潘敬貞 駱妃景 唐明超

摘要：不等式選講試題是高考二選一的選做題型，是對高中不等式內(nèi)容的補充和拓展，本文對近七年（2013-2019）高考全國卷不等式選講試題進(jìn)行研究，探索其命題規(guī)律和特點，并提出備考建議.

關(guān)鍵詞：不等式;選做題;復(fù)習(xí)備考;教學(xué)啟示

作者簡介：潘敬貞（1984-），男，廣東汕頭人，本科，中學(xué)一級教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究;

駱妃景（1987-），男，廣東東莞人，碩士，中學(xué)一級教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究;

唐明超（1992-），男，云南宜威人，碩士，中學(xué)二級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育研究.1引言

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)不僅肩負(fù)著回顧復(fù)習(xí)知識、理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，梳理考點、明晰考向，幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系，使知識網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化的任務(wù)，還要肩負(fù)著引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)涵的理解，提升理性思維能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平等重任.可謂內(nèi)容繁多，任務(wù)艱巨.尤其是在當(dāng)前以核心素養(yǎng)為熱潮的新課改中，如何做好高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)，以達(dá)到高效備考，最終實現(xiàn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的目標(biāo)，是每一位高三教師面臨的實際問題.高考試題很大程度上反應(yīng)了當(dāng)前的課改精神與教學(xué)導(dǎo)向，因此，聚焦核心素養(yǎng)，深度評析高考試題，分析試題特點對正確把握備考方向，找準(zhǔn)高考脈搏，提高復(fù)習(xí)備考效率具有重要意義.本文對2013-2019年高考全國卷不等式選講試題進(jìn)行研究，并提出備考建議，為高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)提供參考.

2考點回顧

通過對2013-2019年全國卷進(jìn)行整理分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，這7年的“不等式選講”試題無論在解題策略還是命題特點方面都有一定的規(guī)律性和穩(wěn)定性.試題難度不大，但有一定的綜合性與靈活性.試題的命題視角主要有：不等式的基本性質(zhì)，含絕對值的不等式，不等式的證明等;考點主要集中在：含絕對值不等式的解法和不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用;命題立意主要體現(xiàn)在：利用不等式求最值，結(jié)合恒成立問題求參數(shù)的取值范圍，利用基本不等式、重要不等式、柯西不等式等知識證明不等式等;試題滲透的數(shù)學(xué)思想方法主要有：轉(zhuǎn)化與化歸，分類討論與數(shù)形結(jié)合;考查學(xué)科素養(yǎng)方面：重點聚焦邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算.

評析 例12-例18的求解，需要掌握不等式性質(zhì)、理解基本不等式的本質(zhì)內(nèi)涵、了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，深諳不等式中的分析法、綜合法等證明方法，能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值.這些問題對綜合運用所學(xué)知識分析和處理問題的能力要求高，難度大.

熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解決不等式問題的前提和基礎(chǔ).基于高中數(shù)學(xué)中的重要不等式性質(zhì)，探究基本不等式的前世與今生，準(zhǔn)確理解基本不等式的成立條件，能夠?qū)ζ溥M(jìn)行適當(dāng)拓展，理解柯西不等式與權(quán)方和不等式的邏輯聯(lián)系，做到心中不僅有數(shù)還有不等式演變和發(fā)展的整個過程，最后上升為心中有數(shù)還有形.

4 備考建議

4.1 緊扣考綱，夯實基礎(chǔ)

認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)和考試大綱，對“不等式選講”部分的課標(biāo)要求和考試說明做到心中有數(shù)，準(zhǔn)確把握考綱涉及的每一個知識點，以及對應(yīng)知識的要求層次，從而清晰地梳理出教學(xué)的重點與難點，精心設(shè)計教學(xué)素材和教學(xué)過程，重在夯實雙基.根據(jù)學(xué)生實際學(xué)情嚴(yán)格把關(guān)課堂教學(xué)過程中的每一個關(guān)鍵點，在掌握基礎(chǔ)知識的同時總結(jié)基本技能.近年高考全國卷對含絕對值不等式的考查，主要聚焦于不等式的性質(zhì)、基本不等式的適用條件、絕對值不等式及有關(guān)定理和推論.

一輪復(fù)習(xí)階段要側(cè)重夯實雙基，將重點、難點清晰地梳理出來，對照考綱要求，結(jié)合學(xué)生的實際學(xué)情，按照低起點、多梯度、抓落實的復(fù)習(xí)備考基本原則，有計劃地引導(dǎo)學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能進(jìn)行重溫和深化，初步形成基礎(chǔ)知識體系，為下一階段的思想方法深化和知識綜合運用打下堅實基礎(chǔ).

