李天梅，司小勝，楊宗浩，徐從啟，張琪

1.火箭軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈工程學(xué)院，西安 710025 2.火箭軍士官學(xué)校，青州 262500 3.中國人民解放軍32181部隊，西安 710032

測試性增長模型(Testability Growth Model，TGM)是跟蹤并預(yù)計裝備測試性水平增長過程的數(shù)學(xué)模型，是裝備測試性增長分析過程的核心要素。而為了更加方便有效地實現(xiàn)測試性增長跟蹤與預(yù)計，需要建立測試性增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時間函數(shù)模型[1-2]。

近年來，測試性增長建模相關(guān)問題已成為測試性工程領(lǐng)域的熱難點問題。Li等[3]研究建立了測試性增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時間函數(shù)模型，該模型通過分析測試性設(shè)計缺陷(Testability Design Limitation，TDL)變化規(guī)律，構(gòu)建具有鈴形變化規(guī)律的測試性增長效能函數(shù)來表征已識別TDL數(shù)量變化趨勢，并假設(shè)TDL在識別后立即被修正，不存在時間延遲，且不引入新的TDL。Zhao等[4-5]針對試驗過程中故障模式可能發(fā)生變化的情況，并假設(shè)對識別的TDL不能一次性根除，分析測試性指標(biāo)變化規(guī)律，提出了一種基于馬爾科夫鏈考慮非理想修正的測試性增長參數(shù)模型。該模型是以單個故障模式不可檢測/隔離概率作為馬爾科夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，但對于大型復(fù)雜裝備，每個故障模式的不可檢測/隔離概率數(shù)據(jù)很難獲取，且所獲取數(shù)據(jù)具有很大的不確定性，因此影響所建立測試性增長參數(shù)模型的準(zhǔn)確性。

以上模型的提出對測試性增長試驗的開展具有重要理論指導(dǎo)意義，但這些模型忽略了測試性設(shè)計者的學(xué)習(xí)過程和TDL修正延時問題。測試性設(shè)計者學(xué)習(xí)過程是指隨著裝備測試性增長過程的進(jìn)行，測試性設(shè)計人員對系統(tǒng)越來越了解，對測試性設(shè)計技術(shù)越來越熟悉，對TDL修正能力越來越強(qiáng)。修正延時是指TDL修正過程滯后于TDL識別過程的現(xiàn)象，從時間角度來看就是TDL被識別之后到完全被修正所需要的那一段時間。因此，如何考慮測試性設(shè)計者的學(xué)習(xí)過程和修正延時現(xiàn)象建立準(zhǔn)確的測試性增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時間函數(shù)模型十分必要。

在軟件可靠性領(lǐng)域中，有大量考慮故障修正延時的軟件可靠性增長模型。Schneidewind[6]首先提出故障修正過程是影響可靠性和測試進(jìn)度的主要過程，他從時間角度分析了故障修正延遲現(xiàn)象，并在假設(shè)修正延遲是一個常數(shù)的基礎(chǔ)上建立了故障修正過程的軟件可靠性增長模型。在此基礎(chǔ)上，一些學(xué)者還提出了基于不同時間延時函數(shù)的軟件可靠性增長模型[7-9]。在測試性增長過程中，修正TDL是測試性設(shè)計增長的主要目的，對于不同的TDL其修正的難易程度不同，需要的修正時間不同，同時，隨著測試性設(shè)計者學(xué)習(xí)過程的存在，很難用一種時間延時函數(shù)統(tǒng)一描述。然而與描述每個TDL的延時時間相比，測定已識別TDL數(shù)量和已修正TDL數(shù)量是較為簡單的和可行的。事實上，測試性增長的目的就是逐一識別并修正TDL，這里將已經(jīng)識別到但未修正的測試性設(shè)計缺陷，稱為剩余測試性設(shè)計缺陷(Remaining Testability Design Limitation，RTDL)，RTDL數(shù)量能直接反映測試性設(shè)計水平的高低。

基于以上分析，本文考慮測試性設(shè)計者的學(xué)習(xí)過程，在分析TDL識別過程與修正過程存在延時關(guān)系的基礎(chǔ)上，通過分析TDL識別與修正機(jī)理及變化規(guī)律，構(gòu)建具有鈴形變化規(guī)律的剩余測試性設(shè)計缺陷函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，研究建立基于Gamma、Rayleigh和Delay-S 3種鈴型曲線考慮修正延時的測試性增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時間函數(shù)模型；最后，基于某機(jī)載穩(wěn)定跟蹤平臺的增長試驗數(shù)據(jù)，驗證所提測試性增長模型的有效性。

