孫霆，董春曦，董陽陽，劉明明

西安電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，西安 710071

無源定位算法是指定位系統(tǒng)不向被定位目標(biāo)發(fā)射電磁波信號(hào)，而是僅利用目標(biāo)輻射源的輻射信息，確定出目標(biāo)位置的一種技術(shù)[1]，被廣泛應(yīng)用在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)[2-4]、雷達(dá)[5-6]以及聲吶系統(tǒng)[7-8]等領(lǐng)域中。對(duì)于靜止目標(biāo)，無源定位技術(shù)主要是依靠不同類型的觀測(cè)量，包括到達(dá)時(shí)間(Time of Arrival，TOA)、到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival，TDOA)、到達(dá)角(Angle of Arrival，AOA)、以及上述參數(shù)的相互結(jié)合。而當(dāng)觀測(cè)站與目標(biāo)存在相互運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以聯(lián)合TDOA以及到達(dá)頻率差(Fequency Difference of Arrival，F(xiàn)DOA)觀測(cè)量對(duì)目標(biāo)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

本文主要針對(duì)TDOA/FDOA定位算法進(jìn)行研究，該定位體制中由于目標(biāo)參數(shù)與觀測(cè)量存在非線性關(guān)系，因此求解變得比較困難。比較經(jīng)典的TDOA/FDOA定位算法包括一些迭代算法[9-12]、兩步加權(quán)最小二乘(Two-Stage Weighted Least Squares，TSWLS)算法[13-14]、半定松弛(SeminDefine Relaxation，SDR)算法[15-16]、多維標(biāo)度(MultiDimensional Scaling, MDS)算法[17-18]。文獻(xiàn)[9-12]均為迭代算法并且都具有良好的估計(jì)性能，但是這些迭代算法的收斂性受初值影響較大，當(dāng)初值選取較差時(shí)，定位精度無法保證，并且迭代結(jié)構(gòu)要求這些算法需要繁瑣的計(jì)算。

為了克服迭代算法的缺點(diǎn)，文獻(xiàn)[14]提出了經(jīng)典的兩步加權(quán)最小二乘算法。該算法首先通過引入中間變量建立一組關(guān)于TDOA與FDOA的偽線性方程，通過加權(quán)最小二乘(Weighted Least Squares，WLS)技術(shù)得到了目標(biāo)參數(shù)與中間變量的初始估計(jì)值，隨后利用中間變量與目標(biāo)之間的約束關(guān)系進(jìn)一步提高精度。這種TSWLS算法是一種閉式解(Closed-Form Solution)，不存在收斂問題，并且在低噪聲水平下，其定位精度能夠達(dá)到克拉美羅界(Cramér-Rao Lower Bound，CRLB)，但是TSWLS并不能很好地適應(yīng)大的測(cè)量噪聲。隨后文獻(xiàn)[16]將多維標(biāo)度(MDS)的算法引入到TDOA/FDOA的定位體制中，文獻(xiàn)[17-18]使用半定松弛(SDR)算法對(duì)目標(biāo)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，在噪聲水平較大時(shí)，這些算法性能均優(yōu)于傳統(tǒng)的TSWLS算法。

MDS和SDR算法雖然有良好的性能，但是都需要大量的運(yùn)算。為了能夠降低計(jì)算復(fù)雜度，文獻(xiàn)[19-20]分別提出了兩種改進(jìn)的TDOA/FDOA運(yùn)動(dòng)目標(biāo)兩步定位算法。這兩種算法的第1步均與傳統(tǒng)TSWLS的第1步相同，主要差異體現(xiàn)在第2步的處理上：文獻(xiàn)[19]中算法的第2步是對(duì)第1步定位誤差進(jìn)行估計(jì)并且修正第1步得到的估計(jì)結(jié)果；文獻(xiàn)[20]中算法的第2步利用中間變量與目標(biāo)參數(shù)之間的關(guān)系建立了新的等式并且利用WLS求解。與傳統(tǒng)的TSWLS相比，這兩種算法不僅計(jì)算簡(jiǎn)便，測(cè)量噪聲較大時(shí)的定位精度也進(jìn)一步提高。

