賈彬 孫丹丹

【摘?要】“素數與合數”是分解素因數的基礎，也是后續(xù)學習最大公因數與最小公倍數的基礎。在日常學習中，學生一般能夠依據定義對素數與合數做出判定，但對于為什么要研究素數以及研究素數有何意義，他們并不清楚。為此，文章從HPM視角進行“素數與合數”的教學設計，旨在豐富學生“素數與合數”的概念意象，讓學生知道知識的來源和發(fā)展，加深對素數意義的理解，提升數學素養(yǎng)。

【關鍵詞】HPM;素數與合數;教學設計

【作者簡介】賈彬，中學高級教師，主要從事初中數學課堂教學研究;孫丹丹，華東師范大學數學科學學院博士生，主要從事數學史與數學教育研究。

一、引言

數是人類從具體的事物中抽象出共同的性質后逐漸形成的，正如英國哲學家兼數學家伯特蘭·羅素（B.Russell）所說：“當人們發(fā)現一對雛雞和兩天之間有某種共同的東西（數字2）時，數學就誕生了。”[1]從歷史相似性的角度來看，學生形成各種數的概念需要一定的時間從生活的各個方面去體驗、認識數的內涵，包括素數與合數。

“素數與合數”是滬教版數學六年級上冊第一章“數的整除”中第二節(jié)的教學內容，在此之前，學生已經學習過因數和倍數的內容，知道如何求正整數的因數。教材通過引導學生尋找并比較1—14正整數的因數個數，給出素數與合數的定義，并指出1既不是素數也不是合數，進而將正整數分為1、素數與合數三類，最后引導學生基于定義判斷各正整數是素數還是合數，并指出查素數表也是判斷100以內的正整數是否為素數的方法之一。

“素數與合數”是分解素因數的基礎，也是后續(xù)學習最大公因數與最小公倍數的基礎。在日常學習中，學生一般能夠依據定義對素數與合數做出判定，但素數與合數留給他們的印象往往只是干巴巴的定義與判定，對于為什么要研究素數以及研究素數有何意義，他們并不清楚。根據素數的定義，學生雖然可以對1和2是否是素數進行判定，但這與學生的直觀認識不甚相符，需要教師做適當說明。教材正文和章尾的閱讀材料均介紹了素數表，素數表除了是一堆數字的集合，其背后有何文化內涵，學生并不了解。此外，學生在學習本節(jié)內容之前已經學習了“因數和倍數”，并且能夠從“形”的角度理解這些知識。那么，學生除了可以從“數”的角度理解素數，是否也可以從“形”的角度理解素數呢？

基于以上問題，本文從HPM視角進行“素數與合數”的教學設計，旨在豐富學生“素數與合數”的概念意象，讓學生知道知識的來源和發(fā)展，加深對素數意義的理解，提升數學素養(yǎng)。具體教學目標有三個。

（1）通過數學史，從“數”和“形”兩個角度理解素數、合數的意義，感受數形結合的數學思想;

（2）知道正整數的分類，會判斷除1以外的正整數是素數還是合數;

（3）會用埃拉托色尼篩法尋找100以內正整數中的素數。

二、歷史素材及解讀

在古希臘，基于菲洛勞斯（Philolaus）的著作，斯珀西波斯（Speusippus）在摘錄中區(qū)分了素數和合數。其中，素數被稱為不能合成的數，合數則被稱為能合成的數[2]72-74。尼可馬科斯（Nicomachus）、塞翁（Theon）也提到素數為不能合成的數。歐幾里得（Euclid）將素數定義為“僅能被一個單位量盡的數”，將合數定義為“可以被某數量盡的數”[2]72-74。塞翁對素數的定義與歐幾里得相似，認為素數是一個“不能被其他數，只能被單位量盡的數”[3]284-285。尼可馬科斯稱素數為“基本的”，楊布里科斯（Iamblichus）進一步對此進行詮釋，素數作為基礎，其他數可以是它的倍數，它卻只能是單位的集合[3]284-285。西馬里達斯（Thymaridas）稱素數為“直線的”，原因是它只能陳列成一個維度[2]72-74，塞翁也以“線性的”作為素數替代性術語。

