孔德智 孫超 ? 李明楊 卓頡 劉雄厚3)

1) (西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院, 西安 710072)

2) (海洋聲學(xué)信息感知工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 西安 710072)

3) (中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所, 聲場(chǎng)聲信息國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100190)

1 引 言

深海波導(dǎo)具有尺度范圍大、干涉結(jié)構(gòu)明顯等特點(diǎn), 聲源激發(fā)的聲場(chǎng)也呈現(xiàn)出明顯的傳播模式, 如影區(qū)、匯聚區(qū)、表面波導(dǎo)等[1].當(dāng)接收陣列位于聲源傳播聲場(chǎng)的非匯聚區(qū)或者遠(yuǎn)距離區(qū)域, 接收數(shù)據(jù)的信噪比將會(huì)顯著下降, 這對(duì)水下聲源檢測(cè)[2]極為不利.此外, 相較于淺海波導(dǎo)的起伏多變, 深海環(huán)境相對(duì)穩(wěn)定, 通?？梢圆豢紤]其環(huán)境參數(shù)的不確定性, 因此可采用多快拍數(shù)據(jù)處理以提高檢測(cè)器的時(shí)間增益.目前關(guān)于深海波導(dǎo)的研究多集中在其聲場(chǎng)的傳播模式[1]及其遠(yuǎn)距離傳播聲場(chǎng)的空間相關(guān)特性[3]等領(lǐng)域, 而水下聲源檢測(cè)的工作還比較少見.

水下聲源檢測(cè)是水聲信號(hào)處理的重要任務(wù)之一, 同時(shí)也為后續(xù)的定位、跟蹤和識(shí)別等工作奠定基礎(chǔ).近年來, 將水聲物理場(chǎng)的相關(guān)理論運(yùn)用到水下聲源檢測(cè)中成為提高檢測(cè)性能的主要途徑之一,關(guān)于這部分的研究工作主要集中于淺海環(huán)境[4-10].基于水聲傳播理論構(gòu)建信號(hào)檢測(cè)模型, 確定海洋波導(dǎo)中的最優(yōu)檢測(cè)器為匹配模型檢測(cè)器(matched model detector, MMD)[4-5], 它表征了這類檢測(cè)器所能達(dá)到的檢測(cè)性能上限.MMD將接收數(shù)據(jù)(通常在頻域)與聲傳遞函數(shù)做相關(guān)運(yùn)算的結(jié)果作為檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量, 然而由于實(shí)際中波導(dǎo)環(huán)境不確定和聲源位置未知, MMD通常無法實(shí)現(xiàn)[4-7].針對(duì)此問題主要有兩類解決方法.一類是利用貝葉斯原理、蒙特卡羅方法等對(duì)MMD進(jìn)行改進(jìn), 如貝葉斯檢測(cè)器[4,5]、基于主成分分析的檢測(cè)器[6]和基于蒙特卡羅優(yōu)化的廣義似然比檢驗(yàn)[8-11]方法以規(guī)避聲傳遞函數(shù)的使用, 該類方法根據(jù)聲場(chǎng)傳播的簡(jiǎn)正波模態(tài)構(gòu)造信號(hào)子空間, 并將接收數(shù)據(jù)投影到信號(hào)子空間進(jìn)而獲得最終的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量[8-10].由于避免了聲源位置搜索, 這類方法具有較小的運(yùn)算量和更好的穩(wěn)健性[10].此外, 還有一些學(xué)者提出不確定海洋環(huán)境中的定位算法[12,13]也可以借鑒到檢測(cè)中來, 但目前這部分工作尚未見諸相關(guān)文獻(xiàn).考慮到淺海環(huán)境的時(shí)變和空變性, 多是采用頻率單快拍模型來設(shè)計(jì)檢測(cè)器,對(duì)于多快拍的情況, 則是簡(jiǎn)單地將單快拍輸出非相干疊加.這樣操作雖然簡(jiǎn)便且運(yùn)算量小, 但卻未挖掘各快拍之間的相關(guān)信息以進(jìn)一步提高檢測(cè)器的檢測(cè)性能.

基于上述討論, 本文利用多快拍模型對(duì)深海波導(dǎo)中的窄帶聲源檢測(cè)問題展開研究.待檢測(cè)聲源通常含有未知參數(shù), 如聲源級(jí)、聲源距離和深度等,因而該問題可歸納為復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn)問題.復(fù)合假設(shè)檢驗(yàn)主要有貝葉斯方法和廣義似然比(generalized likelihood ratio, GLR)檢驗(yàn)兩類方法.貝葉斯方法通過對(duì)未知參數(shù)的積分獲得最終的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量, 它要求未知參數(shù)的先驗(yàn)知識(shí).鑒于深海波導(dǎo)的大尺度范圍特性, 使用貝葉斯方法時(shí)將面臨龐大的運(yùn)算量.而GLR方法估計(jì)未知參數(shù)以便用在似然比檢驗(yàn)中, 實(shí)現(xiàn)起來容易且嚴(yán)格的假定較少, 盡管不是最優(yōu)的, 但實(shí)際上它的性能很好, 在所有不變類檢驗(yàn)中表現(xiàn)為一致最大勢(shì)檢驗(yàn)[14].因此, 本文采用GLR方法來設(shè)計(jì)深海波導(dǎo)中的水下聲源檢測(cè)器.多快拍下的GLR檢測(cè)器大都是基于接收數(shù)據(jù)采樣協(xié)方差矩陣(sample covariance matrix, SCM)的處理[15,16], 從物理角度來看, 這樣處理的好處是可以利用多快拍信號(hào)之間的空間一致性(這里空間一致性是指各快拍位于相同的向量空間).SCM包含著聲源信號(hào)和背景噪聲信息, 其結(jié)構(gòu)由接收數(shù)據(jù)的快拍數(shù)和空間維度這兩個(gè)物理量決定.空間維度是指接收數(shù)據(jù)所處向量空間的維度, 如在陣元域,接收數(shù)據(jù)的空間維度等于陣元個(gè)數(shù).因而GLR檢測(cè)器的檢測(cè)性能與快拍數(shù)和空間維度有關(guān).快拍數(shù)為GLR檢測(cè)器提供時(shí)間增益, 容易理解其與相應(yīng)的檢測(cè)性能成正相關(guān).而空間維度通常決定了未知參數(shù)的個(gè)數(shù), 降低空間維度時(shí)未知參數(shù)數(shù)量減少,這對(duì)GLR檢驗(yàn)過程中的未知參數(shù)估計(jì)是有益的.因此, 降維處理常用于改善GLR類檢測(cè)器的檢測(cè)性能, 如文獻(xiàn)[17,18]通過子陣處理降低接收數(shù)據(jù)的空間維度, 取得一定的性能提升效果.但目前的處理方式都是基于純數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng), 沒有利用聲傳播的相關(guān)物理特性, 改善效果有限.

