◇史寧中

中國(guó)傳統(tǒng)教育注重“雙基”，要求基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)、基本技能熟練。2005年，在啟動(dòng)《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》修訂時(shí)，我就在思考：數(shù)學(xué)到底研究什么？要求學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)到底要培養(yǎng)什么？本世紀(jì)初的課程改革提出三維目標(biāo)：知識(shí)與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價(jià)值觀。其中關(guān)于“過程與方法”的描述，使用了“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”等動(dòng)詞，但是沒有明確經(jīng)歷過程所要達(dá)到的目的是什么。事實(shí)上，所有這些思考，都指向一個(gè)目標(biāo)：教育要從“以知識(shí)為本”轉(zhuǎn)變?yōu)椤耙匀藶楸尽薄?/p>

一、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本思想的形成與發(fā)展

單純強(qiáng)調(diào)“雙基”的教育理念是以知識(shí)為本，因?yàn)椤爸R(shí)本質(zhì)上是一種結(jié)果，可以是思考的結(jié)果，也可以是實(shí)踐的結(jié)果，所以以知識(shí)為本的教育是結(jié)果的教育”［1］。雖然知識(shí)是重要的，但以知識(shí)為本的教育缺少了對(duì)智慧的培養(yǎng)。智慧表現(xiàn)在過程中——學(xué)生玩的過程、解題的過程、思考的過程以及想象的過程等，在過程中表現(xiàn)出的事物必須通過有過程的教育。因此，未來的、以人為本的教育應(yīng)該是“結(jié)果+過程”的教育，引導(dǎo)學(xué)生在掌握知識(shí)和技能的同時(shí)，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?；净顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)包括兩類：一是思維的經(jīng)驗(yàn)，二是實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)。這就是“過程”教育所要達(dá)到的目標(biāo)，通過“經(jīng)歷”“體驗(yàn)”培養(yǎng)學(xué)生會(huì)想問題、會(huì)做事情，因?yàn)闀?huì)想問題、會(huì)做事情依賴的不是教師的“講授”，而是學(xué)生自己的“感悟”。當(dāng)然還需要數(shù)學(xué)的根基，這就是數(shù)學(xué)的基本思想。

基于這樣的思考，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，把傳統(tǒng)的“雙基”變成了現(xiàn)在的“四基”，在基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，加上基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

現(xiàn)在，我們強(qiáng)調(diào)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科在人的素養(yǎng)發(fā)展中起到的作用，也就是說，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)成長(zhǎng)為什么樣的人，這就是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展也離不開經(jīng)驗(yàn)的積累，如果在教學(xué)中，注重了以人為本，注重了“結(jié)果＋過程”的教育，那么學(xué)生的核心素養(yǎng)一定會(huì)得到發(fā)展。

二、對(duì)空間的抽象能力的培養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》是這樣描述數(shù)學(xué)的：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律?！?/p>

這里提到了數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象。對(duì)于數(shù)學(xué)教育而言，更為基礎(chǔ)的問題是：人為什么能夠抽象？是如何進(jìn)行抽象的？這不僅是哲學(xué)認(rèn)識(shí)論的問題，而且涉及數(shù)學(xué)教育的起點(diǎn)及數(shù)學(xué)教育何以可能。

要討論人對(duì)空間的抽象，我們需要思考：學(xué)生是如何形成關(guān)于圖形與幾何知識(shí)的？學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)是什么？毋庸置疑，一切知識(shí)都是源于經(jīng)驗(yàn)。但是，人對(duì)空間的感知是從零開始的？還是從一些與生俱來的本能開始的？這曾經(jīng)是哲學(xué)爭(zhēng)論的焦點(diǎn)，或許只有到現(xiàn)在才能回答這個(gè)問題。從上個(gè)世紀(jì)末開始的表觀遺傳學(xué)、腦科學(xué)以及認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的研究成果表明，人認(rèn)識(shí)世界的先天本能是存在的，本能的充分表達(dá)需要后天相應(yīng)經(jīng)驗(yàn)的刺激。對(duì)空間的認(rèn)識(shí)，我想人對(duì)距離“遠(yuǎn)近”的感知是一種本能，通過相應(yīng)的數(shù)學(xué)教育可以拓展到對(duì)物體大小的感知、對(duì)線段長(zhǎng)短的感知。這就是圖形與幾何教育的起點(diǎn)，也是教育的核心。對(duì)大小的感知涉及度量，包括“距離”“長(zhǎng)度”“面積”“體積”。