傳統(tǒng)的TSWLS及其改進(jìn)的閉式算法[19-20]雖然都能夠有效提升TDOA/FDOA定位性能。但是通常而言，對(duì)于一個(gè)3維空間的無模糊定位最少需要4個(gè)觀測(cè)站，而這些算法至少需要5個(gè)觀測(cè)站才能達(dá)到理論精度。針對(duì)這一問題，本文提出了一種基于觀測(cè)站數(shù)目最小化的TDOA/FDOA定位算法，這種算法對(duì)目標(biāo)定位只需要4個(gè) 觀測(cè)站。該算法第1步首先對(duì)TSWLS中的偽線性方程重新表示，分離未知參數(shù)，根據(jù)中間變量與目標(biāo)參數(shù)的關(guān)系，建立了只含有中間變量的多項(xiàng)式并且求解，隨后給出了目標(biāo)位置以及速度的估計(jì)值；算法第2步使用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)中間變量一階展開，將其表示為目標(biāo)位置與速度估計(jì)誤差的線性函數(shù)，得到第1步定位誤差的最佳線性無偏估計(jì)量。隨后，基于第2步的誤差估計(jì)值，對(duì)第1步得到的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行修正。本文所提出的算法不存在收斂問題，是一種閉式解；此外本文還推導(dǎo)了當(dāng)測(cè)量噪聲較小時(shí)新算法可以得到CRLB精度。仿真實(shí)驗(yàn)不僅證明了使用4個(gè)觀測(cè)站估計(jì)遠(yuǎn)場(chǎng)或者近場(chǎng)目標(biāo)，測(cè)量噪聲較小時(shí)新算法便能夠?qū)崿F(xiàn)CRLB，同時(shí)還表明在額外增加1個(gè) 觀測(cè)站的條件下新算法比改進(jìn)的TSWLS算法具有更好的魯棒性。

本文中*°表示測(cè)量值*的真實(shí)值。O和0分別代表元素均為0的矩陣以及向量。

1 定位場(chǎng)景

目標(biāo)與第i個(gè)觀測(cè)站的真實(shí)距離為

(1)

(2)

2(si-s1)Tuoi=2,3,…,M

(3)

式中：M-1組曲面的交點(diǎn)給出了目標(biāo)位置的估計(jì)值，但是無法給出目標(biāo)速度的估計(jì)值。由于目標(biāo)與觀測(cè)站之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此通過觀測(cè)站可以獲得關(guān)于到達(dá)頻率差(FDOA)的信息，聯(lián)合TDOA與FDOA信息不僅可以進(jìn)一步提高定位精度，同時(shí)也可以給出目標(biāo)速度的估計(jì)值。

對(duì)式(1)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，距離變化率與目標(biāo)參數(shù)的關(guān)系為

(4)

為了利用FDOA的信息，對(duì)式(3)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)可以得到一組關(guān)于FDOA的方程

i=2,3,…,M

(5)

(6)

(7)

J=(m-mo)TQ-1(m-mo)T

(8)

2 降維定位算法

2.1 算法第1步

將測(cè)量向量r=ro+cΔt代入式(3)并且只保留噪聲的線性項(xiàng)，則式(3)變?yōu)?/p>

(9)

(10)

(11)

i=2,3,…,M

(12)

(13)

Γ1、Γ2和B1、Bt、Bf的表達(dá)式分別為

(14)

(15)

(16)

式中：θ的前3個(gè)元素為目標(biāo)的位置估計(jì)值，后3個(gè) 元素為目標(biāo)的速度估計(jì)值，而W1、α、β和γ的表達(dá)式分別為

(17)

式(16)給出了目標(biāo)位置-速度由中間變量表示的方程，同時(shí)表明了求解目標(biāo)參數(shù)需要已知中間變量。因此，接下來將給出中間變量的求解過程。

(18)

式中：G1,t、h1,t以及Bt在式(12)、式(13)和式(15)中已經(jīng)給出了定義，矩陣Wt為

(19)