1 RTDL變化趨勢分析

在實際的測試性增長試驗中，TDL必須在被識別之后才能被修正。一般來說識別的測試性缺陷數(shù)量越多，修正的TDL也隨之增多。與此同時，修正的TDL數(shù)量越多，TDL修正人員積累的經(jīng)驗也越多，可以更容易對已識別的TDL進(jìn)行修正。

在測試性增長試驗初期，隨著注入的故障模式數(shù)量逐漸增加，TDL逐漸被識別，已識別TDL數(shù)量不斷增多。此時，由于設(shè)計師缺乏經(jīng)驗，TDL不容易被修正，所用的修正時間較長，TDL修正效率較低，TDL的修正過程將滯后于TDL的識別過程，RTDL不斷增大。隨著測試性增長試驗的進(jìn)行，在規(guī)定的故障注入次數(shù)下，能識別的測試性設(shè)計缺陷數(shù)量逐漸達(dá)到飽和，設(shè)計師不斷學(xué)習(xí)，對儀器、工具、方法逐漸掌握，經(jīng)驗不斷積累，TDL的修正效率不斷提高，RTDL數(shù)量逐漸減小，TDL的修正過程逐漸逼近TDL的識別過程。而且RTDL能夠從測試性設(shè)計缺陷數(shù)量上直接反應(yīng)修正延時的變化過程，且具有“先增后減”的變化趨勢。

衡量測試性的指標(biāo)包括故障檢測率(Fault Defection Rate，F(xiàn)DR)、故障隔離率、以及虛警率等，這些指標(biāo)在數(shù)學(xué)上沒有相關(guān)性。因此一般情況下，一次測試性增長試驗只能以一個測試性指標(biāo)增長為目標(biāo)。不失討論問題的一般性，接下來的論文部分以FDR增長模型建模為例展開討論。

2 考慮TDL修正延時的FDR增長模型

(1)

式中：a為最初隱藏于系統(tǒng)中的TDL數(shù)量；b為比例系數(shù)，不失討論問題的一般性，假設(shè)b為常數(shù)；mf(t)為識別出的TDL數(shù)量；mr(t)為識別并有效修正的TDL數(shù)量。

由第1節(jié)分析可知，由于存在測試性設(shè)計者的學(xué)習(xí)過程，導(dǎo)致TDL在識別出來后不能被立即修正，即存在TDL的修正延時問題。RTDL數(shù)量記為y(t)，即

mf(t)-mr(t)=y(t)

(2)

將式(2)代入式(1)可得

(3)

FDR的數(shù)學(xué)模型可表示為

(4)

式中：M為故障模式總數(shù)，可以通過故障模式影響及危害性分析得到；ND為系統(tǒng)測試性設(shè)計能夠成功檢測到的故障模式數(shù)量。

ND的表達(dá)式為

ND=M-(a-mr(t))

(5)

ND=M-[a-(mf(t)-y(t))]

(6)

將(6)式代入(4)式可得

(7)

式中：q(t)即為考慮TDL修正延時的測試性增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時間函數(shù)模型的一般表達(dá)形式。

由于測試性試驗工程師具有一定的學(xué)習(xí)能力，隨著測試性增長試驗的開展，RTDL數(shù)量具有先增后減的變化趨勢，借鑒軟件可靠性增長領(lǐng)域考慮學(xué)習(xí)過程的鈴形曲線形式[10-13]，分別采用Gamma、Rayleigh和Delay-S 3種鈴形曲線表示RTDL變化趨勢，將這3種曲線代入式(6)，即可得到考慮TDL修正延時的3種不同曲線特性下的FDR增長模型。

2.1 基于Gamma修正延時曲線的FDR增長模型

Gamma曲線可以表示為[10]

(8)

由式(8)可知，Gamma曲線是一條光滑的鈴形曲線，如圖1所示。

圖1 具有固定參數(shù)的Gamma函數(shù)曲線(α=240, β=1.496, θ=5.96)Fig.1 A Gamma curve with fixed parameters (α=240, β=1.496, θ=5.96)

