（江蘇省無錫市太湖格致中學；江蘇省無錫市西漳中學）

數(shù)學教育的核心是對學生進行數(shù)學思維和語言的教育.在初中數(shù)學核心知識處考查學生用數(shù)學知識合理解釋，直至創(chuàng)造性地解決問題的能力，檢測數(shù)學教育的成果，這是江蘇省無錫市中考數(shù)學試卷一貫的特點.

2018年江蘇省無錫市中考試卷第26題是一道以數(shù)學實驗操作為背景的試題，突出考查學生對尺規(guī)作圖操作本質的理解，考查學生的思維能力和數(shù)學素養(yǎng).此題題干簡潔，形式新穎；解法開放，彰顯能力；回歸概念，突出素養(yǎng)，給我們具體的教學帶來了許多啟示.

一、試題呈現(xiàn)

題目如圖1，平面直角坐標系中，已知點B的坐標為B(6,4 ) .

（1）試用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作一條直線AC，它與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和點C，且使∠ABC=90°，△ABC與△AOC的面積相等.（作圖不必寫作法，但要保留作圖痕跡.）

圖1

（2）問：（1）中這樣的直線AC是否唯一？若唯一，試說明理由；若不唯一，試在圖中畫出所有這樣的直線AC，并寫出與之對應的函數(shù)表達式.

二、試題分析

此題雖然難度不是很大，但考查的內(nèi)涵豐富、層次分明，具有起點低、入口寬、開放性和思維性強的特點，很好地考查了學生思維的發(fā)散性、靈活性、深刻性、批判性.

1.題干簡潔，形式新穎

題目表述清晰明了，圖形簡潔且富有美感，留給學生較多的聯(lián)想和想象的空間.題目不僅彰顯了數(shù)學追求簡潔美的本質，更體現(xiàn)出尺規(guī)作圖不是簡單的動手操作和發(fā)現(xiàn)結論，而是需要深層次的思維操作（在幾何推理基礎之上的幾何構圖）和聯(lián)想想象.解決此題，首先要想象出符合要求的圖形，進行可能的幾何構圖，在構圖直觀的基礎上展開幾何推理，并做出判斷，進行相近聯(lián)想、相似聯(lián)想和因果聯(lián)想，最終獲得目標圖形.

2.解法開放，彰顯能力

第（1）小題有如下兩個特點：第一，起點低，學生在數(shù)學理解和問題發(fā)現(xiàn)的基礎上，調(diào)用頭腦中的已有表象（“箏形”或矩形）即可獲得目標圖形，容易轉化為基本尺規(guī)作圖，進而運用直尺和圓規(guī)畫出符合題意的圖形.以矩形為例，可以轉化為分別過點B作關于x軸和y軸的垂線（注意：目標圖形用實線）；第二，入口寬，主要可以從“箏形”或矩形的角度切入.但是，對于第（1）小題，不管從哪個角度切入，要想判斷這樣的直線AC是否唯一，就不得不進行深入的分析、判斷和推理.如果想到的目標草圖是矩形（如圖2），可以通過作圖轉化出矩形，即過點B分別作兩條坐標軸的垂線；如果想到的目標草圖是“箏形”（如圖3），可以通過作圖轉化出“箏形”，即作BO的垂直平分線.對問題的深入理解，簡潔有序的說理，恰是數(shù)學教育的核心.

圖2

圖3

對于第（2）小題，則要求學生先做判斷，再基于判斷尋找已知條件和到達結論的路徑，主要考查學生的空間想象、幾何直觀、推理能力等數(shù)學素養(yǎng)，要求學生思維靈活、聯(lián)想廣闊、推理深刻、條理清晰、批判選擇.

就第（2）小題而言，主要有以下兩種典型的思路.