α1與β1的表達(dá)式分別為

(20)

(21)

(22)

降維算法第1步計(jì)算過程需要注意以下幾點(diǎn)。

注意1式(17)加權(quán)矩陣W1的計(jì)算與未知參數(shù)有關(guān)。為了解決這個(gè)問題，首先令W1=Q-1，通過式(16)得到未知參數(shù)的初始估計(jì)值；隨后將初始值代入W1=(B1QB1T)-1得到更新后的加權(quán)矩陣，利用新的加權(quán)矩陣進(jìn)一步給出更精確的估計(jì)值。

注意2二次多項(xiàng)式(21)和式(22)可能會(huì)得到多個(gè)中間變量解，因此有多組位置-速度估計(jì)值，為了解決這個(gè)問題，選擇使式(8)的ML代價(jià)函數(shù)最小化的解作為最終的估計(jì)值。

注意3在三維定位場(chǎng)景下，所有的觀測(cè)站不能處于同一個(gè)平面，這樣才能夠保證G1列滿秩，進(jìn)而通過WLS得到唯一解。

2.2 算法第2步

第1步的估計(jì)值可以表示為

θ=θo+Δθ

(23)

國(guó)際工程教育認(rèn)證以學(xué)生為中心、產(chǎn)出導(dǎo)向、持續(xù)改進(jìn)作為三大基本倡導(dǎo)理念。IEET所提出的專業(yè)認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)可以歸納為專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)、學(xué)生、教學(xué)成效與評(píng)量、課程組成、教師、設(shè)備及空間、行政支持與經(jīng)費(fèi)、領(lǐng)域認(rèn)證規(guī)范、持續(xù)改善成效等九大規(guī)范，這些規(guī)范又可劃分為教學(xué)、保障和持續(xù)改進(jìn)三個(gè)方面。其中，培養(yǎng)目標(biāo)內(nèi)容包括培養(yǎng)目標(biāo)要求、內(nèi)容和修訂機(jī)制[4]，在整個(gè)認(rèn)證過程中起到綱領(lǐng)性作用，反映學(xué)生畢業(yè)5年后所能夠達(dá)到的職業(yè)層次和專業(yè)成就。

(24)

(25)

a=(u-s1)/r1

(26)

(27)

式(23)～式(25)代入式(11)，僅保留線性誤差項(xiàng)可以得到新的等式方程為

h2-G2Δθ=cB1n

(28)

(29)

G2,t和G2,f均為(M-1)×3維的矩陣，并且他們的每一行可以分別表示為

(30)

式(28)的解通過加權(quán)最小二乘法給出為

(31)

(32)

2.3 使用接收觀測(cè)站個(gè)數(shù)的分析

對(duì)式(11)進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形，可以得到傳統(tǒng)TSWLS的第1步偽線性方程為

h1-G′φo=cB1n

(33)

傳統(tǒng)TSWLS的第1步對(duì)中間變量與目標(biāo)位置同時(shí)求解，因此對(duì)于傳統(tǒng)的TSWLS來講，要保證式(33)是非欠定方程，在三維定位場(chǎng)景下必須滿足2(M-1)≥2×(3+1)，也就是說至少需要5個(gè)觀測(cè)站；而本文提出的降維算法先對(duì)參數(shù)φo中的中間變量進(jìn)行求解，隨后在對(duì)θo求解，這樣避免了同時(shí)求解中間變量與目標(biāo)位置，達(dá)到了降維的目的，進(jìn)而保證式(11)和式(28)為非欠定方程只需滿足2(M-1)≥2×3，因此本文所提出的算法僅需要4個(gè)觀測(cè)站。

3 性能分析

本節(jié)給出降維算法的性能分析，首先證明了降維算法給出的是無偏估計(jì)值，隨后推導(dǎo)了該算法的協(xié)方差矩陣，并且與CLRB進(jìn)行了比較，理論證明了在低噪聲水平下，該算法可以達(dá)到CLRB。

降維算法中第2步Δθ的估計(jì)值可以表示為

(34)

