張前晟

摘 要?排列組合問題簡(jiǎn)潔易懂，解題方法靈活多樣，蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)原理與豐富的數(shù)學(xué)技巧。因此，排列組合既是高考的核心內(nèi)容，也是學(xué)生們的難點(diǎn)痛點(diǎn)。計(jì)數(shù)的基本原則是不重不漏，許多錯(cuò)誤都來源于計(jì)算中的重復(fù)計(jì)數(shù)。本文就重復(fù)的來源進(jìn)行了梳理分析，并給出例題解析。

關(guān)鍵詞?高考;重復(fù)計(jì)數(shù);排列組合;易錯(cuò)題

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2019）05-0200-02

排列組合部分內(nèi)容既自成體系，又是古典概型的基礎(chǔ)，在高中數(shù)學(xué)占有重要地位，也是高考一大熱點(diǎn)。至于其題型分類繁雜，解法靈活多變，并有一定的技巧性，稍有不慎便會(huì)出錯(cuò)。計(jì)數(shù)的基本原則是不重不漏，究其原因相當(dāng)一部分錯(cuò)解都是重復(fù)計(jì)數(shù)惹的禍。那么題目千變?nèi)f化，重復(fù)計(jì)數(shù)又是從何而來的呢？

一、分類不清導(dǎo)致的重復(fù)

例1：有5瓶墨水，其中紅色1瓶，藍(lán)色、黑色各2瓶。某同學(xué)從中任取兩瓶，若取出的兩瓶中至少有一瓶是藍(lán)色的取法有________種。

錯(cuò)解：分兩步進(jìn)行，第一步去一瓶藍(lán)色有種，第二步在剩余的4瓶墨水中任取一瓶有種，由乘法原理共種。

錯(cuò)因分析：?jiǎn)栴}是至少含有一瓶是藍(lán)色，將5瓶墨水按藍(lán)色和非藍(lán)色分類，包含恰有1瓶藍(lán)色和恰有2瓶藍(lán)色。錯(cuò)解錯(cuò)在沒有分類，將兩類混為一談。我們用樹狀圖表示一下錯(cuò)解的過程：

明顯，藍(lán)1、藍(lán)2兩瓶出現(xiàn)了重復(fù)。

正解：分兩種情況：①兩瓶都是藍(lán)色：②兩瓶中1瓶是藍(lán)色，另1瓶是黑色或紅色：，應(yīng)用分類加法原理共種。

同類型題：從男同學(xué)和名女同學(xué)中選人去參加一個(gè)會(huì)議，規(guī)定男女同學(xué)至少各有人參加，下面是不同的選法種數(shù)的三個(gè)算式：①;②;③

則其中確算式的個(gè)數(shù)是（ ）

A.???????B.???????C.???????D.

錯(cuò)解：D

錯(cuò)音分析：考慮分步抽取，沒有按男女生分類而多選①

正解：C

例2：現(xiàn)有甲、乙、丙、丁等七名同學(xué)排成一排照相，要求甲乙相鄰或丙丁相鄰的不同排列有________種。

錯(cuò)解：分兩種情況考慮：①甲乙相鄰的不同排列個(gè)數(shù)，對(duì)甲乙應(yīng)用捆綁法：;②丙丁相鄰的不同排列個(gè)數(shù)，對(duì)丙丁應(yīng)用捆綁法：.所以總數(shù)為：。

錯(cuò)因分析：以上解法中雖然用到了分類討論，但分類討論的類型并不準(zhǔn)確.從事件發(fā)生的角度來看，甲乙相鄰與丙丁相鄰兩件事情并不互斥.在一次排列中，甲乙相鄰和丙丁相鄰可能同時(shí)發(fā)生（如圖所示）.所以，當(dāng)兩次討論時(shí)，這一部分的計(jì)數(shù)重復(fù)了。

正解：在以上解法的基礎(chǔ)上，考慮甲乙和丙丁同時(shí)分別相鄰的情況：分別對(duì)甲乙、丙丁使用捆綁法，共，所以：。

點(diǎn)評(píng)：分類討論是高中重要的思想方法，對(duì)應(yīng)著加法計(jì)數(shù)原理.在排列組合中，準(zhǔn)確把握題目意思后有必要先進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸愑懻?，從而從源頭上保證計(jì)數(shù)不重不漏。

二、順序不明導(dǎo)致的重復(fù)

例3：將6本不同的書，分成三堆，每堆兩本，則有多少種不同的分法？

錯(cuò)解：按題目要求，依次從六本書中取出兩本作為一堆，則種。

錯(cuò)因分析：分堆問題和分配問題不同，關(guān)鍵在順序，與每堆的元素個(gè)數(shù)有關(guān).依次取書中隱含有先后順序，如與不同.而平均分成三堆，每堆個(gè)數(shù)相同，堆與堆之間不計(jì)順序.以上兩種算同一種分法，出現(xiàn)重復(fù)。

正解：依次從六本書中取出兩本，共種方法.除去三堆之間的順序，即應(yīng)該有種。

例4：安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有________種。

錯(cuò)解：分兩步完成：先從4項(xiàng)工作中取出3項(xiàng)分配給3個(gè)人，共種，再將剩下的一個(gè)工作分給3人中的一人，由分步乘法原理求得：種.

錯(cuò)因分析：上述解法中將4個(gè)工作分兩步進(jìn)行了分配，最后用乘法原理乘在一起，將兩次分配的先后順序考慮在內(nèi)，勢(shì)必出現(xiàn)重復(fù).

正解：將4份工作先分成不同的三堆：1，1，2，共種，其次再把三組工作分配給3個(gè)人，種.

三、點(diǎn)評(píng)

n個(gè)不同元素按照條件分配給k個(gè)不同的對(duì)象稱為分配問題，分定向分配與不定向分配兩種問題;將n個(gè)不同元素按照某種條件分成k組，稱為分組問題，分組問題有不平均分組、平均分組、部分平均分組三種情況.分組問題和分配問題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同是不區(qū)分的，而后者即使2組元素個(gè)數(shù)相同，但因所屬對(duì)象不同，仍然是可區(qū)分的.對(duì)于后者必須先分組再排列.

例5：6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（ ）

A.144 ?????B.120 ??????C.72 ??????D.24

錯(cuò)解：三人任意兩人不相鄰，用插空法：種，答案選A.

錯(cuò)因分析：本題與6人排隊(duì)照相不鄰問題不同，這里空的是凳子，彼此之間沒有左右順序的區(qū)別，所以不用考慮留空中的順序.題目中隱含著去序的要求.

正解：用3個(gè)椅子留4個(gè)空，將三個(gè)人插進(jìn)去，即：種，答案選D.