思路1：想象并畫出如圖4所示的目標草圖，此時兩個直角三角形的面積相等，且有一條公共斜邊，則斜邊上的高是相等的，可知AC必過BO的中點，兩個直角三角形應該全等.第（2）小題既然問是否唯一，就說明結論很可能是不唯一.共邊全等是確定的，那么變化的只有可能是位置.如果第（1）小題中兩個全等直角三角形是中心對稱的，那么兩個全等直角三角形也可以是軸對稱.當然，也可以從全等三角形中對應點如何對應的角度來想，即點B與點O的對應是確定的，那么另外兩組點如何對應，只有兩種可能.

圖4

通過這樣的逆向推理，就可以做出明確的幾何判斷，于是就抓住了轉化的關鍵，找到了不同的作圖方法，而且能夠確定不同直線AC的條數(shù).

思路2：想象并畫出如圖4所示的目標草圖，此時兩個直角三角形的面積相等，且有一條公共斜邊，聯(lián)想到兩個全等的直角三角形公共斜邊上的中線相等，于是想到四點共圓，且AC是直徑（或者聯(lián)想到“90°的圓周角所對的弦是直徑”，其圖形語言中有直角、有斜邊，這是相似聯(lián)想的基礎）.在這個圓中，OB有兩個身份.如果OB是直徑，那么滿足條件的目標圖形應該是矩形；如果OB是弦，那么滿足條件的目標圖形應該是圓內(nèi)的滿足垂徑定理的基本圖形.之后的解題過程就是勾股定理、三角形相似和待定系數(shù)法的綜合技能，分析略.

在中考考試的短暫時間內(nèi)，學生能夠呈現(xiàn)出兩種思路和多種解法，說明試題的開放性激發(fā)了學生的創(chuàng)造性.

3.回歸概念，突出素養(yǎng)

此題體現(xiàn)了江蘇省無錫市近幾年中考尺規(guī)作圖題的一般特點：不明確指出“作什么”，需要學生回歸基本概念，做出幾何假設，想象目標圖形，構造目標草圖，進行多方聯(lián)想，然后根據(jù)幾何知識進行逆向推理，做出判斷，確認目標圖形，轉化并選擇基本尺規(guī)作圖，精準作出目標圖形.這一主動、自覺或自主化聯(lián)想和轉化的態(tài)度與意識是學生需要具備的基本數(shù)學素養(yǎng)，它是憑借學生的已有知識展開的.這就需要學生熟悉“四基”，深刻理解數(shù)學基本概念、定理和幾何原型的本質，并能自主地進行轉化、遷移和類比.

此題不僅考查了學生的基本作圖能力，而且綜合考查了全等、全等變換、圓等知識；不僅考查了作圖的結果，更考查了學生的思維能力；不是機械地考查學生對知識的記憶，而是考查了學生對所學知識的本質理解、系統(tǒng)認識和綜合運用.由此可見，這道中考尺規(guī)作圖題的命制很好地發(fā)揮了尺規(guī)作圖的教育價值，更好地指向數(shù)學學科核心素養(yǎng)，更好地指導日常教學的方向，即抓住尺規(guī)作圖本質，促進數(shù)學素養(yǎng)建構.

三、教學啟示

1.從教解題轉變?yōu)榻虜?shù)學，幫助學生理解核心概念

對于教師而言，教解題不僅僅是講解教材上的參考答案，而是要著眼于學生的知識掌握情況和能力水平，引導學生主動思考，積極探究解題過程，教會學生解題.解此題的關鍵就是要透過現(xiàn)象看本質，理解核心知識，以及其中所蘊涵的數(shù)學思想和方法.例如，解第（1）小題，可以運用矩形的概念，也可以聯(lián)想“箏形”的特征，但“箏形”只是一線教師的總結，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》和教材中并沒有涉及該內(nèi)容.而經(jīng)驗豐富的教師總是會將一些“一線”總結的方法視為法寶，強加給學生，甚至忽視了學生的思維特點和思維過程.教師都是“解題高手”，都有自己的解題策略，但那些策略和方法并不一定是最適合學生的.事實上，此題中，矩形才是核心知識.在教材中，將三角形進行特殊旋轉得到平行四邊形，將平行四邊形特殊化得到矩形.由此可見，矩形中所蘊涵的數(shù)學思想是轉化，數(shù)學思考的方法是通過對角線分割轉化為特殊三角形——直角三角形.矩形與直角三角形之間的天然聯(lián)系是解題聯(lián)想的重要基礎，這恰恰來源于教數(shù)學而非教解題.幫助學生理解核心概念，正是數(shù)學教師教學的關鍵所在.

