潘璐 雷桂林 李金霞 張新國

內(nèi)容提要：對于用一條直線平分刀形土地的問題，分別找到了一縱解、一橫解、一斜解，進而找到了三個有心集合解。分析了剩余區(qū)域，恰好是三個無心集合解。提出了其它的找解的方法都可得到與六個解集相同的結論。由此得出了兩個引理：過平面上圖形外給定點，可以引一條直線將該平面上的單連通封閉圖形面積平分，且只能引一條直線;給定平面上一直線方向，可以做一條該直線平行線，把圖形面積平分，并且只能引一條。得出了后面的兩個推論。最后得到結論：用一條直線平分刀形土地的六個集合解是平分直線的完備集。

關鍵詞：數(shù)學游戲 小學數(shù)學教學 面積平分線 集合方法

中圖分類號：O123（注：O是英文字母） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A

1. 引言

參考文獻[1]用一條直線將一塊由五個邊長為1的正方形拼成的“刀形”土地平均分成兩塊。我們先找到了許多特殊解，繼而找到了某類集合解，集合解又分為兩類，有心集與無心集。另外，還找到了另外一種求解集的方法。

后來發(fā)現(xiàn)有些解集是重合的，最后給出了一種完備的表述方法，其他表述被包含其中。

2. 有心集合解

2.1. 有心集合Ⅰ區(qū)解

2.1.1. 縱向平分線

一條縱向解線，在圖1中，豎直線MN距左邊1.25，它將五方圖形左右平分，使左右兩側的面積分別為2.5，MN中點為O1。

2.1.2 有心集合解Ⅰ區(qū)解：

在圖1 AC上任找一點R，連接RO1，并延長交下面為S點。因 ，故兩三角形面積相等，從而推出RS也是五方的平分直線，從而得到AC上所有點與O1連線的延長線都是圖形平分線。這些平分線都在直線AB、CD（ ， ）所夾的區(qū)域內(nèi)，該區(qū)域為有心（O1）集合Ⅰ區(qū)。

2.2. 有心集合Ⅱ區(qū)解

見圖1，先找到一條橫向平分線PQ，PQ距下邊5/6，其中點為O2。在GH、EF（ ， ）所夾的區(qū)域內(nèi)，任何一條過O2的直線都將平分五方圖。（由2.1可證）這是有心（O2）集合Ⅱ區(qū)。

2.3. 有心集合Ⅲ區(qū)解

同前，先找到一條平分的中間線TU，兩點各距下邊為 、 ，可知，在IJ、KL圍成的區(qū)域內(nèi)，所有過O3點的直線都將平分五方。

有心集區(qū)域的特點是，每個區(qū)域的兩個對頂三角形的對邊是相互平行的。

3. 無心集合區(qū)解

3.1. 無心集合區(qū)Ⅳ解

即圖1中由CD、IJ圍成的區(qū)域，在CI上任找一點X，連接XJ（虛線），過I作 ，交CD于X'，連接X'X，并設IJ與XX’的交點為 ，則XX’即為在區(qū)域Ⅳ內(nèi)的五方平分線。（證明如下：△XJI與△XJX’是同底等高三角形，（高為平行線 間的距離），故二三角形面積相等，因此 與 的面積相等。前面已知IJ是五分面積平分線，故XX' 也是五方面積平分線。）這些平分線除兩條邊界線外的所有平分線都不過O4（可以證明），就構成了無心集合Ⅳ的解。

3.2. 無心集合區(qū)Ⅴ的解

即圖1中由AB、EF圍成的區(qū)域，也可由解析找在這個區(qū)的平分直線方程，介紹如下。以J為坐標原點，JF為x軸，JA為y軸建立坐標系，在V區(qū)邊界上取點，滿足Xy=5的即為一條平分線，在EA上取Y點，測量YJ =1.8，在BF上找Y’點，則JY’=5/1.8=2.78，在BF上找到Y’，YY’即為所找的平分直線，同理可找到所有的平分直線。