根據(jù)簡(jiǎn)正波理論, 使用布放在波導(dǎo)中的陣列采樣各階簡(jiǎn)正波模態(tài)信息(駐波和行波)時(shí), 采樣模態(tài)信息只與波導(dǎo)環(huán)境有關(guān), 而與聲源級(jí)、聲源距離和深度等未知參數(shù)無關(guān), 并且聲源信號(hào)位于由模態(tài)信息矩陣張成的空間(下簡(jiǎn)稱模態(tài)空間).在深海環(huán)境中, 由于陣列孔徑尺寸的限制, 采集的模態(tài)信息通常是非完備的, 這就造成即使陣元個(gè)數(shù)遠(yuǎn)小于傳播模態(tài)數(shù), 但在一定條件下“有效模態(tài)空間”的維度仍小于陣元個(gè)數(shù)[14], 也就是說, 聲源信號(hào)事實(shí)上存在于更低維的空間.該情形下, 將陣元域接收數(shù)據(jù)映射到“有效模態(tài)空間”, 即可在幾乎不損失信號(hào)能量的情況下, 實(shí)現(xiàn)對(duì)接收數(shù)據(jù)的降維處理.但“有效模態(tài)空間”的維度并不總小于陣元數(shù), 而是與陣列配置和聲源頻率有關(guān)[19].

本文根據(jù)陣列接收的聲場(chǎng)結(jié)構(gòu)特性, 提出一種基于簡(jiǎn)正波模態(tài)采樣信息降維處理的GLR (dimensionreduced GLR, DR-GLR)檢測(cè)方法.該方法根據(jù)陣列接收聲場(chǎng)信號(hào)位于更低維的“有效模態(tài)空間”這一物理現(xiàn)象, 針對(duì)常用的垂直線列陣(vertical linear array, VLA)和水平線列陣 (horizontal linear array, HLA), 分別根據(jù)其采樣的駐波信息和行波信息中提取“有效模態(tài)空間”, 利用“有效模態(tài)空間”構(gòu)造降維矩陣, 對(duì)GLR檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量中的SCM進(jìn)行降維處理, 最終給出相應(yīng)的DR-GLR檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量.這種降維處理在幾乎不損失信號(hào)能量的情況下降低接收數(shù)據(jù)的空間維度, 實(shí)際上濾除了若干維度中的噪聲分量進(jìn)而提高了檢測(cè)器的輸出信噪比, 最終使DR-GLR檢測(cè)器獲得更優(yōu)的檢測(cè)性能.本文內(nèi)容安排如下: 首先建立了窄帶多快拍的信號(hào)檢測(cè)模型; 然后推導(dǎo)了深海波導(dǎo)中噪聲功率已知和未知情況下的GLR檢測(cè)器, 并分析了接收數(shù)據(jù)的空間維度與快拍數(shù)對(duì)GLR檢測(cè)器輸出信噪比的影響; 接著分別利用VLA和HLA采樣模態(tài)信息構(gòu)造降維矩陣并給出其各自的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量; 最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提方法的性能改善效果, 討論了陣列采樣模態(tài)信息對(duì)DR-GLR檢測(cè)器的影響.

2 聲場(chǎng)與檢測(cè)模型

假設(shè)一N元線列陣布放于深海波導(dǎo)中, 則在觀測(cè)時(shí)刻t, 陣列接收信號(hào)可表示為

式中r(t) 為N×1 的時(shí)域快拍向量, 表示各陣元上的接收數(shù)據(jù);g為聲源到陣列的聲傳遞函數(shù)向量,假定在觀測(cè)時(shí)間內(nèi)聲源和陣列位置不變, 即g保持不變;s(t) 為聲源輻射的窄帶隨機(jī)信號(hào), 服從均值為零、方差為的復(fù)高斯分布;n(t) 為環(huán)境噪聲快拍向量, 服從均值為零、協(xié)方差矩陣為為N×N的單位矩陣)的復(fù)高斯分布; 假設(shè)信號(hào)與噪聲不相關(guān).

假設(shè)觀測(cè)時(shí)間內(nèi)采樣數(shù)據(jù)快拍數(shù)為L(zhǎng), 二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚12]可表示為:

式中零假設(shè)H0和備選假設(shè)H1分別表示聲源信號(hào)不存在和存在.假設(shè)信號(hào)聲場(chǎng)在空間上完全相關(guān),則信號(hào)協(xié)方差矩陣可表示為上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算.兩種假設(shè)下接收數(shù)據(jù)分別服從如下分布,

式中CN表示復(fù)高斯分布,K0和K1分別表示零假設(shè)和備選假設(shè)下的RCM,記接收數(shù)據(jù)矩陣為R=[r(1),···,r(L)] , 則可得零假設(shè)和備選假設(shè)下的概率密度函數(shù)

式中 |·| 表示矩陣行列式, t r(·) 表示矩陣的跡運(yùn)算.對(duì)(4)式取自然對(duì)數(shù)并利用矩陣求逆引理, 可得零假設(shè)和備選假設(shè)下的對(duì)數(shù)似然函數(shù)(Loglikelihood function, LLF)分別為:

