陳云 宋佳真 唐劍嵐

【摘?要】“圓的周長”是圖形與幾何的重要知識點。本知識點有三個教學難點：化曲為直測量圓周長的方法、發(fā)現(xiàn)圓周長與直徑的關(guān)系、圓周長公式的推導。傳統(tǒng)教學常常采用“繞繩”“滾動”等動手實驗的方法，讓學生多次測量圓的周長與直徑或直接告知學生。文章基于課程標準中數(shù)學基本活動經(jīng)驗和基本思想方法的培養(yǎng)要求，通過活動單導航、提問鏈導思，借助Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學技術(shù)，自然破解教學難點的同時，幫助學生積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗和體悟數(shù)學基本思想方法，提升教學有效性，為優(yōu)化圓周長的教學提供一些參考。

【關(guān)鍵詞】圓的周長;活動單;提問鏈;Hawgent皓駿

【作者簡介】陳云，廣西科技師范學院教育科學學院教師，研究方向為數(shù)學教育;宋佳真，廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院數(shù)學教育碩士研究生;唐劍嵐（通訊作者），博士，廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院碩士研究生導師、教授，主要研究方向為數(shù)學課程與教學論、數(shù)學教育技術(shù)。

【基金項目】小學數(shù)學重難點知識可視化設(shè)計與應(yīng)用的研究（桂林市B類課題2016B30）;動態(tài)數(shù)學技術(shù)的創(chuàng)新研究與應(yīng)用項目（GXSDHX201706）?一、創(chuàng)課背景與問題

“圓的周長”是人教版數(shù)學六年級上冊第5單元“圓”第二節(jié)的內(nèi)容，是圖形與幾何的重要知識點。在此之前，學生學習了應(yīng)用測量方法獲取長方形和正方形的周長計算公式。圓作為一種由曲線圍成的圖形，與直線圍成的圖形相比，在形狀上有很大不同。曲線圖形不能直接被測量，這與學生原有的知識經(jīng)驗產(chǎn)生沖突，如何“化曲為直”成為第一個教學難點。即使應(yīng)用“繞繩”“滾動”等動手實驗方法，學生通過多次測量圓的周長與直徑，也很難發(fā)現(xiàn)圓的周長與直徑的關(guān)系，因為數(shù)據(jù)里面隱藏了圓周率的秘密[1][2]，這是第二個教學難點。師生如何類比長方形、正方形周長公式的推導過程發(fā)現(xiàn)圓的周長公式，這是第三個教學難點。本文基于《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中數(shù)學基本活動經(jīng)驗和基本思想方法的培養(yǎng)要求，借助Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學技術(shù)，自然破解教學難點的同時，強化學生數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累和數(shù)學基本思想方法的體悟，提升教學有效性，為優(yōu)化圓周長的教學提供一些參考。

二、創(chuàng)課設(shè)計與實錄

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，基本活動經(jīng)驗是個體在經(jīng)歷了具體的學科活動之后留下的、具有個體特色的內(nèi)容，既可以是感覺知覺，也可以是經(jīng)過反省之后形成的經(jīng)驗[3]。本教學設(shè)計主要通過活動單導航、提問鏈導思，促進學生經(jīng)歷“看一看、說一說、驗一驗”等顯性活動，設(shè)計“想一想、猜一猜”等隱性活動，借助Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學技術(shù)自然破解教學難點的同時，幫助學生積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗和體悟數(shù)學基本思想方法，努力實現(xiàn)“授人以魚”的同時實現(xiàn)“授人以漁”和“授人以欲”[4]，提升教學有效性。

首先，設(shè)計“憶一憶，想一想”活動，動態(tài)呈現(xiàn)長方形與正方形的周長公式推導過程，激活學生原有的知識經(jīng)驗，成為學習新知識的生長點。接著，設(shè)計“看一看，說一說”活動，通過“圓的周長是否可以直接用直尺量出來？”等提問鏈追問學生，并聯(lián)系學生的生活實際，呈現(xiàn)生活中常見的化曲為直的實例，驅(qū)動學生聯(lián)想繞繩、滾動等方法，實現(xiàn)化曲為直的想法。最后，設(shè)計“猜一猜，驗一驗”活動，再次通過提問鏈和動態(tài)呈現(xiàn)數(shù)據(jù)分析，促進學生類比長方形、正方形周長公式的推導，引導學生觀察、發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)隱藏的圓周率秘密和圓周長的計算公式。根據(jù)上述創(chuàng)課思路，設(shè)計如下“圓的周長”教學片段。

