關(guān)于十進制無窮循壞小數(shù)的分數(shù)形式表示這一內(nèi)容在一般數(shù)學分析著作中很少涉及，有的即使涉及也是錯的（如文獻[1]）。鑒于這一內(nèi)容還是重要的，同時其表示法也非輕而易舉獲得，尤其重要的是得到了十進制無窮循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)的重要理論根據(jù)，故給予介紹。

定理1若正十進制無窮循環(huán)小數(shù)則，其中整數(shù)部分，

證，那么據(jù)條件得，，，

……

這里。

于是由上得……①

上面的n取遍全體自然數(shù)。

設(shè)，，，……，，則正項級數(shù)的部分和數(shù)列的通項，那么，于是據(jù)等比數(shù)列前n項和公式及（1）式得

證畢。

推論1若正十進制無窮循環(huán)小數(shù)，整數(shù)部分，則m=1時，A可用正分數(shù)（非整數(shù)）表示;m>1時，A可用正分數(shù)（非整數(shù)）

表示。

證設(shè)，

，則

那么m=1時，

m>1時

由于m=1時，為真分數(shù);m>1時，亦為真分數(shù)，那么本推論成立。

推論2正十進制無窮循環(huán)小數(shù)為有理數(shù)。

證據(jù)推論1可證。

定理2若負十進制無窮循壞小數(shù)整數(shù)部分-a0為零或負整數(shù)，則，

其中，

。

證仿定理1之證法可證。

推論1若負十進制無窮循環(huán)小數(shù)，整數(shù)部分-a0為零或負整數(shù)，則m=1時，A可用負分數(shù)（非整數(shù)）表示;m>1時，A可用負分數(shù)（非整數(shù)）

表示。

證仿定理1之推論1可證，易證而略。

推論2負十進制無窮循環(huán)小數(shù)為有理數(shù)。

證據(jù)推論1可證，易證而略。

下面是幾個例題

例1把用分數(shù)表示出來。

解。

例2把-用分數(shù)表示出來。

解。

例3把用分數(shù)表示出來。

解。

例4把用分數(shù)表示出來。

解。

例5把用分數(shù)表示出來。

解

例6把用分數(shù)表示出來。

解

我們還可以得到下面一些結(jié)果：

，，，，等等。

把無窮循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)有時是必要的，從這里也就證明了無窮循壞小數(shù)是有理數(shù)。

參考文獻

[1]楊守廉數(shù)學分析上冊中學教師《專業(yè)合格證書》數(shù)學教材北京師范學院出版社1989年12月第1次印刷P127

作者簡介：梁自溫，男，1945年生，湖南洞口縣人，畢業(yè)于原湖南中醫(yī)學院（現(xiàn)更名為湖南中醫(yī)藥大學），本科醫(yī)療專業(yè)，工余時間長期學習高等數(shù)學。