將式(8)代入式(3)可得

(9)

在邊界條件mf(0)=0下求解微分方程式(9) 可得

(10)

將式(10)代入式(7)，可得基于Gamma修正延時曲線的FDR增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時間函數(shù)模型為

(11)

2.2 基于Rayleigh修正延時曲線的FDR增長模型

Rayleigh曲線可以表示為[11]

(12)

由式(12)可知，Rayleigh函數(shù)是一條光滑的鈴形曲線，如圖2所示。

將式(12)代入式(3)可得

(13)

在邊界條件mf(0)=0下求解微分方程(13)可得

(14)

將式(14)代入式(6),可得基于Rayleigh修正延時曲線的FDR增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時間函數(shù)模型為

(15)

圖2 具有固定參數(shù)的Rayleigh函數(shù)曲線(α=240, β=0.111 1)Fig.2 A Rayleigh curve with fixed parameters (α=240, β=0.111 1)

2.3 基于Delay-S修正延時曲線的FDR增長模型

Delay-S曲線可以表示為[12-13]

y(t)=αβ2te-β t

(16)

由式(16)可知，Delay-S函數(shù)是一條光滑的鈴形曲線，如圖3所示。

將式(16)代入式(3)可得

(17)

圖3 Delay-S函數(shù)曲線示意圖 (α=240, β=0.111 1)Fig.3 A Delayed-S curve with fixed parameters (α=240, β=0.111 1)

在邊界條件mf(0)=0下求解微分方程(17)可得

(18)

將式(18)代入式(6)，可得基于Delay-S修正延時曲線的FDR增長參數(shù)化學(xué)習(xí)曲線時間函數(shù)模型為

q(t)=1-

(19)

3 試驗驗證

3.1 試驗數(shù)據(jù)說明

為驗證本文所建TGM的有效性，以某型機(jī)載穩(wěn)定跟蹤平臺控制系統(tǒng)為對象開展了測試性增長試驗，具體的試驗數(shù)據(jù)見表1。對該機(jī)載穩(wěn)定跟蹤平臺開展故障模式影響及其危害性分析得到該平臺有350個功能故障。在研制階段共投入24周時間開展測試性增長試驗，在這24周時間里，通過注入313個板級功能故障，識別了86個TDL。測試性設(shè)計者分析導(dǎo)致TDL的根本原因并改進(jìn)測試性設(shè)計，共修正了80個TDL。

基于表1所列數(shù)據(jù)，已識別TDL數(shù)量、已修正TDL數(shù)量和RTDL數(shù)量變化趨勢如圖4所示。

從圖4中可以看出已識別的TDL數(shù)量和已修正的TDL數(shù)量變化趨勢十分相似，表明兩者之間存在一定的相關(guān)性。而RTDL數(shù)量并不是常數(shù)，在測試性增長試驗的開始階段，RTDL數(shù)量不斷增長，而在增長試驗的后期，RTDL數(shù)量不斷減小，具有先增后減的鈴形變化趨勢。

表1 某機(jī)載穩(wěn)定跟蹤平臺測試性增長試驗數(shù)據(jù)Table 1 Test data of a stable tracking platform

圖4 已識別TDL、已修正TDL和RTDL數(shù)量變化趨勢Fig.4 Variation tendency of identified TDL, corrected TDL and RTDL

3.2 TGM參數(shù)估計

本文采用最小二乘方法估計得到式(10)、式(14)、式(18)中的參數(shù)。

以式(18)中參數(shù)估計為例，首先計算

(20)

式(20)分別對參數(shù)集合η1={α,β}求偏導(dǎo)數(shù)可得

(21)

代入具體的表達(dá)式和數(shù)據(jù)，通過最小二乘求極值原理可得到參數(shù)估計結(jié)果為：α=674.46、β=0.084 8。

將求得的α=674.46、β=0.08代入式(18)后，計算可得

(22)

式(22)分別對參數(shù)集合η2={a,b}求偏導(dǎo)數(shù)可得

(23)