式中 ∥ ·∥ 表示向量模值.進(jìn)而對(duì)數(shù)似然比(Loglikelihood ratio, LLR)可表示為:

3 深海波導(dǎo)中的GLR檢測(cè)器及其輸出信噪比

對(duì)于深海波導(dǎo)中位置和聲源級(jí)未知的窄帶聲源, 聲傳遞函數(shù)和信號(hào)功率均為未知參數(shù).此外存在噪聲功率已知和未知兩種情況.應(yīng)用GLR方法推導(dǎo)相應(yīng)的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量時(shí), 第一種情況下待估計(jì)未知參數(shù)為聲傳遞函數(shù)和信號(hào)功率, 第二種情況下待估計(jì)未知參數(shù)為噪聲功率、聲傳遞函數(shù)和信號(hào)功率.在此基礎(chǔ)上, 分析接收數(shù)據(jù)的空間維度和快拍數(shù)對(duì)GLR檢測(cè)器輸出信噪比的影響.

3.1 噪聲功率已知

為獲得相應(yīng)的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量, 須得到聲傳遞函數(shù)和信號(hào)功率的最大似然估計(jì).注意到信號(hào)功率為正標(biāo)量, 可將其與聲傳遞函數(shù)合并為一個(gè)量, 即令g′=σsg, 則備選假設(shè)下的LLF可寫為

運(yùn)用拉格朗日乘子法求解(8)式可得

式中λ為朗格朗日乘子.記的最大特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量為emax, 則由(9)式可得

將(10)式代入(6)式中并舍去常數(shù)項(xiàng), 可得該情況下的GLR檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為

該檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為SCM的最大特征值與噪聲功率之比, 因而將對(duì)應(yīng)檢測(cè)器稱為特征值檢測(cè)器(eigenvalue detector, EVD).

3.2 噪聲功率未知

此外, 該情況下未知參數(shù)g′的最大似然估計(jì)同上.

將(12)式代入(6)式中并舍去常數(shù)項(xiàng)可得該情況下的GLR檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為

該檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為SCM的最大特征值與其跡之比.同時(shí)也注意到, 該檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量不依賴于真實(shí)的噪聲功率, 因而其檢測(cè)門限也與真實(shí)噪聲功率無關(guān), 故該檢測(cè)器為恒虛警率(constant false alarm rate,CFAR)的特征值檢測(cè)器, 簡(jiǎn)記為CEVD.

上述EVD和CEVD都是運(yùn)用GLR方法推導(dǎo)得到的, 將其統(tǒng)稱為GLR檢測(cè)器, 二者具有類似的形式, 其檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量都可看作是SCM的最大特征值與噪聲功率之比.區(qū)別在于EVD直接利用真實(shí)噪聲功率信息 () , 而CEVD是從接收數(shù)據(jù)中估計(jì)噪聲功率(見(12)式).當(dāng)噪聲真實(shí)功率確定且已知時(shí), 對(duì)于CEVD, 由于噪聲功率估計(jì)誤差的存在, 可以預(yù)見其檢測(cè)性能相較于EVD會(huì)有所下降, 但隨著數(shù)據(jù)快拍數(shù)增多估計(jì)誤差減小, 性能下降程度也將減弱.這種性能犧牲是有意義的, 它帶來的是CEVD的恒虛警特性, 即在噪聲功率不確定的情況下依然能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健的檢測(cè)性能.

3.3 GLR檢測(cè)器的輸出信噪比

使用檢測(cè)器的輸出信噪比定量描述其檢測(cè)性能, 顯然輸出信噪比越大檢測(cè)器的檢測(cè)性能越好.為計(jì)算輸出信噪比, 引入檢測(cè)器的偏移系數(shù)(deflection coefficient, DC)[20], 其定義為

式中E[·] 表示求期望運(yùn)算,D[·] 表示求方差運(yùn)算,T表示相應(yīng)的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量.DC漸近表征了檢測(cè)器的輸出信噪比, 下面以EVD為例, 討論接收數(shù)據(jù)的空間維度和快拍數(shù)對(duì)GLR檢測(cè)器的影響.

零假設(shè)下, EVD的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量漸近(L＞N)服從2階Tracy-Widom分布[21]:

備選假設(shè)下, EVD的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量漸近 (L?1) 服從高斯分布[22], 其均值為

式中,μTW2和σTW2都是L,N的函數(shù), 因此給定信噪比下, EVD的輸出信噪比只與接收數(shù)據(jù)的快拍數(shù)和空間維度有關(guān).圖1給出了相同信噪比下,EVD的輸出信噪比隨快拍數(shù)和空間維度的變化曲線.可以看出, 相同信噪比下, EVD的輸出信噪比隨快拍數(shù)的增多而增大, 隨空間維度的增大而減小.

從統(tǒng)計(jì)檢測(cè)的原理來看, 當(dāng)快拍數(shù)增多時(shí),EVD獲得更大的時(shí)間增益, 相應(yīng)地其輸出信噪比增大; 而當(dāng)空間維度減小時(shí), 意味著未知參數(shù)的個(gè)數(shù)減少, 這使得GLR過程中的估計(jì)精度提高,EVD獲得更優(yōu)的檢測(cè)性能, 同時(shí)表現(xiàn)為更大的輸出信噪比.從物理角度來看, 由于背景噪聲在空間各維度均勻分布, 當(dāng)信號(hào)能量一定時(shí), 空間維度越低意味著引入檢測(cè)器的噪聲分量就越少, 因而檢測(cè)器能獲得更高的輸出信噪比.CEVD具有與EVD類似的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量, 同理可得空間維度對(duì)其檢測(cè)性能具有同樣規(guī)律的影響, 這里不再贅述.上述結(jié)果表明, 對(duì)于GLR檢測(cè)器, 相同能量的陣列接收信號(hào)位于更低維的空間時(shí), 更有利于噪聲背景下的信號(hào)檢測(cè).

