☉西北師范大學教育學院 張定強

☉西北師范大學教育學院 梁會芳

☉西北師范大學教育學院 楊 怡

一、引言

普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）凝練了數(shù)學學科核心素養(yǎng)，其本質是描述學生經過數(shù)學教育后應當具有的數(shù)學特質，具體可以歸納為“三會”，即會用數(shù)學的眼光觀察世界；會用數(shù)學的思維思考世界；會用數(shù)學的語言表達世界.“三會”是對數(shù)學核心素養(yǎng)的高度概括，是聯(lián)系數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁，也是數(shù)學教育培養(yǎng)的目標.但“三會”目標的落實首先要體現(xiàn)在數(shù)學課程內容中.“回歸分析”是統(tǒng)計學中的重要內容之一，是通過建立統(tǒng)計模型研究變量間相關關系的密切程度、結構狀態(tài)及進行模型預測的一種有效的工具.在大數(shù)據(jù)時代，學習它可以使我們對所觀測到的數(shù)據(jù)加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里，對提升數(shù)據(jù)信息素養(yǎng)有著重要的價值.為此，本文對人教A版和北師大版教科書中“回歸分析”的內容從“三會”的視域下進行研究，以期為深度解讀數(shù)學教科書提供參考樣例.

二、研究對象與內容

1.研究對象

回歸分析是對具有不確定關系（即相關關系）的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種方法，是聯(lián)系數(shù)學知識與實際生活的有效橋梁.考慮到比較對象的代表性與典型性，本文主要選取使用比較廣泛的兩版教科書：人教A版和北師大版，對其選修2-3第三章“統(tǒng)計案例”中的“回歸分析”相關內容進行對比分析.

2.內容框架

運用文本分析和比較研究的方法，對人教A版和北師大版教科書關于“回歸分析”的內容結構進行分析，從整體的知識結構來說，兩版教科書關于“回歸分析”內容的建構都是建立在必修3所學的統(tǒng)計內容的基礎之上，并且均以案例的方式對回歸分析的基本思想進行展開.但從具體的知識結構來說，兩版教科書在必修和選修知識結構的分布以及側重點方面都存在著顯著的差異，具體如表1所示.

表1 “回歸分析”整體知識結構分析

由表1可知，無論是必修模塊還是選修模塊，人教A版都是把相關內容作為一整節(jié)來處理，而北師大版在編排的過程中將其細化，分為不同的小節(jié)來加以呈現(xiàn).對此筆者將從“三會”的視域對其建構過程進行深度解析，以明晰其建構特點，充分挖掘并體會統(tǒng)計思維的特點，以開闊思路，探尋培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神的基點.

三、研究結果

“三會”是數(shù)學在人與世界之間搭建的一座“立交橋”，是數(shù)學教育育人功能的全面概括，也是數(shù)學教育落實立德樹人根本任務的具體路徑.史寧中教授提出，為了使廣大數(shù)學教育工作者能夠有機地將數(shù)學核心素養(yǎng)融入到教材編寫、教育研究以及教育教學過程中，需要將“三會”具體化，賦予其內涵，即六大數(shù)學核心素養(yǎng).下面從數(shù)學眼光、數(shù)學思維、數(shù)學語言三個維度對兩版教科書中回歸分析的內容進行分析.

1.數(shù)學眼光視角下的比較分析

所謂數(shù)學眼光是指從客觀現(xiàn)象或事物中捕捉出其蘊含的數(shù)學特征和數(shù)學觀點的意識和能力.具體而言就是數(shù)學抽象，而與數(shù)學抽象最為密切的直觀想象，則是實現(xiàn)數(shù)學抽象的思維基礎.

高中數(shù)學教科書中，回歸分析作為研究成對隨機變量相關關系的重要思想與方法，對于學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的形成有著其獨特的功能.對兩版教科書的內容組織進行對比發(fā)現(xiàn)（如表2），無論是人教A版還是北師大版，都是以案例、探究或問題提出的形式，利用文字+表格和文字+表格+圖像的表征方式將數(shù)據(jù)直觀化，通過畫散點圖直觀抽象出兩個變量之間的相關關系，利用給定案例中的數(shù)量關系確定回歸方程的參數(shù)，從而得到具體的回歸模型，使學生從實際的情境中展開認識活動，從具體的情境中抽象出學習對象，進而有利于學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

表2 兩版教科書內容組織對比分析

由表2發(fā)現(xiàn)，兩版教科書對于內容的表征大多采用文字+表格或文字+表格+圖像的形式，使學生利用數(shù)據(jù)的直觀圖表進行數(shù)據(jù)分析，從而發(fā)展其直觀想象素養(yǎng).直觀圖是培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)的主要載體，為了了解兩版教科書在圖像使用方面的差別，對兩版教科書平均圖文比（幅/頁）、平均圖題比（幅/道）進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)兩版教科書對于習題的圖像設置雖沒有明顯差異，但對于整體圖像的使用頻率相差較大.具體而言，人教A版“回歸分析”內容共11頁，其中課文插圖、習題插圖共6幅，圖題比為0.5，圖文比為0.55；北師大版“回歸分析”內容共14頁，其中課文插圖、習題插圖共16幅，圖題比為0.5，圖文比高達1.14，北師大版教科書圖像的使用頻率明顯高于人教A版，更有助于學生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).