3.3. 無心集合區(qū)Ⅵ的解

見圖1，即圖1中直線KL、HG圍成的區(qū)域。找平分直線的方法可參閱Ⅳ區(qū)、Ⅴ區(qū)解使用的方法。

無心集區(qū)域的特點是，每個區(qū)域的兩個三角形的對邊是相互垂直的。

4. 其他個解與解集

4.1. 其他個解

①縱橫各一條平分線，即圖1中的MN、PQ。②六個集合的邊界線（六條）和中線（六條）。③過每條邊的特殊點與中心交叉點的連線，如題1中U’R’、N’M’、B’A’、P’Q’（共四條）。④把五個正方形分成兩組中心對稱的圖形的連心線（圖1中，右1與余4;上二與下三;左下1與余4）共得三條）。⑤其他過特殊點的平分線。以上共計二十一條平分線（不計⑤類）。這21條平分線都在六集合內(nèi)。

4.2. 其他解集

在五方邊界上任找兩點，如圖1中KU’做參考線，可以計算該線和五方圖形一側的面積，如圖1中KU’與U’FGK圍成的圖形的面積為1.5，在KU’的左上側再做一條線如WV使WV與KU’圍成的面積為1，則WV就是要找到平分線。也可以找ZZ’，使ZZ’與KU’圍成的面積為1，則ZZ’就是要找到平分線。還可以找到N’M’使M’CKOM’的面積減去△O7U’N’的面積為1，即M’N’為圖形的面積平分線。所以這些平分線構成一個解集。這個解集將涵蓋前面介紹的六個解集。

同樣可以選其他參考線，得到一個解集，而這樣的解集有無窮多個。

5. 平面封閉圖形直線平分引理和推論

5.1 引理1 過平面上圖形外給定點，可以引一條直線將該平面上的單連通封閉圖形面積平分，且只能引一條直線。如圖2所示，給定點A，過A任作一條直線AB，可以測量圖形在AB上面的面積小于AB線面的面積。過A點朝下斜作AC，得到AC下面面積小于上面的面，在它們之間再做一條AD，......因為圖形面積變化是連續(xù)的，總能找到AD將圖形面積平分。過A點的直線隨著與AB夾角變大而面積將連續(xù)變大，故平分只有一條。

5.2 引理2

給定平面上一直線方向，可以做一條該直線平行線，把圖形面積平分，并且只能引一條。如圖3所示，圖形外有一條直線AB，先做一條直線CD，使CD//AB，測量計算發(fā)現(xiàn)CD左邊的面積小于右邊的面積，再做一條直線EF，使EF//AB，測量計算發(fā)現(xiàn)EF右邊比左邊面積大，經(jīng)過多次總能找一條直線（因為平行線移動左右兩邊面積將連續(xù)變化），使直線GH左右兩側面積相等。

5.3 推論1

過平面上一點封閉圖形的平分線必過圖形邊界;過平面各點的封閉圖形平行線走遍封閉圖形邊界上各點，即過圖形邊界上各點的平分直線是圖形平分直線的完備集。

5.4 推論2

平行于平面上已知直線對封閉圖形的平分直線必過圖形邊界;平行于平面上各方向的封閉圖形的平分線走遍封閉圖形的邊界上各點，也即圖形邊界上各點的平分直線是圖形平分直線的完備集。

5.5 結論

平分五方問題的六集合解，是平分直線的完備集。

參考文獻

[1] 聞鐘.優(yōu)秀小學生必做的1000個思維游戲[M].南京大學出版社.2015..

[2] 常國慶.研究性學習“三步曲”——以“平面多邊形面積平分線性質(zhì)的探索”為例.教育研究與評論（中學教育教學）. 2015，（7）：82-90.

[3] 張小川，翟雙. 一類面積問題的推廣. 中國數(shù)學教育. 2018，（7-8）：101-103.