圖1 EVD的輸出信噪比隨接收數(shù)據(jù)快拍數(shù)和空間維度的變化曲線, s nr=1 (a) 固定空間維度 N=20 ; (b) 固定快拍數(shù)L=100Fig.1.The output SNR of EVD varying with various snapshot number and spatial dimension, s nr=1 : (a) spatial dimension N=20 ; (b) snapshot number L=100.

4 基于簡(jiǎn)正波模態(tài)采樣信息的降維處理

本節(jié)從深海波導(dǎo)中聲傳播的物理特性出發(fā), 并結(jié)合陣列(VLA和HLA)接收的聲場(chǎng)結(jié)構(gòu), 提出一種基于簡(jiǎn)正波模態(tài)信息降維處理的GLR (dimensionreduced GLR, DR-GLR)檢測(cè)方法.

根據(jù)聲場(chǎng)簡(jiǎn)正波理論, 對(duì)于遠(yuǎn)距離傳播的聲場(chǎng), 只有有限階簡(jiǎn)正波模態(tài)在波導(dǎo)中傳播.深海波導(dǎo)中一定頻率的窄帶聲源到接收點(diǎn) (r,z) 處的聲壓傳遞函數(shù)可表示為各階簡(jiǎn)正波之和的形式,

式中z,r分別為接收點(diǎn)深度和水平距離,zs為聲源深度,M為波導(dǎo)中傳播的簡(jiǎn)正波階數(shù),?(·) ，kr,m和δm分別為第m階簡(jiǎn)正波的模態(tài)函數(shù)、水平波數(shù)和衰減系數(shù).由(19)式可知, 每階簡(jiǎn)正波聲場(chǎng)由沿垂直分布的駐波和沿水平方向傳播的行波構(gòu)成.當(dāng)使用VLA或HLA接收采樣簡(jiǎn)正波聲場(chǎng)時(shí), VLA采樣到各階駐波信息, HLA采樣到各階行波信息.降維處理的關(guān)鍵在于構(gòu)造降維矩陣, 由于VLA和HLA接收聲場(chǎng)結(jié)構(gòu)的差異性, 利用簡(jiǎn)正波模態(tài)采樣信息構(gòu)造降維矩陣的過程也有所不同.下面分別根據(jù)VLA和HLA各自接收聲場(chǎng)特性構(gòu)造降維矩陣, 對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理, 并給出相應(yīng)的DRGLR檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量.

4.1 基于VLA采樣簡(jiǎn)正波模態(tài)的降維處理

當(dāng)接收陣為VLA時(shí), 由(19)式, 聲場(chǎng)傳遞函數(shù)可表示為模態(tài)函數(shù)采樣矩陣(下簡(jiǎn)稱模態(tài)矩陣)與模態(tài)系數(shù)向量乘積的形式,

式中z1,···,zN分別為VLA各陣元的深度, 模態(tài)系數(shù)各階模態(tài)函數(shù)體現(xiàn)了駐波的特性, 沿垂直方向分布并覆蓋整個(gè)波導(dǎo)深度, 且滿足如下正交性:

式中H為波導(dǎo)深度, Δ(·) 為狄拉克函數(shù).由(20)式可知, 聲場(chǎng)位于模態(tài)矩陣張成的空間, 即span(g)∈span(Φv), 模態(tài)矩陣張成空間的維度決定了聲場(chǎng)的維度, 模態(tài)矩陣僅與聲源頻率和波導(dǎo)環(huán)境有關(guān), 而與聲源位置無關(guān).

在深海波導(dǎo)中, 通常VLA孔徑遠(yuǎn)小于波導(dǎo)深度, 導(dǎo)致陣列對(duì)模態(tài)信息采樣的完備程度很低, 各階模態(tài)之間不再滿足正交性并存在一定的相關(guān)性,導(dǎo)致模態(tài)矩陣包含部分冗余信息.造成的結(jié)果是,盡管陣元個(gè)數(shù)通常也小于聲源激發(fā)的模態(tài)階數(shù), 但事實(shí)上模態(tài)矩陣“有效模態(tài)空間”的維度在一定情況(聲源頻率和陣列配置)下仍小于接收數(shù)據(jù)的空間維度(即陣元個(gè)數(shù)).為獲得“有效模態(tài)空間”, 對(duì)模態(tài)矩陣進(jìn)行奇異值分解(singular value decomposition, SVD)

式中Uv=[uv,1,···,uv,N] 為N×N的列正交矩陣,Sv=diag(ξv,1,···,ξv,N)為奇異值矩陣(奇異值按降序排列),Vv=[vv,1,···,vv,N] 為M×N的列正交矩陣.由(22)式可知, 模態(tài)矩陣可表示為N個(gè)秩一矩陣的加權(quán)之和, 加權(quán)系數(shù)為對(duì)應(yīng)的奇異值.相應(yīng)地, 模態(tài)空間被分解為由這些秩一矩陣張成的N個(gè)相互正交的子空間, 每個(gè)子空間包含一定的模態(tài)信息, 而奇異值則表征了各子空間模態(tài)信息的權(quán)重.當(dāng)模態(tài)矩陣包含部分冗余信息時(shí), 則存在一部分極小奇異值, 這些極小奇異值對(duì)應(yīng)的子空間即為冗余子空間, 除此之外的子空間即為有效模態(tài)空間.有效模態(tài)空間包含了幾乎所有的模態(tài)信息, 且信號(hào)能量全部位于有效模態(tài)空間,

對(duì)于模態(tài)矩陣來說, 冗余子空間是不必要存在的, 因?yàn)樗鼈儾粌H對(duì)模態(tài)矩陣所包含的信息幾乎沒有貢獻(xiàn), 還占據(jù)一定維度的空間.摒棄冗余子空間,保留的有效模態(tài)空間包含的模態(tài)信息為有效模態(tài)信息.利用有效模態(tài)信息重構(gòu)模態(tài)矩陣可得

式中對(duì)各階奇異值做了歸一化,ξ0為極小奇異值的門限值.ξ0若取值較大, 則會(huì)損失一部分模態(tài)信息;若取值較小, 則會(huì)留存冗余子空間.本文取經(jīng)驗(yàn)值ξ0=0.01.由(23)式可知, 重構(gòu)的模態(tài)空間僅由M0個(gè)子空間構(gòu)成, 模態(tài)矩陣的維度也由N減小為M0.將其代入(20)式中, 則聲傳遞函數(shù)可表示為

式中R′為降維后的接收數(shù)據(jù),為降維后的SCM.容易發(fā)現(xiàn), SCM的維度由N減小為M0.