2.數(shù)學思維視角下的比較分析

數(shù)學思維是指用數(shù)學的觀點去思考問題和解決問題的能力，具體而言就是邏輯推理，而數(shù)學運算即是邏輯推理的一種特殊形式，同時也是實現(xiàn)數(shù)學思維的邏輯基礎.

為了了解兩版教科書是如何基于數(shù)學思維建構的，筆者做出對比分析（如表3）.

表3 兩版教科書“思維建構”對比分析

由表3可以發(fā)現(xiàn)，從邏輯推理的合理性看，北師大版比人教A版更符合學生的思維建構.如從線性回歸方程的計算公式的推導來看，兩版教科書的設計都是在必修階段利用最小二乘法求回歸方程的基礎之上進行，但人教A版是通過探究的方式，直接給出其推導過程，略顯突兀；而北師大版在邏輯體系建構的過程中，以案例的形式鏈接必修模塊的相關內容，在案例分析與理解的過程中層層遞進，有條理地得出線性回歸方程，與學生的邏輯思維聯(lián)系更加緊密，易于學生的理解和內化.從邏輯推理的關聯(lián)性看，人教A版比北師大版的關聯(lián)更為密切.如從回歸模型擬合效果的探討來看，北師大版是以問題提出的形式，直接引入線性相關系數(shù)來判斷線性相關程度的大小，與前文建構的邏輯關聯(lián)性不強；而人教A版則是以案例分析的方法得出線性回歸模型的數(shù)學表達式，通過對不可觀測量——隨機誤差的探究分析，引入模型擬合效果的分析工具：殘差分析和R2，更符合學生的邏輯思維習慣.從邏輯推理的可操作性看，人教A版比北師大版更易操作.如從回歸模型的建構過程和兩個模型擬合效果優(yōu)劣的對比來看，人教A版在建構過程中，明確給出了具體的操作步驟，使學生在邏輯推理過程中有據(jù)可循，從而更有利于學生掌握規(guī)范的解題步驟，并感知數(shù)學的嚴謹性.

另外，對比兩版教科書關于學生數(shù)學運算素養(yǎng)的要求發(fā)現(xiàn)：人教A版和北師大版在回歸分析這一知識體系的建構過程中，對于學生的數(shù)學運算素養(yǎng)要求都較高，包括對回歸方程中參數(shù)的計算、回歸假設檢驗的計算等.但從非線性回歸模型的可線性化來看，北師大版介紹了幾種常見的非線性函數(shù)，并給出了相應的變換步驟，學生只需根據(jù)變換步驟進行簡單的計算即可；而人教A版在建構的過程中，學生需要通過對散點圖的觀察，自行調動已有的認知體系中的函數(shù)模型，進而確定回歸模型的類型，聯(lián)系并結合相關知識對原始數(shù)據(jù)進行相應的變換（如對預報變量的對數(shù)變換或解釋變量的平方變換等），從而實現(xiàn)非線性關系的可線性化，相比之下，人教A版對于學生的運算素養(yǎng)要求則更高一些.同時，兩版教科書在建構的過程中，都暗含著對數(shù)學運算工具使用的強調，包括科學計算器、計算機電子表格軟件、MATLAB軟件等，從而有利于減輕學生的運算負擔.

3.數(shù)學語言視角下的比較分析

數(shù)學語言是在數(shù)學思維中產生和發(fā)展的，也是數(shù)學思維的有效載體，具體而言包括文字語言、符號語言、圖形語言，具有抽象、嚴密、簡潔、通用等特點.回歸數(shù)學世界，數(shù)學語言指的是數(shù)學建模與數(shù)據(jù)分析，它是溝通數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁，是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學發(fā)展的動力.

回歸模型是高中數(shù)學學習的主要模型之一，是揭示事物間相關變量的數(shù)量關系的有效模型.從回歸模型建構的角度看，其建構過程如圖1所示.