代入具體的表達(dá)式和數(shù)據(jù)，通過最小二乘求極值原理可得到參數(shù)估計結(jié)果為：a=46.03、b=0.18。

同理，可以計算得到式(10)、式(14)中具體參數(shù)估計結(jié)果，見表2。

基于表2的參數(shù)估計結(jié)果，圖5給出了實際剩余測試性設(shè)計缺陷數(shù)量變化曲線和基于Gamma、Rayleigh和Delay-S 3種鈴形曲線擬合出來的剩余測試性設(shè)計缺陷數(shù)量變化趨勢圖。

圖6給出了實際檢測到測試性設(shè)計缺陷數(shù)量變化曲線和基于式(10)、式(14)、式(18)計算得到的已檢測出測試性設(shè)計數(shù)量變化趨勢圖。

表2 最小二乘參數(shù)估計值Table 2 Estimation values based on LSE

圖5 實際的和鈴形曲線擬合的RTDL數(shù)量Fig.5 Actual number of RTDL and fitting number of RTDL

圖6 實際的和擬合的已識別測試性設(shè)計缺陷個數(shù)Fig.6 Actual number and fitting number of identified TDL

3.3 TGM評估指標(biāo)

下面分別從擬合能力、估計精度和預(yù)測能力3個方面給出TGM的評價指標(biāo)。

1) 誤差平方和(Sum of Square due to Error，SSE)

SSE反映了估計值和實際值之間的偏差,SSE的定義為[14-15]

(24)

式中：n為測試性增長試驗階段數(shù)；yi為經(jīng)過實際測試性增長試驗后累計的RTDL數(shù)量；y(i)為測試性增長跟蹤與預(yù)計計算得到的RTDL數(shù)量。SSE越小，說明模型擬合效果越好。

2) 估計精度(Accuracy of Estimation，AE)

AE的定義為[14-15]

(25)

式中：mr為通過測試性增長試驗累計修正的TDL數(shù)量；a為估計得到的裝備系統(tǒng)最初包含TDL數(shù)量。AE越小，說明模型估計精度越高。

3) 相對誤差(Relative Error，RE)

RE定義為[14-15]

(26)

3.4 TGM效果分析

本文建立的考慮TDL修正延時的TGM，其SSE和AE計算結(jié)果見表3。

分析表3中數(shù)據(jù)可得，基于Gamma鈴形修正延時曲線建立的測試性增長模型，其SSE和AE值相對較小，表明該模型具有很好地擬合和估計能力。圖5和圖6的示意圖中也說明了這一結(jié)論。

圖7描述了基于3種鈴形修正延時曲線建立的測試性增長模型在RE這一指標(biāo)的變化趨勢。由圖7可以看出，基于Gamma鈴形修正延時曲線建立的測試性增長模型計算得到的RE值相對于其他兩種模型要小，且跟蹤與預(yù)計精度能達(dá)到10-2數(shù)量級。

表3 3種模型指標(biāo)估計值Table 3 Estimate values of SSE and AE

圖7 基于3種鈴形曲線的RE變化趨勢Fig.7 Variation tendency of RE based on three bell shaped curves

將表2計算得到的參數(shù)估計值代入式(11)繪制基于Gamma修正延時曲線的FDR增長試驗跟蹤與預(yù)計曲線，同時基于表1的測試性增長試驗數(shù)據(jù)繪制該機(jī)載穩(wěn)定跟蹤平臺實際FDR增長曲線，如圖8所示。

圖8 基于Gamma曲線的FDR增長曲線Fig.8 Variation tendency of FDR based on Gamma curves

4 結(jié) 論

1) 分析了剩余測試性設(shè)計缺陷具有先增后減的鈴形變化趨勢，提出基于Gamma、Rayleigh和Delay-S 3種曲線來擬合剩余測試性設(shè)計缺陷變化趨勢，數(shù)據(jù)應(yīng)用表明Gamma曲線擬合精度更高。

2) 以故障檢測率為具體的增長指標(biāo)，研究建立了基于3種剩余測試性設(shè)計變化趨勢曲線(Gamma, Rayleigh和Delay-S)、考慮修正延時的FDR增長模型，從擬合精度、估計精度和預(yù)測精度上給出了3個評價指標(biāo)。試驗數(shù)據(jù)應(yīng)用表明基于Gamma曲線考慮修正延時的測試性增長模型可以較精確地描述裝備測試性指標(biāo)在測試性增長過程中的變化規(guī)律，跟蹤與預(yù)計精度能達(dá)到10-2數(shù)量級。