數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，比如把2 匹馬、2 個(gè)蘋果等抽象為數(shù)2。數(shù)量的本質(zhì)是多少，與此相對(duì)應(yīng)，數(shù)的本質(zhì)是大小。對(duì)數(shù)量“多少”的感知也是人的本能，是數(shù)與代數(shù)教學(xué)的起點(diǎn)。對(duì)距離“遠(yuǎn)近”的感知也是人的本能，是圖形與幾何教學(xué)的起點(diǎn)。幾何的本質(zhì)在于度量，度量的關(guān)鍵在于兩點(diǎn)間的距離，這樣，就可以通過數(shù)軸把幾何的度量和數(shù)聯(lián)系在一起，使得數(shù)學(xué)成為一個(gè)有機(jī)的整體。所以，小學(xué)教師應(yīng)當(dāng)建立一個(gè)基本觀念：數(shù)和形的關(guān)系是通過數(shù)與長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)表達(dá)的，使得數(shù)學(xué)融為一體，通過幾何建立直觀，通過代數(shù)進(jìn)行表達(dá)。

什么是空間？空間是三維的。《呂氏春秋·慎大覽·下賢》曾記載：精充天地而不竭，神覆宇宙而無望。這里談到的“宇宙”，東漢高誘的注解是：四方上下曰宇，以屋喻天地也；往古來今曰宙，言其神而包覆之，無望無界畔也。也就是說，世界的廣度為宇，而四方上下就是三維空間，宙是指時(shí)間。

關(guān)于空間是三維的，亞里士多德在《論天》中也提到：連續(xù)乃是可以分成部分的東西能夠永遠(yuǎn)再分，物體就是在一切方面都可分的東西。大小如在一個(gè)方面可分就是線，在兩個(gè)方面可分乃為面，在三個(gè)方面可分則是體。除了這些，再無其他大小，因?yàn)槿S就是全部，三個(gè)方面就是一切方面。

空間抽象的核心，或者說圖形抽象的本質(zhì)，就是把三維空間的物體表達(dá)在二維平面上。圖1表明，圖形抽象是源于實(shí)踐、源于生活的；圖形抽象也經(jīng)歷了從具體到一般的過程，最終抽象成為具有象征意義的平面圖形。

圖1 圖形抽象的過程

幾何學(xué)源于古埃及。古希臘歷史學(xué)家希羅多德在《歷史》一書中記載：埃及第一次有了量地法，而希臘人又從那里學(xué)到了它。英語(yǔ)geometry源于古希臘語(yǔ)，在希臘語(yǔ)中是土地測(cè)量的意思，是由希臘語(yǔ)中的土地和測(cè)量復(fù)合而成的。

中國(guó)古代是如何研究空間的呢？勾股定理出于《周髀算經(jīng)》，該書開篇記載了周公與商高的問答。周公問：昔者包犧立周天歷度。夫天不可階而升，地不可得尺寸而度。請(qǐng)問數(shù)安從出。商高答：數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。這段話的意思是，周公問：古代包犧（伏羲）是如何制定歷法的呢？天高不可攀，地遠(yuǎn)不可量，他是如何知道天有多高、地有多廣呢？商高答：數(shù)出于天圓地方，自然之形。圓出于方，方出于直角，直角出于數(shù)的自乘?；跀?shù)的自乘，可以得到：“句廣三，股修四，徑隅五”，就是我們通常說的勾三、股四、弦五。