中國數學家李善蘭與英國漢學家偉烈亞力（A.Wylie）合譯了《幾何原本》后9卷（7—15卷），在第7卷中將“11”定義為“數根者唯一能度而他數不能度也”，數根就是素數的原始譯名[4]。1872年李善蘭撰《考數根法》，考數根法的目的是辨別一個自然數是不是素數。中國數學家鄒伯奇著《乘除捷法》，將素數稱為純數，合數稱為雜數[5]136。

歷史上的中外數學家分別賦予了素數不同的名稱和描述，但對素數的普遍描述都是“素數是只能被單位量盡，而不能被其他數量盡的數”。也有數學家認為素數是不能合成的數，即素數不能被除單位外的其他數合成，這里的單位是指1，單位1在那時常不被視為是一個數，純數的得名也可從這個角度進行理解?！傲勘M”“合成”其實是除法的樸素表達，因而那些描述與現在素數定義中的因子是契合的，只是當時沒有考慮用數字本身量盡自己，但這似乎沒有多大的意義。尼可馬科斯和楊布里科斯認為，“素數只能被單位1量盡，不能被其他數量盡，有了素數以后，其他數就可以被素數量盡”。這一說法討論了素數及可被素數量盡的數的關系，暗含素數是整數的乘法構造單位，因此素數被稱為是基本的數，數根的得名可以從這個角度進行理解。除了從“數”的角度看素數，稱素數為“線性的”則是從形的角度看素數，這是畢達哥拉斯形數理論的延續(xù)，當用石塊或籌碼來表示數字、度量數字時，素數是“線性的”便顯而易見。

有關第一個素數，歷史上也有很多討論。剛開始人們沒有將2看為素數，甚至不將其看為數，但是亞里士多德（Aristotle）將2看是唯一的偶素數。像亞里士多德一樣，歐幾里得也將2看為素數[2]72-74。亞里士多德不把1看為素數，因為他認為1是單位，單位不是數，只是數的開始[3]284-285。因為1不被認為是數，所以亞里士多德也說，素數不能被任何數量盡。尼可馬科斯認為，3是第一個素數，因為素數是一類特殊的奇數，所以2被排除在素數之外[3]284-285。歷史上的種種說法，啟示我們在教學中應注意區(qū)分奇、偶、素、合。

如上所言，因為歷史上很長一段時間里，1不被視為數，而是數的起源，所以1不可能是素數，而且素數與合數的分類最早源于是否只被單位1量盡，所討論的素數與合數自然不會包括單位1，這是1不是素數的原因之一[6]。整數的很多特性可以追溯到其素因子的特性，所以我們可以將問題分而解之。從這個方面說，1是不起作用的，就如a=a·1=a·1·1=……不能為有關問題a的解決提供更多幫助。而任何一個大于1的整數都能唯一地分解成素數的乘積，即算術基本定理，這表明素數對于整數研究的重要意義。早在2500多年前，歐幾里得的《幾何原本》中關于整數的素因數分解思想就有所體現，但它存在性和惟一性的證明是由19世紀德國數學家高斯（Gauss）完成的。

歷史上的數學家為什么會研究素數？古希臘畢達哥拉斯學派主張萬物皆數，因而正整數成為該學派的重要研究對象之一，數的分類首先被探討。在此基礎上，后續(xù)古希臘數學家對素數進行了深入研究。中算家認識素數起源于運算，一些乘除捷法需要先進行分解因數，這是導致中算家認識素數的一條途徑，另一條途徑是化整數為兩兩互素的算法[5]136。

素數的雙重性——重要而無規(guī)律，自古至今吸引了大量數學愛好者不斷關注和挑戰(zhàn)，從諸如梅森素數、費馬素數等各種有趣的素數到古老的素數測定方法——埃拉托色尼篩法，從尋找可以計算出所有素數的公式到今天尚未解決的有關素數的著名猜想——哥德巴赫猜想和孿生素數猜想，素數的秘密讓全世界數學家樂此不疲，躍躍欲試。

三、教學設計與實施

學生在課前已通過閱讀教材和觀看微視頻的方式對本節(jié)內容進行了預習，知道了素數和合數的概念，并嘗試用“點形”表示素數。在此基礎上，研究者的教學設計與實施過程如下。

