楊洪玖，李 鵬

(燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

0 引言

近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的廣泛使用和通信技術(shù)的迅猛發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)被越來(lái)越多地應(yīng)用到控制系統(tǒng)中，從而產(chǎn)生了網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)。隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的不斷發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)通信能力得到了極大的提升，某些情況下的通信時(shí)延已經(jīng)達(dá)到了很小的數(shù)量級(jí)，從而大大改善了網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的控制效果[1]。對(duì)于那些具有長(zhǎng)時(shí)延和多丟包的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，采用預(yù)測(cè)控制可以有效補(bǔ)償時(shí)延和丟包，使系統(tǒng)達(dá)到滿(mǎn)意的控制效果[2-3]。網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測(cè)控制是一種基于時(shí)延的補(bǔ)償策略，因此需要知道網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的時(shí)鐘信息。發(fā)送端發(fā)送數(shù)據(jù)包時(shí)，需要將發(fā)送時(shí)刻的時(shí)鐘信息也加上，從而接收端可以根據(jù)接收時(shí)刻與發(fā)送時(shí)刻的時(shí)鐘差值得到時(shí)延信息。對(duì)于某些網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)全部網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的時(shí)鐘同步是不現(xiàn)實(shí)的，也是非必要的。對(duì)于網(wǎng)絡(luò)化控制來(lái)說(shuō)，我們只關(guān)心系統(tǒng)的回路時(shí)延，即傳感器到控制器和控制器到執(zhí)行器的時(shí)延之和，并總能用預(yù)測(cè)控制算法將回路時(shí)延補(bǔ)償?shù)?。不同的是，精確的時(shí)鐘同步下，各個(gè)通道的單程時(shí)延都可以知道，從而減小控制器需要發(fā)送數(shù)據(jù)包的大小，節(jié)省網(wǎng)絡(luò)帶寬資源[4-5]。

針對(duì)一類(lèi)控制器節(jié)點(diǎn)與被控對(duì)象節(jié)點(diǎn)時(shí)鐘非同步的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，本文研究了對(duì)時(shí)延和丟包的變?cè)鲆骖A(yù)測(cè)補(bǔ)償問(wèn)題。在本文所設(shè)計(jì)的方案中，首先在本地端設(shè)置狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)獲得更精確的狀態(tài)估計(jì)值。在預(yù)測(cè)控制器端，設(shè)計(jì)一套變?cè)鲆婢W(wǎng)絡(luò)化預(yù)測(cè)控制算法來(lái)補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)中產(chǎn)生的時(shí)延和丟包[6-9]。通過(guò)錐補(bǔ)線(xiàn)性化的方法將控制器求解過(guò)程中的非線(xiàn)性矩陣不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一組帶約束的線(xiàn)性矩陣不等式，得到了閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，同時(shí)得到滿(mǎn)足控制要求的狀態(tài)觀測(cè)器參數(shù)和一組隨時(shí)延變化的控制器增益。最后，通過(guò)倒立擺模型的數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提出方案的有效性。本文內(nèi)容的主要貢獻(xiàn)點(diǎn)總結(jié)如下：

1) 針對(duì)帶有時(shí)延、丟包和時(shí)鐘非同步的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了變?cè)鲆婢W(wǎng)絡(luò)化預(yù)測(cè)控制器補(bǔ)償時(shí)延和丟包。

2) 采用錐補(bǔ)線(xiàn)性化的方法將非線(xiàn)性矩陣不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為帶約束的線(xiàn)性矩陣不等式問(wèn)題并求解優(yōu)化問(wèn)題。

3) 提出的設(shè)計(jì)方案降低了系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的保守性，同時(shí)簡(jiǎn)化了控制器參數(shù)的設(shè)計(jì)和調(diào)節(jié)的過(guò)程。

在沒(méi)有特別聲明的情況下，本文中的所有矩陣都具有合適的維度。Rn表示n維歐幾里得空間，P-1和PT分別表示矩陣P的逆矩陣和轉(zhuǎn)置矩陣。I代表具有合適維度的單位矩陣。P>0表示矩陣P是一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)實(shí)數(shù)矩陣。N代表非負(fù)整數(shù)集合。表達(dá)式diag{·}表示對(duì)稱(chēng)矩陣。記號(hào)*表示對(duì)稱(chēng)矩陣中的對(duì)稱(chēng)內(nèi)容。

1 系統(tǒng)模型與問(wèn)題描述

本文考慮如圖1所示的帶有時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)。

圖1 網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
Fig.1 Networked predictive control system diagram

在圖1中，被控對(duì)象的模型可描述為下面的離散方程：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),

(1)

y(k)=Cx(k),

(2)

式中，x(k)∈Rn，u(k)∈Rm和y(k)∈Rq分別代表系統(tǒng)的狀態(tài)向量，輸入向量和輸出向量，A、B和C是具有合適維度的已知常數(shù)矩陣。