商高的回答蘊(yùn)含了勾股定理與天有多高、地有多廣的關(guān)系?！吨荀滤憬?jīng)》記載著周朝關(guān)于髀的計(jì)算方法，開篇就談到勾股定理是為了得到直角，使表（髀）垂直于地面。中國(guó)古代認(rèn)識(shí)地理方位的方法是“土圭之法”，即“立竿測(cè)影”的方法?！吨芏Y·地官》記載：平臺(tái)上豎立 8 尺之表（髀），圭 1.5 尺。意思是說在平臺(tái)上豎直立一根高8尺的竿子，進(jìn)行測(cè)量。早在夏朝，人們就用“土圭之法”測(cè)量日影的長(zhǎng)度，夏朝人利用竿子，每天中午測(cè)量太陽(yáng)的影長(zhǎng)，比較一年中影子最長(zhǎng)和最短的時(shí)間，得到了冬至和夏至。冬至和夏至的日影長(zhǎng)相加除以2，得到春分或秋分。人們又發(fā)現(xiàn)夏至這一天的影長(zhǎng)每隔四年才重合一次，四年一共有 1461 天，用 1461 除以 4 得到一年是天，這也說明了分?jǐn)?shù)在這個(gè)時(shí)候就已經(jīng)出現(xiàn)了。

古代人認(rèn)識(shí)地球的周長(zhǎng)與太陽(yáng)的高度，都是通過日影。對(duì)于日影的長(zhǎng)度，存在一個(gè)有趣的關(guān)系：古希臘人認(rèn)為地球是圓的、太陽(yáng)很遠(yuǎn)，可以產(chǎn)生影子；古代中國(guó)人認(rèn)為地是平的、太陽(yáng)不遠(yuǎn)，也能產(chǎn)生影子。兩種想法不同，但測(cè)量影子得到的結(jié)果卻相差不大。

古希臘的亞歷山大圖書館中記載，被西方譽(yù)為“地理學(xué)之父”的埃拉托色尼，發(fā)現(xiàn)夏至這一天，阿斯旺（點(diǎn)A）在北回歸線上、立竿無影，而在亞歷山大城（點(diǎn)B）則測(cè)得 7.5 度的日影，如圖2所示。據(jù)此，埃拉托色尼認(rèn)為地球是圓的、太陽(yáng)光平行照射在地球上。他又派人測(cè)量了亞歷山大城到阿斯旺的距離大約為5000 希臘里，大約折合現(xiàn)在的800 千米，所以得到地球周長(zhǎng)800÷7.5 360≈40000（千米）。

圖2 測(cè)量地球的周長(zhǎng)

中國(guó)人過去認(rèn)為太陽(yáng)很近，所以希望計(jì)算的是太陽(yáng)的高度。因?yàn)榉窃诒被貧w線上，他們知道，夏至那一天正午，在番禺立竿無影，如《呂氏春秋》記載：夏至日行近道，乃參與上……日中無影。據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，周人在夏至那一天，利用“土圭之法”在咸陽(yáng)立8 尺長(zhǎng)的表，測(cè)得日影長(zhǎng)為1.5 尺。于是，周人規(guī)定番禺到咸陽(yáng)兩地的距離為1.6 萬里，然后利用正切的思想，也就是相似直角三角形兩個(gè)直角邊之比為一個(gè)常數(shù)，可以計(jì)算得到，太陽(yáng)與地球的距離大約 8 萬里，如圖3所示。周朝的一里大約折合現(xiàn)在的80 米，關(guān)于這個(gè)問題的詳細(xì)討論，可以參見我的一篇文章《宅茲中國(guó)：周人確定 “地中” 的地理和文化依據(jù)》，發(fā)表在《歷史研究》2012年第 6 期。

圖3 中國(guó)古時(shí)候確定太陽(yáng)的高度

三、如何在教學(xué)中培養(yǎng)空間觀念

數(shù)學(xué)抽象出研究對(duì)象以后，主要是認(rèn)識(shí)這些研究對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律。在認(rèn)識(shí)的過程中，幫助學(xué)生建立直觀理解數(shù)學(xué)、把握事物本質(zhì)，積累把握共性、分辨差異的思維經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成利用圖形理解問題的思維習(xí)慣，是非常重要的。這樣的培養(yǎng)宜早不宜晚。