對(duì)于CEVD, 其檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量中的分子和分母都包含對(duì)SCM的運(yùn)算, 那么就存在兩種降維方式, 只對(duì)分子降維和同時(shí)對(duì)分子分母降維.由于噪聲均勻分布在各子空間, 若對(duì)分母部分也做降維處理, 那么就會(huì)濾除部分噪聲分量, 這對(duì)噪聲功率估計(jì)顯然是不利的.因此我們只對(duì)CEVD檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量的分子降維, 相應(yīng)的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為

將相應(yīng)的檢測(cè)器記為DR-CEVD.我們給出了DRGLR檢測(cè)的算法實(shí)現(xiàn)流程圖, 如圖2所示.經(jīng)過降維處理, 接收數(shù)據(jù)的空間維度由N減小為M0, 且信號(hào)能量幾乎沒有損失, 即信噪比幾乎保持不變,因此DR-GLR檢測(cè)器將獲得更好的檢測(cè)性能.

4.2 基于HLA采樣簡(jiǎn)正波模態(tài)信息的降維處理

當(dāng)接收陣為HLA時(shí), 聲源相對(duì)于HLA的位置參數(shù)除了深度和水平距離,還有水平方位角.這里假設(shè)聲源相對(duì)于HLA的水平方位角為θ(如圖3所示),以第一個(gè)陣元為參考陣元,利用(19)式,聲傳遞函數(shù)可寫為模態(tài)矩陣與模態(tài)系數(shù)相乘的形式

圖2 使用VLA時(shí)DR-GLR檢測(cè)器的算法流程圖Fig.2.The flow diagrams of the DR-GLR detectors when using a VLA.

式中z為HLA布放深度,r1為聲源與一號(hào)陣元的水平距離,rn=r1+(n-1)d為陣元的水平距離坐標(biāo).由(29)式可知,與VLA的情況類似,聲場(chǎng)同樣位于模態(tài)矩陣Φh張成的空間(〈Φh〉).不難發(fā)現(xiàn),模態(tài)矩陣的列向量是以方位角θ入射的不同波數(shù)平面波的方向矢量.因此與VLA不同,HLA采樣的是水平波數(shù)和方位角信息,而非模態(tài)函數(shù)信息.但為便于作類比理解,也稱其為模態(tài)矩陣.

圖3 水平陣聲源信號(hào)入射方位Fig.3.The arrival angle of acoustic signal on the HLA.

水平波數(shù)是聲源激發(fā)簡(jiǎn)正波行波的特征參數(shù),隨階數(shù)增大而減小,但變化十分緩慢,鄰近水平波數(shù)之間的差別很小,導(dǎo)致各階模態(tài)(方向矢量)之間的強(qiáng)相關(guān),最終造成模態(tài)采樣信息的冗余性.同理可對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理.由于HLA的模態(tài)矩陣是θ的函數(shù),運(yùn)用SVD方法獲得的降維矩陣也與θ有關(guān),記為方位角θ通常未知,為獲得最終的DR-GLRT檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量,需要在可能的方位角范圍內(nèi)進(jìn)行掃描,當(dāng)掃描到聲源真實(shí)方位角時(shí),信號(hào)聲場(chǎng)全部位于“有效模態(tài)空間”,降維過程中沒有信號(hào)能量損失,檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量的值達(dá)到最大,因此可得DR-EVD的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為

以及DR-CEVD的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量為

相應(yīng)的算法流程圖如圖4所示.

4.3 降維程度和降維系數(shù)

對(duì)于VLA和HLA,利用其各自采集的駐波信息和行波信息構(gòu)造降維矩陣,實(shí)現(xiàn)了DR-GLR檢測(cè).由于模態(tài)矩陣采樣信息的差異,最終得到的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量表達(dá)式稍有不同(后者需要在方位角上進(jìn)行掃描),但實(shí)質(zhì)上它們都利用了陣列接收簡(jiǎn)正波聲場(chǎng)信息的冗余性.對(duì)于VLA,冗余性是由陣列孔徑遠(yuǎn)小于波導(dǎo)垂直尺度造成的; 而對(duì)于HLA,各階水平波數(shù)的密集分布導(dǎo)致了模態(tài)采樣信息的冗余性,最終導(dǎo)致有效模態(tài)空間維度小于接收數(shù)據(jù)的空間維度.

顯然,有效模態(tài)空間維度越小,能對(duì)接收數(shù)據(jù)降維的程度就越大,DR-GLR檢測(cè)器也就可以獲得更大的輸出信噪比,檢測(cè)性能提升.有效模態(tài)空間的維度與陣列采樣的簡(jiǎn)正波聲場(chǎng)信息有關(guān),因此,對(duì)于不同的聲源頻率和陣列配置,降維程度也存在差異.對(duì)給定陣元數(shù)的陣列,定義降維系數(shù)

來定量描述降維程度,其值越大,表明降維程度越大,相應(yīng)地,DR-GLR檢測(cè)器能獲得相較于GLR檢測(cè)器更大的檢測(cè)性能提升.顯然,降維系數(shù)與有效模態(tài)空間維度(M0)呈負(fù)相關(guān).從物理角度來看,M0表征了陣列采樣簡(jiǎn)正波模態(tài)信息的“豐富程度”,而簡(jiǎn)正波模態(tài)數(shù)增多(如當(dāng)聲源頻率增大)和陣列孔徑增大(如當(dāng)陣元間距增大)都會(huì)加強(qiáng)這種“豐富程度”,帶來的結(jié)果就是M0增大、η減小.因此降維程度依賴于聲源頻率和陣列孔徑.當(dāng)有效模態(tài)空間維度增大到與接收數(shù)據(jù)的空間維度(即陣元數(shù))相等時(shí),η減小為零,DR-GLR將不再具有降維效果.