二輪復(fù)習(xí)要抓主干知識，將一輪復(fù)習(xí)成果中的單個知識點串起來形成知識串，重點突出數(shù)形結(jié)合思想與分段討論思想，深化學(xué)生對函數(shù)與方程、方程與不等式的邏輯關(guān)系的理解和掌握，幫助學(xué)生掃除知識點間的聯(lián)系障礙，引導(dǎo)學(xué)生重點體會知識的發(fā)生與發(fā)展過程，初步形成網(wǎng)絡(luò)化知識點.

三輪復(fù)習(xí)備考沖刺階段，要突出對關(guān)鍵知識點和考綱重點要求的知識點進(jìn)行強化，突破難點和關(guān)鍵點.含絕對值不等式的解法是近幾年全國卷考查的熱點，復(fù)習(xí)備考過程中，教師要重點引導(dǎo)學(xué)生對絕對值不等式的基礎(chǔ)知識進(jìn)行全方位的梳理，并帶領(lǐng)學(xué)生搞清楚基礎(chǔ)知識的來龍去脈，知其然更要知其所以然.可以參考以下做法.

思路1：可利用零點分段法求解，突出分類討論的數(shù)學(xué)思想;

思路2：用好絕對值不等式的幾何意義，突出基本思想與基本技能;

思路3：構(gòu)造特殊函數(shù)，利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解，突出轉(zhuǎn)化與化歸的的數(shù)學(xué)思想，滲透數(shù)形結(jié)合思想的同時深化函數(shù)與方程的思想.

強化利用分類討論思想去掉絕對值符號，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的基本策略和解題思想，對典型問題的教學(xué)要注重立足于高考真題做好變式訓(xùn)練，強調(diào)一題多解和多題一解，重點發(fā)展學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解決實際問題的能力，總結(jié)絕對值不等式的一般解法，進(jìn)而服務(wù)于恒成立問題、存在性問題的證明和處理.另外要突出基本不等式在證明不等式、處理恒成立問題、求函數(shù)最值、求參數(shù)取值范圍等問題中的地位和作用.如果學(xué)生能力發(fā)展水平高、元認(rèn)知發(fā)展水平較好，還可以對基本不等式進(jìn)行拓展延伸，引導(dǎo)學(xué)生探索基本不等式與柯西不等式、權(quán)方和不等式之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生掌握重要不等式之間的邏輯聯(lián)系和發(fā)展過程，以期能靈活運用相關(guān)不等式處理常見的不等式問題.

4.2 精選試題、精心設(shè)計，重在落實

精選試題是高效復(fù)習(xí)的基本前提，精心設(shè)計是有效教學(xué)的基本保證，重視落實方可達(dá)到高效復(fù)習(xí)的目標(biāo).考綱雖然包含柯西不等式內(nèi)容，但近七年高考全國卷對不等式選講部分的考查具有延續(xù)性和相對的穩(wěn)定性：一方面考查絕對值不等式的解法與證明，以及恒成立問題求參數(shù)等常見問題;另一方面重點考查利用基本不等式證明較復(fù)雜不等式，函數(shù)恒成立問題求最值或是求參數(shù)范圍等問題.

基于以上評析，預(yù)測2020年高考全國卷仍會重點考查含絕對值不等式的求解方法，以及利用基本不等式證明和處理恒成立問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)求參數(shù)取值范圍等，要重點關(guān)注不等式與函數(shù)的轉(zhuǎn)化及其邏輯聯(lián)系.在復(fù)習(xí)備考階段所選試題可以重點突出上述內(nèi)容.

4.3 樣題參考

為方便大家備考，根據(jù)近7年高考試題的深度評析，給出以下樣題供大家選編參考.

知識在運用中加深理解，技能在訓(xùn)練中逐漸提高，思想方法在變式訓(xùn)練中逐漸深化，理性思維在不斷地解決問題的過程中培養(yǎng).因此，在復(fù)習(xí)備考階段，要聚焦核心素養(yǎng)，緊扣高考考查內(nèi)容，精選試題、精心設(shè)計、精講精練，方可達(dá)到精準(zhǔn)復(fù)習(xí)、高效備考的目標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

[1]郝文華.不等式選講試題的解題策略和教學(xué)啟示[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2019（02）：39-43.

[2]王印凡.2018年高考全國Ⅰ卷選做題分析及備考建議[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2018（17）：37-40.

[3]王沛鈺.例談含參數(shù)的絕對值不等式問題及其解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2018（04）：30-32.

（收稿日期：2019-06-17）