在培養(yǎng)空間觀念的過程中，需要同時(shí)關(guān)注幾何直觀?？臻g觀念是把三維空間的物體抽象成二維圖形，研究的問題主要是位置關(guān)系、變化規(guī)律；幾何直觀是利用圖形認(rèn)識(shí)問題、啟發(fā)思路、預(yù)測(cè)結(jié)果。二者相輔相成、不可或缺。

在空間觀念的培養(yǎng)上，要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，關(guān)注學(xué)段和知識(shí)的劃分。劉鵬飛在他的博士論文《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程學(xué)段劃分研究》中提出建議：“義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)可按照三個(gè)階段安排：第一學(xué)段（一、二年級(jí)）為‘?dāng)?shù)學(xué)感悟階段’；第二學(xué)段（三、四、五年級(jí)）為‘具體抽象階段’；第三學(xué)段（六、七、八、九年級(jí)）則是‘抽象模型階段’?！边@項(xiàng)研究有一定價(jià)值，從學(xué)段與認(rèn)知的角度，小學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)可以分為如下三個(gè)階段。

一至二年級(jí)學(xué)生應(yīng)該認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的物體，感悟三維空間，把握共性、分辨差異。學(xué)生能把空間的感悟抽象為上下、左右、前后，感受物體不僅有高低、胖瘦，還有前后。以圓柱和長(zhǎng)方體為例，因?yàn)閷W(xué)生容易發(fā)現(xiàn)差異，不容易發(fā)現(xiàn)共性，所以教師要著重引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)圓柱和長(zhǎng)方體的共性是什么?？梢試L試讓學(xué)生搭積木，理解空間的表達(dá)不僅有高低和胖瘦，還有前后，可以借助分類活動(dòng)體會(huì)共性和差異。一至二年級(jí)學(xué)生需要在分類活動(dòng)中學(xué)會(huì)自己制定分類的標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生懂得要按制定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。

三至四年級(jí)學(xué)生應(yīng)該從三維空間的圖形中，把點(diǎn)、線、面這些基本概念抽象出來，知道這些概念的性質(zhì)，即兩點(diǎn)決定一條直線，三點(diǎn)決定一個(gè)平面；知道這些概念的關(guān)系，即點(diǎn)在線上、線在面上、面在體上；感悟度量的本質(zhì)，即兩點(diǎn)間的距離；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，建立幾何直觀。設(shè)計(jì)一些活動(dòng)是非常重要的，如讓學(xué)生拆盒子：三年級(jí)學(xué)生會(huì)把三維的盒子的展開圖表達(dá)在二維平面上；四年級(jí)學(xué)生會(huì)從二維的展開圖想象出三維的盒子，從而建立三維空間和二維平面之間的聯(lián)系。這樣的直觀對(duì)未來學(xué)習(xí)立體幾何、解析幾何非常重要。

五至六年級(jí)學(xué)生需要感悟幾何度量的重要性，知道為什么要設(shè)置統(tǒng)一的度量單位，學(xué)會(huì)基于兩點(diǎn)間距離的各種度量方法，會(huì)度量長(zhǎng)度、面積、體積、角度，并且基于度量重新認(rèn)識(shí)空間。例如，如何理解基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間直線段最短”，如何從這個(gè)基本事實(shí)出發(fā)推導(dǎo)出三角形兩邊之和大于第三邊。再如，通過體積的計(jì)算，知道對(duì)于一個(gè)給定的矩形，以寬為軸旋轉(zhuǎn)得到的圖形體積大于以長(zhǎng)為軸旋轉(zhuǎn)得到的圖形體積。

基于這樣的思考，圖形與幾何的教學(xué)也可以相應(yīng)地劃分為三個(gè)階段。