為了方便本文研究，給出如下的假設(shè)條件。

假設(shè)1：系統(tǒng)模型(1)、(2)滿(mǎn)足(A,B)完全可控，(A,C)完全可觀測(cè)。傳感器、控制器和執(zhí)行器均為時(shí)間驅(qū)動(dòng)方式且具有相同的采樣周期。

假設(shè)2：所有發(fā)送到網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)包都有時(shí)間戳，網(wǎng)絡(luò)中傳感器節(jié)點(diǎn)和控制器節(jié)點(diǎn)的時(shí)鐘是非同步的，傳感器和執(zhí)行器的時(shí)鐘是同步的。

假設(shè)3：傳感器到控制器通信網(wǎng)絡(luò)和控制器到執(zhí)行器通信網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)總的傳輸時(shí)延范圍為τ1∈{1,2,…，H} ，反饋通道和前向通道的最大連續(xù)丟包數(shù)分別為N和R，則回路總時(shí)延τ(k)的上界為H=M+N+R。

2 主要工作

2.1 狀態(tài)觀測(cè)器

考慮到系統(tǒng)狀態(tài)不可由傳感器測(cè)量的情況，設(shè)計(jì)如下形式的狀態(tài)觀測(cè)器

(3)

(A-LC)e(k)。

(4)

2.2 預(yù)測(cè)控制器

(5)

最后，預(yù)測(cè)控制器將計(jì)算得到的H個(gè)預(yù)測(cè)控制量打包成如下的形式

τ(k)=(tr-ts)/T。

對(duì)于時(shí)間驅(qū)動(dòng)的傳感器和執(zhí)行器，時(shí)延τ(k)總是整數(shù)。執(zhí)行器將預(yù)測(cè)控制量u(k|k-τ(k))作為當(dāng)前時(shí)刻的實(shí)際控制量。當(dāng)下一采樣時(shí)刻沒(méi)有新的預(yù)測(cè)控制量數(shù)據(jù)包被接收時(shí)，則使用數(shù)據(jù)包中對(duì)下一時(shí)刻的預(yù)測(cè)控制量u(k+1|k-τ(k))作為真實(shí)控制量。

在這種固定增益的預(yù)測(cè)控制算法下，閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以用下式來(lái)描述

Ax(k)+BK(A+BK)τ(k)x(k-τ(k))-

BK(A+BK)τ(k)e(k-τ(k)),

(6)

式中，τ(k)∈{1,2,…,H}，閉環(huán)系統(tǒng)可以描述成上述包含H個(gè)子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)，應(yīng)用切換系統(tǒng)理論可以得到系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件。如式(6)形式的系統(tǒng)穩(wěn)定性證明已在文獻(xiàn)[10]中給出，此處不再贅述。

固定增益預(yù)測(cè)控制算法在傳輸時(shí)延和連續(xù)丟包步數(shù)較少時(shí)，可以很好地補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)中的時(shí)延和丟包。然而，控制器的參數(shù)K是針對(duì)系統(tǒng)中沒(méi)有時(shí)延和丟包的情況下設(shè)計(jì)的，雖然能夠使無(wú)網(wǎng)絡(luò)的控制系統(tǒng)獲得滿(mǎn)意的控制效果，但并沒(méi)有反映出網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中可能出現(xiàn)的時(shí)延，因此設(shè)計(jì)方法比較保守，并沒(méi)有考慮根據(jù)網(wǎng)絡(luò)時(shí)延情況來(lái)設(shè)計(jì)控制器。本文提出一種變?cè)鲆婢W(wǎng)絡(luò)化預(yù)測(cè)控制方案，控制器參數(shù)根據(jù)時(shí)延信息來(lái)設(shè)計(jì)，可以得到保守性更低的設(shè)計(jì)方法，同時(shí)使系統(tǒng)獲得更好的控制效果。下面給出本文的變?cè)鲆骖A(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)方案。

(7)

作為真實(shí)控制量。同傳統(tǒng)預(yù)測(cè)控制方法一樣，當(dāng)下一時(shí)刻執(zhí)行器沒(méi)有接收到新的數(shù)據(jù)包時(shí)，使用可利用數(shù)據(jù)包中對(duì)下一時(shí)刻的預(yù)測(cè)控制量u(k+1|k-τ(k))作為系統(tǒng)的真實(shí)控制量。

由上述預(yù)測(cè)控制方案可得閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(8)

令(BKτ(k)-BK0(A+BK0)τ(k))x(k-τ(k))=BK0e(k)，則系統(tǒng)狀態(tài)方程可改寫(xiě)為

x(k+1)=Ax(k)+
BK0(A+BK0)τ(k)x(k-τ(k))+
BK0e(k)-BKτ(k)e(k-τ(k))=
Ax(k)+BK0(A+BK0)τ(k)x(k-τ(k))+
BK0(A-LC)He(k-H)-
BKτ(k)(A-LC)H-τ(k)e(k-H)),

