先定后證的方法簡(jiǎn)化運(yùn)算.

(5m2+9)y2+10my-40=0,

于是

4(y1+y2)=my1y2.

于是

說(shuō)明在實(shí)施先定后證后，運(yùn)算量確實(shí)大大減少，思路1和思路2能改進(jìn)嗎？

思路1和思路2在實(shí)施先設(shè)后證時(shí)，均遇到了繁分式的運(yùn)算與化簡(jiǎn)問(wèn)題，并且運(yùn)算量極大，相當(dāng)困難，要不是兩根之和與兩根之積的巧妙轉(zhuǎn)化，還不知要算到何時(shí)？下面同樣運(yùn)用先算后代的策略來(lái)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.

從而

簡(jiǎn)化運(yùn)算始終是解析幾何的主旋律,代數(shù)與幾何是兩大主方向.這里從代數(shù)恒等變換的角度提出“換個(gè)順序，先算后代”的策略，給出了一種新的簡(jiǎn)化解析幾何運(yùn)算量的策略.這是一種全新的解題體驗(yàn)，也是對(duì)文獻(xiàn)[3]提出的5種經(jīng)典策略的有力補(bǔ)充.當(dāng)然，追求永無(wú)止境，希讀者做更開(kāi)闊的探索與研究.