圖4 使用HLA時(shí)DR-GLR檢測(cè)器的算法流程圖Fig.4.The flow diagrams of the DR-GLR detectors when using a HLA.

5 數(shù)值仿真與分析

本節(jié)通過數(shù)值仿真,首先給出GLR檢測(cè)器,即EVD和CEVD的檢測(cè)性能分析與對(duì)比,以及接收數(shù)據(jù)的空間維度對(duì)其檢測(cè)性能的影響,然后驗(yàn)證經(jīng)過降維處理后的DR-GLR檢測(cè)器的性能提升效果,并結(jié)合聲場(chǎng)傳播與接收特性,探討引起檢測(cè)器性能變化的內(nèi)在物理機(jī)理.仿真使用的深海波導(dǎo)模型及相關(guān)環(huán)境參數(shù)如圖5所示,其中聲速剖面為Munk曲線,如圖6所示.考慮與距離無關(guān)的波導(dǎo)環(huán)境,假設(shè)聲源深度為200 m.仿真中聲場(chǎng)及簡(jiǎn)正波模態(tài)由KRAKEN程序計(jì)算,仿真圖中標(biāo)注的信噪比為對(duì)數(shù)信噪比,即dB.

圖5 深海波導(dǎo)及相關(guān)環(huán)境參數(shù)Fig.5.Deep-sea waveguide and environmental parameters.

5.1 EVD和CEVD的檢測(cè)性能分析

分別考察噪聲功率已知和未知時(shí)EVD和CEVD的檢測(cè)性能表現(xiàn)情況.假設(shè)窄帶聲源中心頻率為150 Hz,陣元數(shù)為30,陣元間距為半波長(zhǎng)(5 m),虛警概率PFA=0.01.檢測(cè)門限和檢測(cè)概率利用蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)計(jì)算,計(jì)算每一個(gè)檢測(cè)概率的實(shí)驗(yàn)次數(shù)為100000.本文討論的檢測(cè)性能通過給定虛警概率和信噪比下的檢測(cè)概率來考量,暫不考慮陣列配置(如陣型、布放深度、陣元間距等)對(duì)信噪比的影響,給定信噪比情況下,EVD和CEVD的檢測(cè)性能與陣列配置無關(guān),因而暫且對(duì)陣列配置不作要求.

圖6 深海聲速剖面Fig.6.Deep-sea sound speed profile.

圖7給出了快拍數(shù)L=20 和L=40 時(shí),EVD和CEVD的檢測(cè)概率隨信噪比的變化曲線.由圖5可知,檢測(cè)性能隨快拍個(gè)數(shù)的增加而提高,相同快拍數(shù)下EVD的檢測(cè)性能優(yōu)于CEVD.這是因?yàn)镃EVD沒有直接利用真實(shí)噪聲功率,而是從接收數(shù)據(jù)中估計(jì)噪聲功率.由于接收數(shù)據(jù)快拍數(shù)的限制,CEVD估計(jì)得到的噪聲功率與真實(shí)噪聲功率有偏差,進(jìn)而造成其檢測(cè)性能差于EVD.但隨著快拍數(shù)的增多,CEVD從接收數(shù)據(jù)中獲得的噪聲功率估計(jì)的精確性提高,相應(yīng)地其檢測(cè)性能與EVD的差距縮小,如圖7(b)所示.

當(dāng)噪聲功率未知時(shí),使用EVD時(shí)需要通過預(yù)先采集的噪聲訓(xùn)練樣本來估計(jì)噪聲功率.然而由于真實(shí)環(huán)境的非平穩(wěn)性和噪聲樣本數(shù)量的限制,估計(jì)的噪聲功率通常與其真實(shí)值存在一定的偏差.因此在使用EVD時(shí),就會(huì)產(chǎn)生噪聲功率不確定性的問題[15,16].使用噪聲不確定因子[21](noise uncertainty factor,NUF)描述噪聲功率不確定性,其定義為

圖7 不同信噪比下檢測(cè)概率曲線比較,PFA=0.01 (a) L=20 ; (b)L=40Fig.7.Probability of detection curves with various SNRs,PFA=0.01: (a) L=20 ; (b) L=40.

圖8 噪聲功率不確定,不同信噪比下檢測(cè)概率曲線比較 (a) L=20 ; (b)L=40Fig.8.Probability of detection curves with various SNRs when noise power is uncertain: (a) L=20 ; (b) L=40.

圖8給出了快拍數(shù)為L(zhǎng)=20 和L=40 時(shí),噪聲功率不確定度為μ=0.25 dB和μ=0.5 dB時(shí)GLR檢測(cè)器的檢測(cè)概率曲線.由圖8可知,當(dāng)存在噪聲功率不確定性時(shí),EVD的檢測(cè)性能下降,且隨著噪聲功率不確定度的增大,EVD的檢測(cè)性能持續(xù)下降以致差于CEVD,如μ=0.5 dB時(shí),EVD的檢測(cè)概率已經(jīng)明顯低于CEVD; 而CEVD的檢測(cè)性能始終保持不變,不受噪聲功率不確定性的影響,這也驗(yàn)證了CEVD作為CFAR檢測(cè)器的性質(zhì).同時(shí)對(duì)比圖8(a)和圖8(b)可以看出,噪聲功率不確定情況下快拍數(shù)增加時(shí)CEVD的檢測(cè)性能提升得更快.

