（天津市耀華中學）

學習數(shù)學的意義是讓學生學會用數(shù)學的眼光去觀察，從數(shù)學的角度去思考，用數(shù)學的語言去表達，用數(shù)學的方法去解決問題.如何能實現(xiàn)這個目標呢？就是要培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).數(shù)學核心素養(yǎng)是個人的數(shù)學思維能力，它需要在數(shù)學的學習過程中，逐步思考、反思、領悟而形成，而這些都離不開教師的引導.教師給學生“教什么？怎么教？”在很大程度上影響著學生將來具備怎樣的數(shù)學素養(yǎng).只有在課堂中多引導學生去思考數(shù)學、體驗數(shù)學，才能使數(shù)學核心素養(yǎng)得以有效體現(xiàn)與落實.本文主要圍繞中考復習階段如何打破就題講題，找到培養(yǎng)核心素養(yǎng)的“生長點”來設計解題教學問題串.

一、挖掘題目條件中的“生長點”

1.從問題背景成立的條件中挖掘，設計問題串

例1將三角形紙片（△ABC）按如圖1所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF．知AB=AC=6，BC=8，若以點B′，F(xiàn)，C為頂點的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是__________.

圖1

教師問題設計和課堂教學片斷如下：

問題1：當∠C=∠FB′C，即B′F=FC時，這樣的△B′FC能折出來嗎？點B′能落在線段AC上嗎？

生1：因為△BEF沿EF折疊，得△B′EF.所以BF=B′F.又因為B′F=FC，得BF=FC.所以點F應為BC中點，即B′F=FC=BF=4.

生2：此時點B落在點A處.

生3：不對.此時，BF=4，AF＞BF.所以點B不會落在點A處.

師（追問）：既然AF＞BF，那么點B一定落在哪里？

生4：落在點A和點C之間.

問題2：誰能解釋點B′存在的必然性？

生5：因為，所以一定能在邊AC上找到一點B′，使B′F=FC=2.

問題3：我們可以用什么工具來確定點B′的位置呢？

生：用圓規(guī)，以BC中點F為圓心，F(xiàn)C為半徑作弧，與邊AC交于點B′.

師：讓我們一起用圓規(guī)在圖2上確定點B′的位置吧！

圖2

問題4：是否存在點B′不在△ABC上的情況，這樣的等腰三角形ABC形狀有什么特點？

同學們再次討論，并很快得出結論：若∠BAC=90°，此時點B′與點A重合（如圖3）；若∠BAC＞90°，此時點B′將落在線段CA的延長線上，這時點B′不在△ABC上（如圖4）.

圖3

圖4

問題5：你能編制一道其他情況的題目并給出解答嗎？

學生編制的問題：改為“AB=AC=5，BC=8”，其他條件不變.答案：.

教師在解題教學中要注意抓住出題者問題設計的背景，引導學生思考每種情況成立的條件，幫助學生建立分類討論的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

2.從問題的限制條件中挖掘，設計問題串

例2長為1，寬為的矩形紙片，如圖5（1）所示折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖5（2）所示折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；……如此反復操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止.當n=3時，a的值為_______．

圖5

教師問題設計和課堂教學片斷如下：

問題1：當n=1時，原矩形是什么樣的？a的值是多少？當n=2時呢？

學生得出：當n=1時，原矩形由兩個正方形組成（如圖6），此時.當n=2時，原矩形由三個正方形組成（如圖7（1）或圖7（2）），此時.

圖6

圖7

問題2：當n=2和當n=1時的圖形有什么聯(lián)系？

學生經(jīng)過思考可以得出結論：當n=1時的圖形是當n=2時第一步折出一個正方形（圖中空白正方形）后的圖形的形狀（陰影部分），將其平放或豎放，得到兩種可能.

問題3：類比當n=2和當n=1時的聯(lián)系，能得到當n=3和當n=2的聯(lián)系嗎？畫出當n=3時的圖形，并計算a的值.

學生經(jīng)過進一步思考，得出：當n=3時，原矩形由4個正方形組成，形狀如圖8所示，即當n=2時的圖形是當n=3時第一步折出一個正方形（圖中空白正方形）后的圖形的形狀（陰影部分），將其平放或豎放，得到4種可能.a的值分別為.

圖8

問題4：你能畫出當n=4時的原矩形嗎？同學之間可以相互討論.

學生經(jīng)過前面的規(guī)律探索，可以發(fā)現(xiàn)：

當n=4時，原矩形由5個正方形組成，形狀有8種，如圖9所示.

圖9

問題5：你能找到n與圖形個數(shù)y之間的關系式嗎？

學生在前面的鋪墊下可以很容易得出y=2n-1.

挖掘題目的限制條件，滲透類比、化歸的數(shù)學思想方法，將設計重點放在從特殊到一般的規(guī)律的探索上，符合學生思維由淺入深的習慣，也鍛煉了學生思維的嚴謹性和嚴密性，達到了培養(yǎng)學生數(shù)學邏輯推理素養(yǎng)的目的.