兩版教科書在模型建構的過程中都強調通過作散點圖對數(shù)據(jù)進行分析，注重非線性相關模型的可線性化，以及利用最小二乘法建立回歸模型等，雖然兩版教科書對于模型檢驗的方法有所差異，但對于回歸假設檢驗的思想是兩版教科書選修模塊的重點內容，可以使學生深入體會回歸模型不僅能近似描述產生樣本數(shù)據(jù)的真實模型，而且尋求近似效果更好的模型是統(tǒng)計方法的顯著特點，也是數(shù)學建模的本質所在.另外，兩版教科書對于回歸建模的過程均不完整，對于實際問題回歸模型的建立和分析應主要包括設置指標變量、收集與整理數(shù)據(jù)、構建理論模型、估計模型參數(shù)、回歸模型檢驗、利用模型進行預測等幾個環(huán)節(jié)，而人教A版和北師大版在建構的過程中都缺乏對設置指標變量以及收集與整理數(shù)據(jù)的設計.對于指標變量的設置，人教A版在分析回歸模型的過程中，對于解釋變量、預報變量以及隨機誤差之間的關系進行了簡單的描述，有助于學生更好地理解函數(shù)關系與相關關系之間的差異.但針對具體問題，在回歸模型建構的過程中，不再提及誰是解釋變量、誰是預報變量，以及影響預報變量的隨機誤差有哪些；而北師大版在建構的過程中，對于變量的設置從未提及，更加強調在具體案例的解決過程中，體會變量的意義.回歸模型是建立在回歸變量樣本統(tǒng)計數(shù)據(jù)的基礎之上的，收集、整理數(shù)據(jù)是最基礎的一環(huán)，是學生經歷一個完整統(tǒng)計活動的入口，但兩版教科書在編寫的過程中都淡化了對這一環(huán)節(jié)的設置.

四、研究結論與展望

1.結論

基于“三會”視域對人教A版和北師大版教科書關于回歸分析的相關內容進行對比分析發(fā)現(xiàn)：兩版教科書對于回歸分析知識的建構思路與側重點不同，使其在數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等方面的表現(xiàn)既有相似之處，也存在一定的差異性.在數(shù)學眼光的視角下，兩版教科書都以案例、探究或問題的方式串聯(lián)組織內容，抽象出具體模型，發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).對于圖像的使用頻率，北師大版明顯高于人教A版，更有助于培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)；在數(shù)學思維的視角下，從邏輯推理的合理性看，北師大版比人教A版更符合學生的思維建構，但從邏輯推理的關聯(lián)性和可操作性看，人教A版的思維建構關聯(lián)更密切且更易操作.同時，兩版教科書對于數(shù)學運算素養(yǎng)的要求都較高，強調數(shù)學工具的使用；在數(shù)學語言的視角下，兩版教科書都強調回歸建模思想的滲透以及數(shù)據(jù)的可視化，但對于回歸模型的建構過程均不完整，缺乏對設置指標變量以及收集與整理數(shù)據(jù)的設計.

圖1 “回歸模型”建構對比圖

2.展望

教科書作為聯(lián)結教師和學生的一種有效的課程資源，其內容的選取、建構的思路對于數(shù)學教育的育人價值會產生極其重要的影響.統(tǒng)計學是一門與數(shù)據(jù)打交道的科學，對于處在大數(shù)據(jù)背景下的學生來說，數(shù)據(jù)可以幫助其認識世界，對未來進行合理的預測.以數(shù)學的眼光審視數(shù)據(jù)，以數(shù)學的思維思考數(shù)據(jù)，以數(shù)學的語言表達數(shù)據(jù)，才能有效挖掘數(shù)據(jù)背后所潛藏的價值，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，實現(xiàn)數(shù)學教育的育人目標.

回歸分析是處理兩個變量之間的關系的一種統(tǒng)計方法與技術，同時也是看待事物的一種統(tǒng)計觀念，蘊含著重要的思想方法.因此在教科書編寫的過程中，以統(tǒng)計案例的形式呈現(xiàn)其知識內容和主體結構，使學生在解決問題的過程中，領悟統(tǒng)計的思想，從而形成統(tǒng)計觀念，充分體現(xiàn)教科書的教育性、科學性、心理性和專業(yè)性.但利用回歸分析解決問題是建立在統(tǒng)計模型的基礎之上，只有使學生親身經歷回歸模型建構的全過程，體會其統(tǒng)計模型的作用，感悟其統(tǒng)計思維，才能搭起回歸分析與現(xiàn)實世界的有效橋梁.因此，不僅教科書要體現(xiàn)對“三會”的要求，而且在教育教學的過程中，更應該重視、利用一切諸如教材等資源，實現(xiàn)“三會”所要達成的目標，為學生提供最優(yōu)的課堂教學.