2.從教數(shù)學轉變?yōu)閷W數(shù)學，幫助學生提升核心能力

數(shù)學教學僅僅停留在“教”的層面還不夠，還要關注學生學的方式.從考前的課堂觀察，到考后的閱卷分析，學生反映出的學習能力和創(chuàng)造能力都值得教師去關注、信任和培養(yǎng).例如，此題的第（2）小題，對于學生而言就是一個全新的問題.但在緊張的考試中，能夠出現(xiàn)多種不同的解法，這足以說明學生的創(chuàng)造力是無限的.而這種創(chuàng)造力的載體就是恰當?shù)?、開放性的問題.此題作圖的實質是執(zhí)果索因.學生依據(jù)自己的認知特點和知識背景，將問題與自己已有的知識經(jīng)驗相串聯(lián)，反芻已有知識經(jīng)驗的本質特點，進行系統(tǒng)遷移，找到不同的路徑通向結果，殊途同歸的過程中體現(xiàn)出學生獨特的思考方式和學習能力.這啟發(fā)教師，在平時的教學中要變教數(shù)學為學數(shù)學.教師為學生做學的表率，在傾聽中理解學生的想法，引導學生在傾聽中理解他人的想法；在串聯(lián)中實現(xiàn)以學生對話為出發(fā)點的課堂生成，引導學生將自己與他人，自己與文本，過去、現(xiàn)在與未來串聯(lián)；在反芻中引導學生反思總結，發(fā)展學生的學習能力與創(chuàng)造能力.

3.從學數(shù)學轉變?yōu)槔斫鈹?shù)學，幫助學生發(fā)展核心素養(yǎng)

上課時聽懂了卻很快就忘了，這個現(xiàn)象表明學生只是處于操作層面的思維模式，也就是知道應該這樣做，卻并沒有理解其中的數(shù)學原理，即不知道為什么這樣做.由此看來，理解數(shù)學要“知其然，知其所以然”，如此才能聽過不忘、舉一反三.理解數(shù)學就要正確地理解數(shù)學對象，用數(shù)學思維觀察、發(fā)現(xiàn)、分析，將數(shù)學的三種語言（文字語言，圖形語言，符號語言）相互轉化，用數(shù)學知識和原理來說明解法的正確性.此題從題干到實驗操作的整個過程，都強調(diào)數(shù)學文字語言與圖形語言的轉化，強調(diào)憑借自身的觀察、思考、判斷、推理等尋找符合題目特點的解題途徑和方法.閱卷中，此題出現(xiàn)了近10種不同的解法.從另一層面去思考，這也反映了學生在某種程度上的思維混亂，反映了大部分學生沒有真正理解題目的數(shù)學本質.由于學生對數(shù)學概念的理解不深刻、不全面，以至于解題時方向不明確、表達不清楚、思維混亂.這些都啟發(fā)我們在帶領學生學數(shù)學的過程中，理解概念之間的實質性聯(lián)系及其中蘊涵的數(shù)學思想方法，讓學生養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題的習慣，這是幫助學生理解數(shù)學、發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的基本途徑.

波利亞曾說：掌握數(shù)學就意味著善于解題，解題是數(shù)學學習的一個重要方面.作為教師，觀察學生的解題過程不能僅僅關心解答的結果，也不能僅僅關心學生能給出多少種解法，而應該更多地去關注學生對問題的理解是否深刻、全面；對解法的選擇是否抓住了問題的本質，是否符合最簡原理；表達是否清晰，書寫是否規(guī)范.問題是數(shù)學的生命，解題思路則是生命運行的軌跡.抓住了問題本質的解題方法一定是最簡潔的，其思維也是最深刻的，這樣才能真正理解數(shù)學.