考慮接收數(shù)據(jù)的空間維度對(duì)GLR檢測(cè)器的檢測(cè)性能的影響,給出了不同陣元數(shù)下檢測(cè)概率隨信噪比變化的曲線,如圖9所示.由圖9可知,隨著陣元數(shù)增多,接收數(shù)據(jù)的空間維度增大,EVD和CEVD的檢測(cè)概率都明顯下降,這與前文中EVD的輸出信噪比隨數(shù)據(jù)維度增大而減小的情況相一致,同時(shí)也驗(yàn)證了通過降維處理改善GLR檢測(cè)器檢測(cè)性能的可行性.圖9中的對(duì)比結(jié)果是在相同信噪比情況下獲得的,并不是說縮減陣元個(gè)數(shù)可以提高GLR檢測(cè)器的檢測(cè)概率.若縮減陣元數(shù)使信噪比明顯下降,則有可能導(dǎo)致檢測(cè)概率下降.

5.2 降維處理對(duì)GLR檢測(cè)器的性能提升

分別考慮使用VLA和HLA時(shí)DR-GLR檢測(cè)器的檢測(cè)性能.設(shè)置VLA初始深度為100 m(最靠近海面的陣元深度),水平距離為30 km; HLA深度為100 m,聲源距HLA一號(hào)陣元的水平距離為30 km,水平方位角θ=10°; 其他參數(shù)同上.該頻率聲源總共激發(fā)了490階簡(jiǎn)正波,使用VLA和HLA采集的各階模態(tài)信息和模態(tài)矩陣歸一化的奇異值分布如圖10所示.由圖10(a)和圖10(c)可知,VLA和HLA采集到迥然不同的模態(tài)信息,分別是駐波信息和行波信息,且各階模態(tài)信息形成了明顯的干涉條紋,表明各階模態(tài)之間存在相關(guān)性,以及模態(tài)采樣矩陣包含冗余信息.由圖10(b)和圖10(d)可知,模態(tài)矩陣存在一部分極小奇異值,這部分極小奇異值對(duì)應(yīng)了冗余模態(tài)信息張成的空間,利用(24)式計(jì)算可得VLA和HLA降維矩陣的維度M0分別為18和5.因此可以發(fā)現(xiàn),HLA采樣模態(tài)信息具有更強(qiáng)的冗余性,有效模態(tài)空間維度更小.這意味著對(duì)于相同孔徑的陣列,由于HLA采樣的行波信息之間具有更強(qiáng)的相關(guān)性,其接收信號(hào)聲場(chǎng)事實(shí)上位于更低維的有效模態(tài)空間,

圖9 不同數(shù)據(jù)維度下的檢測(cè)概率曲線對(duì)比,快拍數(shù) L=40 (a) EVD; (b) CEVDFig.9.Probability of detection curves with various spatial dimension: (a) EVD; (b) CEVD.

圖10 陣列采樣模態(tài)信息及相應(yīng)模態(tài)矩陣的奇異值 (a) VLA采樣的各階模態(tài); (b) VLA; 歸一化的各階奇異值分布;(c) HLA采樣的各階模態(tài); (d) HLA,歸一化的各階奇異值分布Fig.10.Modal information sampled on the array and singular values of corresponding mode matrices: (a) Various modes sampled on the VLA; (b) normalized singular values associated with the VLA; (c) various modes sampled on the HLA; (d) normalized singular values associated with the HLA.

圖11給出了噪聲功率已知情況下,使用VLA和HLA時(shí)DR-GLR檢測(cè)器的檢測(cè)概率曲線,快拍數(shù)L=20.為便于對(duì)比,圖中也給出了GLR檢測(cè)器的檢測(cè)概率曲線.記檢測(cè)概率達(dá)到0.5所需的信噪比為檢測(cè)器的信噪比門限.對(duì)于VLA,DR-EVD和DR-CEVD的信噪比門限相較于EVD和CEVD分別降低了0.9 和1.3 dB; 對(duì)于HLA,相較于EVD和CEVD,DR-EVD和DR-CEVD的信噪比門限分別有2.1 和2.6 dB的下降.由于利用采樣簡(jiǎn)正波模態(tài)信息對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行了降維處理,使得GLR檢測(cè)在更低維的空間進(jìn)行,因而GLR檢測(cè)器的檢測(cè)性能獲得明顯的提高.HLA采樣的行波信息冗余性更強(qiáng),有效模態(tài)空間維度更小,因此該條件下使用HLA時(shí)DR-GLR獲得更好的檢測(cè)性能改善效果.

圖12給出了噪聲功率不確定情況下使用VLA和HLA時(shí)DR-GLR檢測(cè)器的檢測(cè)性能表現(xiàn).與未降維的結(jié)果一致,DR-EVD的檢測(cè)性能隨噪聲功率不確定度的增大而下降,而由于降維后的DRCEVD仍為CFAR檢測(cè)器,DR-CEVD的檢測(cè)性能與噪聲功率不確定度無關(guān),表現(xiàn)出對(duì)噪聲不確定性的穩(wěn)健性,同時(shí)這種穩(wěn)健性對(duì)于VLA和HLA都成立,因此在非平穩(wěn)的噪聲環(huán)境中,噪聲功率難以估計(jì)時(shí)DR-CEVD是更佳的選擇.

5.3 采樣模態(tài)信息及其對(duì)降維程度的影響

陣列采樣模態(tài)信息的“豐富程度”決定了陣列接收聲場(chǎng)的有效模態(tài)空間維度,進(jìn)而影響了降維程度,圖13中給出了聲源激發(fā)的各階簡(jiǎn)正波模態(tài)函數(shù)幅值在波導(dǎo)深度上的變化和各階水平波數(shù)分布,其中陣元數(shù)為30,聲源頻率為150 Hz,水平方位角θ=0°.由圖13(a)可知,接近海面和海底時(shí)模態(tài)函數(shù)幅值為零的階次較多,因此當(dāng)陣列位于靠近海面或者海底位置時(shí),冗余模態(tài)信息增多,降維程度將會(huì)加強(qiáng).由圖13(b)可知,各階水平波數(shù)在數(shù)值上非常接近,這使得HLA采樣的各階模態(tài),也就是各方向向量之間具有強(qiáng)相關(guān)性.因此相較于VLA,HLA的模態(tài)矩陣包含著更多冗余信息,有效模態(tài)空間維度更小,降維程度更強(qiáng) (如圖10(b)和(d)所示).