（一）從“數”的角度領悟素數與合數

1概念初探

師：根據預習內容，請說一說什么是素數，什么是合數。

生1：一個正整數，如果只有1和它本身兩個因數，這個正整數就是素數;如果它還有除了1和它本身之外的因數，這個正整數就是合數。

師：除了從正整數的因數角度理解素數與合數，你們還能從其他角度來理解嗎？

生2：如果一個正整數只有兩個因數，那么它就是素數;如果有兩個以上的因數，那么它就是合數。

師：原來我們也可以通過數因數個數的方法來判斷一個正整數是否是素數。

【設計意圖】一個正整數是素數還是合數，除了可以從它的因數角度判斷，也可以從它的因數個數判斷。

2以名解意

師：你們還知道素數的其他名稱嗎？

生1：素數還可以叫做質數。

師：確實，素數也叫做質數。除此之外，素數還有其他名稱嗎？

（學生互相看看，都搖起了頭。教師呈現兩段文字。）

李善蘭與偉烈亞力共同翻譯了《幾何原本》的后9卷（7—15卷），第7卷定義“11”時說：“數根者唯一能度而他數不能度也?！睌蹈褪撬財档脑甲g名。（嚴敦杰：《中算家的素數論》）

數學家鄒伯奇著的《乘除捷法》中提到的純數即素數，雜數即合數。（劉鈍：《大哉言數》）

師：從以上兩段文字中，你們知道素數還有哪些名稱？

生2：素數還曾被稱為數根和純數。

【設計意圖】素數不同的名稱折射出素數的性質，樸素而深刻。教師通過對素數不同名稱的簡單介紹，加深了學生對素數內涵的理解，同時也體會了數學概念名稱背后的創(chuàng)造性。

3規(guī)律探尋

師：根據目前我們所學的知識，你能寫出正整數的幾種分類方法？請分別列出。

（展示學生回答：正整數可以分為合數、素數與1，也可以分為奇數與偶數。教師讓學生判斷1—20之間正整數的奇性、偶性、素性、合性，以表格形式呈現學生判斷結果，如表1所示。）

師：觀察表1，你們有何發(fā)現？

生1：20以內的奇數和偶數的個數一樣。

生2：1是奇數，但既不是素數也不是合數。

生3：偶數中，除2以外，都是合數。

生4：素數中，除2以外，都是奇數。

生5：合數除了1和它自身以外，還有其他的因數。

生6：一個正整數，除1以外，不是素數就是合數;一個正整數，不是奇數就是偶數。

【設計意圖】在學習新知識的基礎上建立與舊知識的聯系，讓學生感悟可以從不同角度理解正整數的構成。教師通過一個開放性問題，首先讓學生根據素數與合數、奇數與偶數的概念獨立判斷1—20之間正整數的奇性、偶性、素性、合性，然后在此基礎上觀察表格，讓學生在小組討論的過程中自己探索、發(fā)現正整數的奇偶性與素合性之間的區(qū)別與聯系。

4“小題大做”

師：1為何既不是素數也不是合數？

生1：因為1的因數只有1個，即它本身，而素數要有兩個因數且只能有兩個因數，所以1不是素數。同樣的道理，1也不是合數。

師：根據素數與合數的概念判斷，確實如此。但是在數學發(fā)展早期，素數和合數的概念并非如今天這樣清晰，對于1到底是不是素數，最小的素數到底是誰，歷史上曾經有過不同的聲音。古希臘數學家認為1不是素數，因為他們認為1不是數，是單位，單位組成了數。對于2，亞里士多德將2看作是唯一的偶素數，歐幾里得也將2看作素數，但也有數學家不將2看作素數，如古希臘數學家尼可馬科斯就認為3是第一個素數。

師：每一個概念和規(guī)定在發(fā)展中都經歷了波折，最終的定義和規(guī)定是歷史發(fā)展的結果，都有其合理性。其實同學們學習的每一個知識都是有故事的，這些故事蘊含著數學文化，希望同學們在學習的過程中多積累一些這樣的文化。

【設計意圖】這段介紹讓學生從歷史的角度理解“1為何不是素數”“誰是最小素數”，激起學生對知識背后故事的好奇心。

（二）從“形”的角度理解素數與合數

1遠古萌芽

有人推測人類很早以前就知道素數了?，F藏于比利時皇家自然歷史博物館的兩塊骨頭，引起了考古學家的極大興趣。它們是從非洲剛果（金）愛德華湖畔一個叫伊珊郭的漁村發(fā)掘出來的，經現代科學方法鑒定，這兩塊骨頭是公元前9000年到公元前6500年之間非洲人使用的骨具（見圖1）?？脊艑W家推測這是古代居民用來雕刻或書寫的工具[7]。兩塊骨頭中出現了5，7，11，13，17，19一組順序的刻痕。最初，古人就是這樣用“形”來表示這些“素數”的。