式中：δθ為估計(jì)誤差。

將式(23)和式(34)代入式(32)，則最終估計(jì)值的期望偏差與協(xié)方差矩陣可以分別表示為-E(δθ)和cov(δθ)。式(31)代入式(34)，得到估計(jì)誤差δθ的表達(dá)式為

(35)

式(35)中，由于矩陣G2以及n均包含噪聲項(xiàng)，因此偏差期望-E(δθ)與協(xié)方差cov(δθ)并不容易計(jì)算。但是在噪聲較小的情況下，G2中測(cè)量值的噪聲項(xiàng)可以忽略不計(jì)，此時(shí)式(35)是誤差項(xiàng)δθ關(guān)于噪聲n的一組線性等式，由于n服從零均值高斯噪聲分布，從而-E(δθ)=0。因此本文所提出的算法在噪聲較小的假設(shè)下可以給出目標(biāo)參數(shù)的無偏估計(jì)值。更進(jìn)一步，目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的協(xié)方差矩陣為

(36)

接下來證明當(dāng)噪聲較小情況下，本文所提出的算法能夠?qū)崿F(xiàn)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的克拉美羅下界。文獻(xiàn)[21] 已經(jīng)給出運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的克拉美羅下界為

(37)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)給出了仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提出算法的定位性能。假設(shè)TDOA與FDOA測(cè)量誤差之間相互獨(dú)立，則距離差及其變化率測(cè)量誤差的協(xié)方差矩陣為Q=blkdiag(Qt,Qf)，其中Qt=σ2R以及Qf=0.01σ2R[20]。這里，σ2為測(cè)量噪聲的方差，R是對(duì)角線元素均為1，其他元素為0.5的矩陣。仿真通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行多次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)獲取目標(biāo)位置和速度估計(jì)的均方根誤差指標(biāo)來評(píng)估算法的性能，蒙特卡羅仿真次數(shù)設(shè)置為l=10 000次，均方根誤差(RMSE)指標(biāo)定義為

(38)

本文考慮兩種仿真情形：場(chǎng)景1在三維場(chǎng)景中僅使用4個(gè)觀測(cè)站進(jìn)行定位，場(chǎng)景2在同樣的條件下增加一個(gè)觀測(cè)站進(jìn)行定位。其中，在每種場(chǎng)景仿真中均考慮了近場(chǎng)條件以及遠(yuǎn)場(chǎng)條件。在場(chǎng)景1中對(duì)比算法使用了文獻(xiàn)[9]中的泰勒級(jí)數(shù)迭代算法，為了保證其較好的收斂性，初值選取了目標(biāo)的真實(shí)位置與速度；場(chǎng)景2中對(duì)比算法包括文獻(xiàn)[13]傳統(tǒng)的TSWLS、文獻(xiàn)[19-20]中改進(jìn)的TSWLS算法。CRLB作為檢驗(yàn)估計(jì)性能的標(biāo)準(zhǔn)在兩種場(chǎng)景中均給出。

如圖1(a)所示，對(duì)于近場(chǎng)目標(biāo)位置估計(jì)，當(dāng)測(cè)量噪聲低于5 dB時(shí)，降維算法與泰勒級(jí)數(shù)展開算法均能夠達(dá)到CRLB。當(dāng)噪聲達(dá)到10 dB時(shí)，本文所提出的算法與泰勒級(jí)數(shù)展開的算法均開始偏離CRLB，但是泰勒級(jí)數(shù)展開的算法受噪聲影響較大，偏離程度較大，產(chǎn)生了“門限效應(yīng)(Threshold Effect)[13]”，無法給出比較準(zhǔn)確的估計(jì)值。值得一提的是，低噪聲時(shí)泰勒級(jí)數(shù)展開的算法之所以具有如此好的估計(jì)性能，主要是因?yàn)槌踔颠x取了目標(biāo)的真實(shí)位置，迭代至少進(jìn)行3次收斂性及估計(jì)精度便能夠得到保證。