圖11 不同信噪比下的檢測(cè)概率曲線對(duì)比,快拍數(shù) L=20 (a) VLA； (b) HLAFig.11.Probability of detection curves of different detectors,snapshot number L=20 : (a) VLA; (b) HLA.

圖12 噪聲功率不確定,不同信噪比下檢測(cè)概率曲線對(duì)比,快拍數(shù) L=40 (a) VLA; (b) HLAFig.12.Probability of detection curves of different detectors when noise power is uncertain,snapshot number L=40 : (a) VLA;(b) HLA.

陣列配置和聲源頻率是影響陣列采樣模態(tài)信息的兩個(gè)重要因素,前者決定了陣列采樣模態(tài)信息的結(jié)構(gòu)特征,后者決定了模態(tài)采樣信息的階數(shù),進(jìn)而影響降維程度.首先考慮陣列配置對(duì)陣列采樣模態(tài)信息的影響,這里陣列配置是指陣元間距與布放深度.給出了降維系數(shù)隨陣元間距和陣列深度的變化曲線,如圖14所示,仿真參數(shù)同上.由圖14(a)可知,降維系數(shù)隨陣元間距的增大而減小,這是因?yàn)殛嚵锌讖皆龃髸r(shí)采集到更大尺度上的模態(tài)信息,模態(tài)信息的“豐富程度”加強(qiáng),各階模態(tài)之間的相關(guān)性下降,有效模態(tài)空間維度增大,降維程度相應(yīng)減弱; 同時(shí)在減小速度上VLA遠(yuǎn)快于HLA,這與圖13(b)的分析結(jié)果一致.由圖14(b)可知,陣列深度改變時(shí)降維系數(shù)變化幅度不大,這是因?yàn)殛嚵胁蓸拥哪B(tài)信息的總量變化不大,同時(shí)觀察到陣列深度接近海面或海底時(shí)降維系數(shù)較大,這與圖13(a)的分析結(jié)果一致.需要指出的是,這里僅討論了陣列配置對(duì)降維程度的影響,實(shí)際當(dāng)中的陣列配置還要考慮分辨率、傳播損失等因素,并不意味著陣元間距越小越好.

聲源頻率決定了聲源激發(fā)模態(tài)階數(shù)多少,當(dāng)聲源頻率增大時(shí),波導(dǎo)中傳播的模態(tài)數(shù)目增多,進(jìn)而陣列采樣模態(tài)信息的“豐富程度”加強(qiáng),有效模態(tài)空間維度增大.圖15給出了降維系數(shù)隨聲源頻率的變化曲線,其中陣列深度為200 m,可以看出當(dāng)聲源頻率增大時(shí),降維系數(shù)減小.當(dāng)頻率增大到一定值時(shí)(如頻率為400 Hz,VLA,d=4 m),降維系數(shù)減為零,DR-GLR不再具有降維的作用.

圖13 聲源激發(fā)的各階簡(jiǎn)正波模態(tài)函數(shù)和水平波數(shù) (a)各階模態(tài)函數(shù)幅值隨波導(dǎo)深度的變化; (b)各階水平波數(shù)分布Fig.13.Modal functions and horizontal wavenumber of various normal modes excited by the acoustic source: (a) Modal functions along with various depths; (b) distribution of various horizontal wavenumbers.

圖14 陣列配置對(duì)降維程度的影響,N=40 (a) 陣列深度100 m; (b) 陣元間距4 mFig.14.The influence of array configuration on the degree of dimension reduction,N=40 : (a) Array depth of 100 m; (b) hydrophone spacing of 4 m.

圖15 降維系數(shù)隨聲源頻率的變化曲線Fig.15.The dimension reduction coefficient varying with increasing frequency.

6 結(jié) 論

本文研究了深海波導(dǎo)中的水下窄帶聲源檢測(cè),利用GLR方法推導(dǎo)并得到了兩種檢測(cè)器EVD和CEVD,在此基礎(chǔ)上提出了一種基于簡(jiǎn)正波模態(tài)采樣信息降維處理的廣義似然比檢測(cè)方法.通過理論分析與仿真實(shí)驗(yàn)得到了如下結(jié)論: 1)多快拍下的GLR檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量是基于對(duì)SCM最大特征值的處理,相較于EVD,CEVD以犧牲部分檢測(cè)性能的代價(jià)獲得了恒虛警特性,即在噪聲功率不確定情況下仍能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健的檢測(cè)性能; 2) 理論分析表明,在相同信噪比下,GLR檢測(cè)器的輸出信噪比隨接收數(shù)據(jù)快拍數(shù)的增大而增大,隨空間維度的減小而增大,因此可考慮通過對(duì)接收數(shù)據(jù)的降維處理改善GLR檢測(cè)的檢測(cè)性能; 3)通過舍棄冗余模態(tài)空間獲得有效模態(tài)空間,利用保留的有效模態(tài)空間構(gòu)造降維矩陣并對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理,可在幾乎不損失陣列接收信號(hào)能量的前提下降低接收數(shù)據(jù)的空間維度; 4)由于接收簡(jiǎn)正波模態(tài)信息的差異性,VLA和HLA的DR-GLR檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量具有不同的形式(后者需要在角度上掃描),并且由于HLA采樣各階行波信息之間的強(qiáng)相關(guān)性,使得HLA接收聲場(chǎng)位于更低維的有效模態(tài)空間; 5) 降維處理對(duì)GLR檢測(cè)器的檢測(cè)性能改善程度與降維程度呈正相關(guān),降維程度隨陣元間距和聲源頻率的增大而減弱.