1憶一憶，想一想

師：同學們，你們還記得怎樣計算長方形和正方形的周長嗎？（呈現(xiàn)用直尺測量長方形、正方形周長的動畫效果）

小圓：用直尺測量長方形的每條邊，然后加起來就是長方形的周長了。

小方：先將長方形和正方形展開成一條線段，再用直尺測量，這條線段就是長方形和正方形的周長了，得到公式C長=2（a+b），C正=4a（動畫展開長方形、正方形，閃動長、寬、周長）。

2看一看，說一說

師：這兩種方法都是通過直接測量得到的周長。圓是由曲線圍成的圖形（顯示點生成圓的動畫），那它的周長是否可以直接用直尺測量出來？如果不能，又有什么辦法測量？

小圓：圓的周長好像不能直接用直尺測量出來，怎么辦呢？

小方：我們可以將圍成圓的曲線變?yōu)橹本€，這樣不就可以了嗎？

師：小方很有想法！但如何將圓的曲線變?yōu)橹本€呢？其實我們生活中有很多類似的情境，如我們常用的透明膠卷、體育課用的皮尺等（如圖1）?？吹竭@些東西，大家有想法了嗎？誰來說一說。

小圓：我們可以用一條繩子把圓圍一圈，剪掉多余的部分，繩子拉直后測量它的長度，就得到圓的周長了。

（教師同時呈現(xiàn)“繞繩”、繩子展開在直尺上測量的動畫效果。）

師：不錯的方法，我們常常把這個方法叫做繞繩法（聲音突出）！

小方：我也有一個方法，而且不需要繩子。將圓直接在直尺上滾一圈（標記起始點），也可以得到圓的周長。

（教師同時呈現(xiàn)圓在直尺上滾動測量的動畫效果。）

師：很好的方法，小方不用繩子也能得到圓的周長。像這樣的方法我們叫做滾動法，但要注意在起始位置做好標記！

師：剛才的這些方法為什么能量出圓的周長？其實就是因為曲線圍成的圓與直線段可以相互轉(zhuǎn)化。如果一個圓很大，但繩子不夠長，而且圓很難滾動，那該如何計算圓的周長呢？看來我們還是有必要去發(fā)現(xiàn)、學習計算圓周長的公式。那么，圓周長的公式是什么？是否與長方形、正方形的周長公式有關(guān)系呢？

師：其實圓的周長公式與長方形、正方形的周長公式有很密切的關(guān)系。長方形的周長是長與寬（聲音強調(diào)）的和的2倍，即C長=2（a+b）;正方形的周長是邊長的4倍，即C正=4a（聲音強調(diào)）。如圖2所示，長方形的周長與它的構(gòu)成要素——長和寬有關(guān)，正方形的周長與它的構(gòu)成要素邊長有關(guān)，那么圓的周長與它的構(gòu)成要素直徑或半徑是否也有關(guān)系？

師：我們用剛才的方法來算一算，并列出表1。（教師邊說邊動態(tài)演示用滾動法測量不同半徑的圓，得出周長，如圖3。）

3猜一猜，驗一驗

師：觀察這個數(shù)據(jù)表，大家有什么發(fā)現(xiàn)，誰來說一說？

小方：我發(fā)現(xiàn)半徑越大，直徑越大，圓越大，圓的周長也越長，所以圓的周長跟它的半徑、直徑有關(guān)。

師：很好，圓的周長跟它的半徑、直徑有關(guān)。誰還能進一步用數(shù)據(jù)描述圓的周長與直徑的數(shù)量關(guān)系？

師：是否也像長方形和正方形的周長公式一樣，與長和寬或邊長有倍數(shù)關(guān)系呢？

小圓：圓的周長與直徑好像也有倍數(shù)關(guān)系。

師：很好的發(fā)現(xiàn)，我們輸入不同半徑的值，看看直徑、周長、周長與直徑的比值（展示結(jié)果，如表1）有什么變化。大家觀察表格中圓的周長與直徑的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)它們有什么規(guī)律？（教師邊說邊輸入任意值，看各組數(shù)據(jù)的變化。）