如圖1(b)所示，近場(chǎng)目標(biāo)速度的估計(jì)與位置估計(jì)情況大致相同，低噪聲時(shí)兩種算法的估計(jì)性能均能達(dá)到CRLB。當(dāng)噪聲達(dá)到10 dB時(shí)，兩種算法均開始偏離CRLB，但是本文提出的算法能夠更好地適應(yīng)大的測(cè)量噪聲，具有更好的魯棒性。

表1 場(chǎng)景1中觀測(cè)站的位置與速度Table 1 Positions and velocities of stations in Scenario 1

而對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)位置與速度的估計(jì)，如圖2所示，在測(cè)量噪聲較小的時(shí)候，兩種算法均能夠達(dá)到CRLB，隨著測(cè)量噪聲的增加，當(dāng)噪聲到達(dá)-5 dB 時(shí)，泰勒級(jí)數(shù)展開的算法同樣會(huì)產(chǎn)生門限效應(yīng)，而本文提出的算法依舊十分接近CRLB。

值得注意的是，場(chǎng)景1對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)參數(shù)的估計(jì)僅僅使用4個(gè)接收觀測(cè)站便可以達(dá)到CRLB定位精度，而對(duì)于傳統(tǒng)的TSWLS或者是其改進(jìn)算法還需要至少額外增加一個(gè)觀測(cè)站才能進(jìn)行定位求解，本文所提出的算法使用了最少的觀測(cè)站數(shù)量。

圖1 使用4個(gè)觀測(cè)站時(shí)近場(chǎng)目標(biāo)位置和速度估計(jì)均方根誤差對(duì)比Fig.1 RMSE comparisons of near field position and velocity estimation of in the four stations condition

圖2 使用4個(gè)觀測(cè)站時(shí)遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)位置和速度估計(jì)均方根誤差對(duì)比Fig.2 RMSE comparisons of far field position and velocity estimation in four stations condition

從圖3(a)中可以看出，定位系統(tǒng)存在有5個(gè)觀測(cè)站時(shí)，對(duì)于近場(chǎng)目標(biāo)位置估計(jì)，當(dāng)測(cè)量噪聲誤差不超過-10 dB時(shí)，4種算法均能夠達(dá)到CRLB。當(dāng)噪聲高于-5 dB時(shí)，傳統(tǒng)的TSWLS開始偏離CRLB曲線，這主要是由于其第2步認(rèn)為噪聲較小時(shí)可以忽略二次誤差項(xiàng)，但是當(dāng)噪聲較大時(shí)忽略二次項(xiàng)誤差便會(huì)導(dǎo)致定位性能下降。另外，當(dāng)噪聲高于10 dB時(shí)兩種改進(jìn)的TSWLS算法逐漸偏離CRLB；當(dāng)測(cè)量噪聲到達(dá)15 dB時(shí)，使用本文算法得到的位置估計(jì)均方根誤差比其他兩種改進(jìn)的TSLWS算法提高了約1 dB。

從圖3(b)可以看出，對(duì)于近場(chǎng)目標(biāo)速度的估計(jì)，在低噪聲水平除了傳統(tǒng)TSWLS算法，其他算法均可以達(dá)到CRLB。當(dāng)測(cè)量噪聲水平較高時(shí)，對(duì)比算法性能逐漸下降。其中，文獻(xiàn)[19]中的算法在噪聲高于0 dB時(shí)明顯開始偏離CRLB，而當(dāng)噪聲高于5 dB時(shí)，文獻(xiàn)[20]中的算法同樣發(fā)生偏離。本文提出的降維算法即使在較大噪聲水平下，也十分接近CRLB。當(dāng)測(cè)量噪聲到達(dá)10 dB時(shí)，降維算法得到的速度估計(jì)均方根誤差比文獻(xiàn)[19] 的算法降低了4.5 dB，比文獻(xiàn)[20]的算法減少了1.5 dB。仿真實(shí)驗(yàn)證明了本文所提出的定位算法具有更好的魯棒性。