(9)

式中，τ(k)∈{1,2,…,H}，K0和L為在無(wú)網(wǎng)絡(luò)情況下能夠使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的控制器參數(shù)和觀測(cè)器參數(shù)，可以由極點(diǎn)配置的方法來(lái)得到。

由式(4)和(9)，閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)可以描述為下式所示的切換系統(tǒng)

(10)

式中，

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定理1 對(duì)于切換系統(tǒng)(10)，如果存在一個(gè)合適維數(shù)的正定對(duì)稱(chēng)矩陣P>0使得對(duì)于所有的τ(k)=1,2,…,H，都有

(11)

那么閉環(huán)切換系統(tǒng)在任意切換律下漸近穩(wěn)定。

證明根據(jù)切換系統(tǒng)理論，如果對(duì)所有的子系統(tǒng)存在一個(gè)公共的李雅普諾夫函數(shù)，且該函數(shù)隨時(shí)間的差分小于0，那么切換系統(tǒng)在任意切換條件下是漸近穩(wěn)定的。對(duì)于系統(tǒng)(10)，給定公共李雅普諾夫函數(shù)為

則有

令ΔV(k)<0，則可得定理1的結(jié)論。即對(duì)于有限個(gè)子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)(10)，如果對(duì)于所有的τ(k)=1,2,…,H，存在合適維數(shù)的正定對(duì)稱(chēng)矩陣P>0使得不等式(11)成立，則閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

證畢。

接下來(lái)，在定理1的條件下求解變?cè)鲆骖A(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。首先把閉環(huán)系統(tǒng)(10)改寫(xiě)為

(12)

式中，

下面給出控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程。對(duì)不等式(11)應(yīng)用Schur補(bǔ)引理，可以得到ΔV(k)<0等價(jià)于矩陣不等式

(13)

由于非線(xiàn)性項(xiàng)P-1的存在，式(13)不能應(yīng)用線(xiàn)性矩陣不等式的方法來(lái)求解。令Q=P-1替換掉非線(xiàn)性項(xiàng)P-1，然后采用錐補(bǔ)線(xiàn)性化的方法將下式轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性矩陣不等式

(14)

然后，通過(guò)求解優(yōu)化問(wèn)題minimize trace(PQ)，且同時(shí)滿(mǎn)足約束條件

(15)

從而得到一組優(yōu)化問(wèn)題的解，進(jìn)而得到控制器參數(shù)Kτ(k),τ(k)=1,2,…,H。

3 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)變?cè)鲆骖A(yù)測(cè)控制方案的有效性，使用圖2的倒立擺的模型進(jìn)行數(shù)值仿真。

圖2 倒立擺模型圖
Fig.2 Inverted pendulum model

對(duì)于通信網(wǎng)絡(luò)，給定回路的數(shù)據(jù)傳輸時(shí)延上界M=4，反饋通道和前向通道的最大連續(xù)丟包數(shù)分別為N=1和R=1，則整個(gè)回路由傳輸時(shí)延和丟包造成的總的時(shí)延上界為H=6。通過(guò)極點(diǎn)配置的方法給定滿(mǎn)足本地控制性能要求的控制器參數(shù)和觀測(cè)器參數(shù)分別為

然后通過(guò)求解滿(mǎn)足不等式約束(15)的優(yōu)化問(wèn)題，得到變?cè)鲆骖A(yù)測(cè)控制器的參數(shù)為

最后，仿真得到觀測(cè)器的觀測(cè)誤差曲線(xiàn)與閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)分別如圖3中(a)和(b)所示。

由圖3(a)可知，狀態(tài)觀測(cè)誤差漸近收斂到0，從而證明了所設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器的有效性。由圖3(b)可知，應(yīng)用本文設(shè)計(jì)的控制器參數(shù)可以使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。上述仿真結(jié)果證明了本文所提出的變?cè)鲆骖A(yù)測(cè)控制方案是有效的，系統(tǒng)能夠以接近本地控制的效果達(dá)到漸近穩(wěn)定。

圖3 狀態(tài)觀測(cè)誤差和系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)
Fig.3 State observation error and system state response curves

4 結(jié)論

本文研究了網(wǎng)絡(luò)時(shí)鐘不同步的情況下，帶有時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的變?cè)鲆骖A(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。根據(jù)切換系統(tǒng)理論，通過(guò)錐補(bǔ)線(xiàn)性化的方法將控制器求解過(guò)程中遇到的非線(xiàn)性矩陣不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性矩陣不等式問(wèn)題，通過(guò)求解一組優(yōu)化問(wèn)題，得到滿(mǎn)足條件的優(yōu)化問(wèn)題的解。最后通過(guò)倒立擺模型的數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)方案的有效性。