小鏡：圓的周長與直徑的比值都是一個固定的數(shù)，它約等于314。

師：真厲害，這就是表格中隱藏的秘密。圓的周長與直徑的比值一直都是一個相對固定的數(shù)，它約等于314。在數(shù)學中，我們把它叫做圓周率，用希臘字母π表示。

師：2300年前，古希臘數(shù)學家阿基米德算出了圓的周長大約是直徑的314倍多一些。1700年前，我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽用“割圓術(shù)”計算圓的周長大約是直徑的31416倍。在2000年時，科學家用計算機算出了圓周率小數(shù)點后14萬億位。（呈現(xiàn)：314159265358979323846264338 3279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282 306647093844607550582231……）

師：人類花了2000多年，通過無數(shù)科學家的畢生努力，最終達成一個共識——無論是大圓還是小圓，它的周長除以直徑都等于一個固定數(shù)，即314159……，計算公式是圓周長÷直徑=圓周率（314159……），這也就是說圓的周長是直徑的π倍。今天我們得出的圓周長公式是：C圓=πd=2πr。

三、創(chuàng)課評析與反思

將“魚漁欲”三位一體的教學理念結(jié)合課程標準理念，再將Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學技術(shù)融入教學中，通過三個活動單導航（憶一憶，想一想→看一看，說一說→猜一猜，驗一驗）和提問鏈導思，自然破解教學中的三個難點，強化學生基本活動經(jīng)驗的積累和基本思想方法的體悟，在“授人以魚”的同時實現(xiàn)授人以“漁與欲”，提升教學有效性。

在破解如何測量圓的周長這一環(huán)節(jié)，設(shè)計了“憶一憶，想一想”活動，通過回顧長方形和正方形周長的兩種測量方法，激活學生原有知識與經(jīng)驗的同時，通過提問鏈“圓是由曲線圍成的圖形（顯示點生成圓的動畫），那它的周長是否可以直接用直尺測量出來？如果不能，又有什么辦法測量？”激起學生的興趣和好奇，聯(lián)想新舊知識之間的聯(lián)系，找尋測量圓周長的辦法。本環(huán)節(jié)設(shè)計在授人以“魚”的同時具有授人以“欲”的功能。

在破解怎樣測量圓的周長這一環(huán)節(jié)，設(shè)計了“看一看，說一說”活動，呈現(xiàn)生活中化曲為直的實例，促使學生類比，自然引導學生說出繞繩法、滾動法等測量圓周長的方法。但繞繩法和滾動法只能測量較小的圓，如何計算所有圓的周長，則需要圓周長的計算公式。本環(huán)節(jié)設(shè)計在授人以“漁”的同時實現(xiàn)了授人以“欲”。

在破解圓周長的公式推導這一環(huán)節(jié)，設(shè)計了“猜一猜，驗一驗”活動，通過提問鏈引導學生類比長方形、正方形的周長公式，猜想圓周長與圓的要素（直徑或半徑）的關(guān)系，借助Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學技術(shù)，展示圓半徑變化的數(shù)據(jù)和圓周長的變化，助力學生發(fā)現(xiàn)圓的周長與直徑的比值的關(guān)系，最后講出圓周率發(fā)現(xiàn)的歷史故事，在點撥“變中不變”數(shù)學思想的同時滲透數(shù)學文化。本環(huán)節(jié)設(shè)計具有授人以“魚”的同時授人以“漁”和“欲”的作用，在破解教學難點、促進學生積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗和體悟數(shù)學基本思想方法的同時，潛移默化地滲透了數(shù)學文化，提升了教學有效性。

參考文獻：

[1]梁萬里.重視幾何直觀?培養(yǎng)核心素養(yǎng)：以“圓的周長”教學片段為例[J].小學教學參考，2019（6）：24-25.

[2]邱貽根.教不越位?學要到位：“圓的周長”教學設(shè)計與評析[J].教學月刊：小學版（數(shù)學），2009（4）：33-35.

[3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]唐劍嵐，陳圓.基于“魚漁欲”三位一體優(yōu)化教學理念的數(shù)學創(chuàng)課設(shè)計：以“一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的教學為例[J].中小學課堂教學研究，2017（12）：34-37.