而對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)位置與速度的估計(jì)，如圖4所示；在低噪聲水平下，傳統(tǒng)的TSWLS、兩種改進(jìn)的TSWLS算法以及本文提出的算法均能夠?qū)崿F(xiàn)CRLB，給出良好的定位性能。而隨著噪聲的增大，傳統(tǒng)的TSWLS和文獻(xiàn)[19-20]中兩種改進(jìn)TSWLS算法均會(huì)相繼偏離CRLB,無法給出比較精確的目標(biāo)位置以及速度估計(jì)值,而本文提出的算法依舊十分接近CRLB,仿真實(shí)驗(yàn)表明了本文所提出的算法能夠更好地適應(yīng)大的測(cè)量噪聲。

圖3 使用5個(gè)觀測(cè)站時(shí)近場(chǎng)目標(biāo)位置和速度估計(jì)均方根誤差對(duì)比Fig.3 RMSE comparisons of near field position and velocity estimation in five stations condition

圖4 使用5個(gè)觀測(cè)站時(shí)遠(yuǎn)場(chǎng)目標(biāo)位置和速度估計(jì)均方根誤差對(duì)比Fig.4 RMSE comparisons of far field position and velocity estimation in five stations condition

5 算法計(jì)算量分析

本節(jié)主要對(duì)所提出降維算法的運(yùn)算量進(jìn)行了分析，為了分析簡(jiǎn)便，主要以實(shí)數(shù)乘法進(jìn)行分析；并且分別與傳統(tǒng)的TSWLS[13]和文獻(xiàn)[19-20]中兩種改進(jìn)TSWLS計(jì)算量進(jìn)行了對(duì)比。

首先分析本文算法第1步的計(jì)算量：

接下來給出第2步計(jì)算量的分析過程：

此外，由于需要對(duì)加權(quán)矩陣初始化，第1步中2)和4)各需要計(jì)算2次，因此本文提出的算法一共需要27M3+51M2+363M+889次的實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算，文獻(xiàn)[19]給出了改進(jìn)TSWLS的計(jì)算量為48M3-48M2+768M+7 212，與傳統(tǒng)TSWLS需要48M3-48M2+768M+8 010次實(shí)數(shù)乘法相比，運(yùn)算量相當(dāng)；通過計(jì)算，文獻(xiàn)[20]改進(jìn)的TSWLS算法需要進(jìn)行48M3-48M2+768M+4 012次實(shí)數(shù)乘法,本文所需要的實(shí)數(shù)乘法次數(shù)小于文獻(xiàn)[20]中所需的實(shí)數(shù)乘法，因此本文算法運(yùn)算量更小。

6 結(jié) 論

1) 在目標(biāo)處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的三維無源定位場(chǎng)景下，針對(duì)傳統(tǒng)TSWLS及其改進(jìn)的閉式算法精確定位至少需要5個(gè)觀測(cè)站的問題，本文聯(lián)合TDOA以及FDOA，提出一種最小化觀測(cè)站數(shù)目的無源定位算法。該閉式算法僅需要4個(gè)觀測(cè)站即可進(jìn)行定位，理論分析表明該算法在低噪聲水平下能夠達(dá)到CRLB。

2) 仿真實(shí)驗(yàn)證明了算法的有效性：僅使用4個(gè) 觀測(cè)站，測(cè)量噪聲較小時(shí)該算法便可以達(dá)到CRLB精度；若額外增加一個(gè)觀測(cè)站，相比與傳統(tǒng)的TSWLS以及改進(jìn)算法，在不增加算法計(jì)算量的前提下，該算法在測(cè)量噪聲較大時(shí)能提供更精確的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)值。

附錄A:

首先當(dāng)測(cè)量噪聲較小時(shí)有如下條件成立

(A1)

(A2)

(A3)

(A4)

(A5)

根據(jù)式(15)和式(30)分別對(duì)B1以及G2的定義，-L可以進(jìn)一步表示為

(A6)

i=2,3,…,M

(A7)

利用條件1和2，分別有如下近似

(A8)

(A9)

利用式(A8)和式(A9)，式(A7)可以近似為

i=2,3,…,M

(A10)

i=2,3,…,M

(A11)

同樣利用條件1和2，可以分別得到如下近似等式

(A12)

(A13)

利用(A12)與式(A13)，式(A11)可以近似表示為