【設計意圖】這段素材一方面可以讓學生知道素數的萌芽可能非常早，甚至早于數字的出現，另一方面也可以讓學生了解最初古人在表示數時是以“形”的方式呈現的。

2數形結合

師：素數如果用畢達哥拉斯的“形數”來理解有何特征？合數呢？

生1：素數用“形數”表達就是一條線，只能分成一行;合數可以分成幾行幾列（見圖2）。

生2：用畢達哥拉斯的“形數”來理解，素數是此素數個數的點排成的一條線。

師：古希臘數學家西馬里達斯稱素數為“直線的”，現在同學們知道原因了吧。

【設計意圖】從用“刻痕”表示素數到用“點形”表示素數，讓學生體會“數”與“形”之間的聯系，“形”可以配合“數”的理解。當學生從“形數”的角度得到素數是線性的，便與古代數學家的觀點呼應，讓學生體會到自己的學習與思考是在和古代數學家進行跨時空的交流。

3尋找素數

師：請小組合作，試找出不超過100的所有素數，并說說你們是用什么方法找到的。

組1：先劃去除2以外的所有偶數;第五列和最后一列除5以外，其他的數都是合數，將它們劃去;再斜著劃去除11以外的11的倍數（33，77，99）;再在剩下的數中劃去除3以外的3的倍數（9，21，27，39，51，57，63，69，81，87，93）;又在剩下的數中劃去除7以外的7的倍數（49，91）;最后再劃去1，剩下的數就都是素數了（見圖3）。

組2：我們的方法和組1的基本一樣，就是順序有點不一樣。我們先劃去1，然后再劃去除2以外的偶數，再劃去除5以外的5的倍數，再劃去除3以外的3的倍數，再劃去除7以外的7的倍數，再劃去除11以外的11的倍數，剩下的就都是素數了。

師：兩組尋找素數的方法與2000多年前的古希臘數學家、亞歷山大城圖書館館長埃拉托色尼的方法一樣。為了找到從1到任意一個自然數之間的全部素數，他把從4開始的所有偶數下面畫一短橫，表示把這些數去掉;再把能被3整除的、下面沒畫短橫的數畫上短橫，這些數有9，15……接著在能被5整除的、下面沒畫短橫的數畫短橫，這樣的數有25，35……一直這樣做下去，最后得到一列下面沒畫短橫的數，這些數除1以外全都是素數。后來人們把這樣尋找素數的方法叫做埃拉托色尼篩法。這個方法像從沙子里篩石頭那樣，把素數從自然數中篩出來，素數表就是根據這個篩法原則編制出來的。

【設計意圖】通過尋找不超過100的正整數中的素數，學生進一步熟悉素數與合數的判定，體會素數與合數的內涵。學生通過小組討論得到與古代數學家基本一致的素數表制作方法，再次讓學生感受到只要勇于思考、認真探索，他們也可以像數學家一樣做數學。

4課堂小結

師：通過本節(jié)課的學習，你們收獲了哪些知識？

生1：我知道了素數的名稱還有質數、數根、純數。

生2：我會尋找不超過100的正整數的素數了，先劃去1，再依次劃去2，3，5，7，11的2倍及2倍以上的倍數，剩下的數就是素數了。

生3：素數和前面學習的數一樣，也能通過圖形來表示，當用“點形”表示素數時是一條直線。

四、學生反饋

課后，針對本節(jié)課所學內容，研究者對全班學生進行了問卷調查。

對于“根據本節(jié)課所學知識，正整數可以如何分類？”的問題，學生回答的正確率達到95?。

對于本節(jié)課印象最深的環(huán)節(jié)，學生提到的有“畢達哥拉斯的‘形數’”“尋找素數的方法”“素數的名稱”“1”“兩塊骨頭”等，其中提到最多的是“尋找素數的方法——埃拉托色尼篩法”。印象最深的原因很多，一部分學生認為在尋找素數時，與全班同學一起討論、研究、分析，最后得出正確答案很有成就感;一部分學生覺得自己總結出了與古人相似的方法很開心。對于“畢達哥拉斯的‘形數’”，學生印象最深的原因是素數可以通過畫畫來表示，也可以用形狀分出素數與合數。

