臧玉權
摘要:高中數(shù)學教學的主要目的是為了使學生在學習知識和解題的過程中逐步樹立數(shù)學思維并提高數(shù)學實踐能力,其中數(shù)學思維的培養(yǎng)與數(shù)學學習的方法有相當密切的關系,同時數(shù)學方法對數(shù)學實踐能力的養(yǎng)成也有重大影響。數(shù)學歸納法是一種數(shù)學學習的常用方法,其能夠簡化復雜、抽象的數(shù)學公式,在解決高中數(shù)學的各類題型中均能夠發(fā)揮相當?shù)淖饔?。?shù)學歸納法在解答或證明數(shù)列、不等式和函數(shù)等方面的問題中得到了最廣泛的運用,學生能夠在完成題目的過程中培養(yǎng)自身的觀察題目、分析題意、歸納有效信息及合情推理的能力。
關鍵詞:數(shù)學歸納法;高中數(shù)學;應用
中圖分類號:G634.6 文獻標識碼:A 文章編號:1672-1578(2019)02-0237-01
1.前言
在高中數(shù)學的學習過程中,很多題目都與自然數(shù)有關,因此在解題過程中數(shù)學歸納法得到了較多的運用。數(shù)學歸納法不僅是高中數(shù)學學習的重點,難度也相對比較大,因此也是常考的考點。因此學生在學習數(shù)學歸納法的概念及運用時,應當對其應用方式進行仔細深入的探究和討論,熟練地掌握數(shù)學歸納法能夠大幅度提升其數(shù)學成績,也能在一定程度上降低數(shù)學習題處理的難度,從而給予學生充分的信心和熱情。在如今的高中數(shù)學教學中,教師大多將數(shù)學歸納法與數(shù)列相關問題相聯(lián)系來進行講授,但其實數(shù)學歸納法在高中數(shù)學中的應用遠不止于此,其在解答或證明恒等式、不等式、函數(shù)和幾何等方面的問題中也能夠發(fā)揮很大的作用。
2.數(shù)學歸納法的概念
數(shù)學歸納法是一種數(shù)學證明方法,通常被用于證明某個給定命題是否在某個自然數(shù)范圍內成立等類似命題,除此之外,數(shù)學歸納法還可以被廣泛應用于數(shù)學定理證明中。數(shù)學的解題思路往往不止一條,因此在數(shù)學解題過程中,如果采用不同的證明方式,所得出的結論也可能會存在一定的差異。而數(shù)學歸納推理方法比較嚴謹,通過歸納已知信息得出普遍規(guī)律的方式能夠大幅度提高結論的準確性和科學性,因此其一般被應用于與自然數(shù)相關的數(shù)學題目中,比如證明等式、不等式和函數(shù)的成立等。
3.數(shù)學歸納法的應用步驟
3.1將其應用于常數(shù)命題證明中
在數(shù)學的解題過程中,如果能夠證明命題在某個常數(shù)條件下成立,則說明該命題在其他特殊情況下也應當成立,從而得出相關結論。這是證明題中比較常見的方法之一,既能夠得出準確結論,又能夠大幅度節(jié)省推算和演算的時間,提高解題效率。在具體的解題過程中,往往將1作為起點。
3.2將其應用于任意常數(shù)證明中
對任意常數(shù)條件運用數(shù)學歸納法進行證明這一步驟的成功與否會對命題的結論得出起到至關重要的作用。一般情況下,可以采用未知數(shù)k來表示任意常數(shù)。首先證明命題在n=k的基礎上成立,然后逐步推導出當n=k+1、n=k+2等情況下命題依然成立,即可證明整個命題是成立的,反之亦然。這一步驟是命題證明中的關鍵步驟,影響了證明結果的科學性。在使用數(shù)學歸納分析的方法時,應當首先從特殊情況開始討論,再討論一般情況,最終證明命題正確與否。
值得注意的是,以上步驟的第一步較為簡單,第二步難度較大,但第二步的完成與否將對整個證明過程產生更加重大的影響。
4.運用數(shù)學歸納法的作用
4.1幫助學生理清學習思路,樹立數(shù)學思維
教師在進行教學的過程中,應該明確歸納法的使用方法,從而能夠幫助學生梳理解題思路。眾所周知,運用數(shù)學歸納法解題時,歸納步驟無疑是非常重要的,其中合理歸納是歸納步驟中最基本、最重要的原則,教師應當引導學生主動遵循該原則,逐漸掌握運用數(shù)學歸納法的正確步驟。對于目前高中數(shù)學教學的實際情況來說,應用數(shù)學歸納法證明的命題有兩個基本類型:一是能直接應用歸納假設來證明的。在解決此類問題時,通常是通過適當變換等式或不等式來完成證明證明的;二是不能直接應用歸納假設來證明的。這類命題在解題時,現(xiàn)有的條件無法直接支持歸納假設的步驟,一般需要重新為應用歸納假設創(chuàng)造條件。其具體方法是:先將n=k+1帶人需要證明的命題,然后再將新得的表達式作適當?shù)淖儞Q。在高中數(shù)學教學中,這種論證題目需要學生全面分析題目,對已知條件做全面的解讀和歸納,有利于學生找到適合的解題思路,并促進數(shù)學思維的發(fā)展。
4.2有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力
在高中數(shù)學的學習中,很多知識都需要先進行論證才能更好地加以運用。例如,在學習數(shù)列相關的知識時,教師應當先帶領學生尋找數(shù)列的規(guī)律,進而進行歸納和總結,在歸納過程中,學生的思維能夠得到充分的調動,從而能夠在一定程度上提升了了學生的自主探索意識和創(chuàng)新意識。通過歸納法證明數(shù)學題目,能夠讓學生在對不同的證明題尋找不同規(guī)律的過程中提起興趣,進而更加熟練地掌握歸納總結規(guī)律的方法,從而提高學生的實踐能力和靈活運用解題方法的能力。
4.3活躍課堂氣氛,激發(fā)學生的學習熱情
在高中數(shù)學的學習中,學生往往會存在一定的精神壓力,認為學習內容比較困難且學習進度比較緊張,若課堂氛圍沉悶,則會進一步抑制學生的學習熱情。而運用數(shù)學歸納法能夠與情景教學法、多媒體教學法等新式教學法相結合,脫離傳統(tǒng)的板書式教學法的限制,從而能夠讓學生的心態(tài)更加放松,也更容易集中其注意力,提高學習效率的同時激發(fā)其對于數(shù)學學習的興趣,對其未來的數(shù)學學習大有裨益。
5.結語
綜上所述,對數(shù)學問題進行仔細觀察、合理猜想、歸納整理、抽象概括、證明是有效解決問題的重要途徑,也是正確解答數(shù)學問題的必經之路。因此,高中生應當熟練掌握數(shù)學歸納的方法,這對于其在解決高中階段的大多數(shù)證明題都能夠起到事半功倍的效果。從解題過程看,數(shù)學歸納法能夠節(jié)省時間、提高效率,也能夠提升解題的準確性;從數(shù)學思維看,數(shù)學歸納法更能夠激活學生的自主思考能力,從而有助于其培養(yǎng)清晰的邏輯思維。在高中數(shù)學的教學過程中,教師有必要對數(shù)學歸納法做詳細的講解,并引導學生熟練掌握其運用方法。