二、挖掘題目問題中的“生長點”

例3如圖10，在平面直角坐標系中，O為原點，點A(-2,0 )，點B(0,2)，點E，F(xiàn)分別為OA，OB的中點.若正方形OEDF繞點O順時針旋轉，得正方形OE′D′F′.若直線AE′與直線BF′相交于點P，求點P的縱坐標的最大值.

圖10

教師問題設計和課堂教學片斷如下：

問題1：動點E′，F(xiàn)′的運動軌跡是什么？

生：以點O為圓心，OE′長為半徑的圓.

問題2：動點P的運動軌跡是什么？

生：AE′⊥BF′一直保持，即∠APB=90°，所以點P應在以AB為直徑的圓上運動（如圖11）.

圖11

問題3：點P的運動軌跡是圓，還是圓的一部分（圓弧）？考慮點P的運動軌跡時，不僅要考慮⊙D，還要考慮點P在直線AE′上，而點E′在⊙O上.點E′是主動點，點P是從動點.

學生經(jīng)過思考能夠得出結論，當AE′與⊙O相切時，點P的位置最高（如圖12）.

圖12

問題4：點P的縱坐標的最小值是什么？

學生受剛才問題的啟發(fā)，很快說出也是正方形OEDF與⊙O相切時點P最低，此時點P的縱坐標最?。ㄈ鐖D13）.

圖13

師：是嗎？注意點P在⊙D上運動.

生：不對，點P的最低點應是⊙D上的最低點，相切時的點P不是最低的.

師：大家能分別算一下這兩個時刻點P的縱坐標嗎？

大家很快求出相切時點P的縱坐標為而點P為⊙D上的最低點時，點P的縱坐標為，所以點P的縱坐標的最小值應為

最后，大家得出結論，圖14應該是點P在⊙D上運動的最低位置，而圖13應該是點P在⊙D上運動的最終位置，點P的運動軌跡是兩個相切位置之間的圓弧.

圖14

在復雜的幾何圖形中抽象出基本圖形，把握點、直線等之間的關系，直觀想象圖形的運動變化，是數(shù)學課要培養(yǎng)的核心素養(yǎng).通過對例3的延伸思考，進一步鍛煉了學生的直觀想象能力.

三、挖掘題目解法中的“生長點”

例4如圖15，Rt△AOB的兩直角邊OB，OA分別位于x軸、y軸上，OA=6，OB=8.將△AOB折疊，點O落在△AOB內的點C處，OD=2，折痕為AD，AD與OC交于點E，求點C的橫坐標.

圖15

教師問題設計和課堂教學片斷如下：

問題1：已知點O折疊后落在點C，折痕為AD，即點O和點C關于AD對稱，這時有哪些基本性質？

生：AD垂直平分線段OC，即AD⊥OC，OE=CE.

問題2：求點C的橫坐標，通常可以作哪些輔助線？

生：過點C作x軸的垂線（如圖16）.

圖16

問題3：將△AOD折疊得到△ACD，由這兩個三角形全等，可以得到哪些基本性質？

生：對應邊相等，即AC=AO=6，OD=CD=2；對應角相等，即∠ACD=∠AOD=90°.

問題4：你能在圖中找到哪些基本圖形，從而幫助你解決問題？

學生經(jīng)過討論和思考，呈現(xiàn)出如下多種解法.

解法1：因為AD⊥OC，AO⊥OD，

學生辨認基本圖形（如圖17（1）），

從而得到相似的基本圖形（如圖17（2）），

即△AOD∽△OFC.

先求出OE的長為，

圖17

解法2：連接CD，可得OD=CD=2.

得到基本圖形（如圖18），且△AOD∽△OFC.

圖18

設FC=x，

則OF=3x，DF=3x-2.

在Rt△CDF中，DF2+CF2=CD2，

得(3x-2)2+x2=2.2

解法3：連接CD，AC，

過點A作CF的垂線，交FC的延長線于點G.

得到基本圖形（如圖19），

圖19

則△AGC∽△CFD，且相似比為.

設DF=x，

則GC=3x，F(xiàn)C=6-3x，AG=2+x.

解法4：由AD垂直平分線段OC，

圖20

即基本圖形（如圖20），且A(0,6 ) ，D(2,0 ) ，

得直線AD的解析式為y=-3x+6.

則直線OC的解析式為.

得點E的橫坐標為.

因為點E為OC中點，

則點C的橫坐標為.

此題中幾何基本圖形較多，在解題教學設計過程中將重點放在多種解法上，能夠鍛煉學生在復雜的圖形背景和條件中篩選出有用的基本圖形的能力，教會學生把握事物的本質，以簡馭繁.

中考復習階段除了面對中考以外，更是學生為高中學習儲備數(shù)學能力的關鍵時期.教師深挖習題，從題目的條件、問題和解題方法等方面設計能夠引發(fā)學生深入思考的問題，抓住發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的“生長點”，才能回歸數(shù)學學習的本真.