對于“學完這節(jié)課，你是否有疑問沒解決或產生了新疑問？如果有，疑問是什么？”的問題，40?的學生表示“聽明白了，沒有什么疑問了”，30?的學生在數學史的基礎上提出了新的疑問，如“為什么古時候就有人發(fā)現了素數，他們是通過什么想到的？為什么素數也被稱為純數，它‘純’在哪里？為什么合數也叫雜數，它‘雜’在哪里？在以前，為什么1被認為是單位而不是數？”另外30?的學生出于對素數與合數的好奇對其進一步思考，提出了一些問題，如“怎樣借助‘形數’得到答案？到底有多少個素數？素數有什么規(guī)律嗎？為什么不把0和負數納入素數與合數？”等等。

從學生的問卷反饋可知，課堂上介紹的每一段數學史、所融入的人文元素，都給學生留下了深刻的印象，有助于激發(fā)學生的學習興趣，促使學生主動深入思考，達成相應的教學目標。

五、結語

（一）探究之樂與能力之助

學生自己用“點形”把正整數表示出來，探尋素數與合數“點形”的不同特色，可以增強數形結合的能力。學生根據素數與合數、奇數與偶數的概念獨立判斷1—20之間的正整數的素性、合性、奇性及偶性，并在此基礎上探索、發(fā)現正整數的奇偶性與素合性之間的區(qū)別與聯系，有利于培養(yǎng)學生的數學歸納能力。尋找1—100正整數內的素數時，各小組展示的尋找素數的方法充分體現了他們的探究過程。當學生成功尋找出1—100內的素數時，他們的內心充滿了快樂，進而增強了學生分類處理數據的能力。

（二）方法之美

學生除了可以從“數”的角度理解素數，還可以從“形”的角度解讀素數，當用畢達哥拉斯的“形數”來表示素數時，素數只能是“直線的”。從古人用石子計數，到用石子研究數，將“數”用“形”的形式表現出來，是人類最淳樸的數形結合的思想。就素數而言，“形數”的表達可以使素數更為直觀，同時也可以輔助學生對素數內涵的理解。

（三）文化之魅

古希臘的素數、不能合成的數、“線型的數”，中國的“數根”和“純數”，非洲出土的帶有刻痕的骨頭，這些都表明素數在不同的文明中醞釀和發(fā)展，在不同的文明間傳播，既有共同點又各有自己的特色。不同時空、不同地區(qū)的素數觀有利于學生在頭腦中形成一個豐滿而鮮活的素數概念意向，讓學生感受到數學文化的多樣性。

（四）德育之效

即使像素數、合數這樣看似簡單的數學概念也有它的前世今生，數學史的融入可以讓學生看到概念背后的創(chuàng)造過程，有利于培養(yǎng)學生動態(tài)的數學觀。當學生知道自己尋找1—100內素數的方法竟然與2000多年前的古希臘數學家、亞歷山大城圖書館館長埃拉托色尼的方法基本一樣時，探究的滿足感和數學學習的自信就會油然而生。關于第一個素數，學生對如今教材的解釋可能還存在困惑，歷史上也曾經有過不同聲音，與學生直觀感受相契合。這一方面可以降低學生的挫敗感，另一方面不同觀點的碰撞也啟示學生要敢于思考、善于思考，學會質疑，學會激發(fā)自己的疑問，讓疑問帶動興趣、引導探究。

HPM視角下的“素數與合數”教學設計，旨在讓學生掌握素數與合數概念的同時，感受到素數和合數不只是兩個干巴巴的概念，而是有溫度的、有文化的。判別素數與合數的基本技能訓練當然重要，若沒有過硬的技能，任何境界都無從談起。但是只有技能訓練是不夠的，“學如弓弩，才如箭簇，識以領之，方能中鵠”，除了“學”的基本技能做底蘊，還要有數學能力和才華做鋒芒，有見識來引領前行。研究者希望通過貫穿課堂的一段段素數與合數的歷史，能夠激起學生思考，最終成就有靈魂的教育。

參考文獻：

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