（浙江省湖州市南潯區(qū)教育教學(xué)研究和培訓(xùn)中心）

羅增儒教授曾在《中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐》一書中提到：掌握數(shù)學(xué)的一個(gè)重要標(biāo)志就是善于解題，會(huì)解題的不知道怎么就會(huì)了，不會(huì)解題的更不知道怎么就老學(xué)不會(huì).可謂是一語驚醒廣大數(shù)學(xué)教育工作者，特別是后半句——“不會(huì)解題的更不知道怎么就老學(xué)不會(huì)”.相信這也是數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)時(shí)的心聲.那么，如何才能有效解決這一普遍現(xiàn)象呢？筆者認(rèn)為，當(dāng)學(xué)生遇到問題時(shí)，如何快速浮現(xiàn)數(shù)學(xué)表象，以及頓時(shí)產(chǎn)生數(shù)學(xué)直感非常重要，即如何深入剖析問題的已知條件，從而直觀想象，并通過解題經(jīng)驗(yàn)尋求思維起點(diǎn)，進(jìn)而解決問題.本文從一道幾何競(jìng)賽題的多解思路分析來談一談筆者對(duì)解題教學(xué)的一些粗淺的認(rèn)識(shí)，權(quán)當(dāng)拋磚引玉.

一、題目呈現(xiàn)

題目（2016年浙江省湖州市九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖1，已知AD為△ABC的角平分線，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M，N分別為BC，AE的中點(diǎn).求證：MN∥AD.

圖1

二、試題評(píng)析

該題是一道對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力要求較高的幾何證明題，圖形和已知條件看似簡(jiǎn)單，但剖析已知條件發(fā)現(xiàn)線段之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，因此，學(xué)生解決起來有一定的困難.該題綜合性較強(qiáng)，涉及的主要知識(shí)點(diǎn)可能有全等三角形、相似三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與意義，三角形中位線判定與性質(zhì)，梯形中位線判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形“三線合一”，等等.需要用到的數(shù)學(xué)思想可能有轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等.

三、多解思路分析

即便是具備較高思維層次的學(xué)生遇到該題，都會(huì)感覺不知所措，從何想起？換言之，該題的思維起點(diǎn)到底在哪里？不妨深入剖析一下該題的每一個(gè)已知條件，這些已知條件均有可能成為重要的思維起點(diǎn)，有了思維起點(diǎn)，就能逐步打通整個(gè)解題思路.接下來，筆者就從不同的已知條件出發(fā)進(jìn)行深入剖析，從而正確地尋求該題的思維起點(diǎn)，進(jìn)而解決問題.

1.深剖中點(diǎn)條件，尋求中位線思維起點(diǎn)

（1）構(gòu)造三角形的中位線.

解法1：取AB中點(diǎn)F，連接MF，交AD于點(diǎn)G，如圖2所示.

圖2

所以∠1=∠2=∠3.

所以GM=AN.

所以四邊形AGMN為平行四邊形.

所以MN∥AD.

解法2：取AC中點(diǎn)F，連接MF，如圖3所示.

圖3

同解法1，得FM∥AB，

所以FM=FN.

所以∠3=∠4.

由∠MFC=∠BAC，得∠1+∠2=∠3+∠4.

又因?yàn)椤?=∠2，

所以∠1=∠2=∠3=∠4.

所以MN∥AD.

解法3：連接BE，取BE中點(diǎn)為點(diǎn)F，連接FN，F(xiàn)M，如圖4所示.

圖4

因?yàn)镕N為△EAB的中位線，

因?yàn)镃E=AB，

所以FN=FM.

所以∠3=∠5=∠4.

因?yàn)椤?=∠2，∠1+∠2=∠3+∠4，

所以∠2=∠4.

所以MN∥AD.

【評(píng)析】解法1和解法2這兩種思路的本質(zhì)相通，均是由已知條件中的“M為BC的中點(diǎn)”所聯(lián)想到；解法3是由已知條件中的“CE=AB，M，N分別為BC，AE的中點(diǎn)”所聯(lián)想到，形成了正確的思維起點(diǎn)，即由三角形某邊的中點(diǎn)，聯(lián)想到了構(gòu)造三角形中位線.解法1通過三角形中位線，以及已知的線段相等關(guān)系證得平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)證得結(jié)論.解法2通過三角形中位線及已知的線段關(guān)系，利用數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化證得同位角相等，從而結(jié)論成立.解法3利用兩條三角形中位線的構(gòu)造巧妙的將條件“CE=AB”轉(zhuǎn)化為“FM=FN”，從而利用角關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用平行線的判定方法解決.這三種解法均是通過深入剖析已知條件“CE=AB，M，N分別為BC，AE的中點(diǎn)”和所證結(jié)論“MN∥AD”之間的關(guān)聯(lián)，找準(zhǔn)了“作三角形中位線”來作為此題的邏輯思維起點(diǎn)，為解決問題邁出了堅(jiān)實(shí)的一步.

（2）構(gòu)造梯形的中位線.

解法4：在BC上取一點(diǎn)F，使得MF=MD，如圖5所示.

圖5

則由M為BC的中點(diǎn)，可得CF=BD.

由∠1=∠2，可得

可證得EF∥AD.

因此，四邊形ADFE是梯形.

故MN是該梯形的中位線.

所以MN∥AD.

解法5：過點(diǎn)E作EF∥AD，交BC于點(diǎn)F，在AD上取點(diǎn)G，使得AG=EF，連接BG，如圖6所示.

圖6

易證△ABG≌△ECF.

所以BG=CF，∠5=∠4.

所以∠BGD=∠BDG.

所以BD=BG=CF.

由M為BC的中點(diǎn)，可得

MD=MF.

故MN是梯形ADFE的中位線.

所以MN∥AD.

解法6：過點(diǎn)E作EF∥AD，交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BG∥AC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖7所示.

易得∠1=∠2=∠3=∠G.

所以AB=BG=EC.

又因?yàn)椤螱BD=∠C，

所以△BDG≌△CFE.

所以BD=CF.

下同解法4，略.

圖7

【評(píng)析】解法4通過角平分線定理證得平行，從而滿足了梯形中位線的條件.解法5和解法6思路相通，解法5是從內(nèi)部構(gòu)造全等三角形，而解法6是從外部去構(gòu)造全等三角形，這兩種解法都是通過構(gòu)造全等三角形來得出相等的線段，從而滿足梯形中位線特征.解法4主要通過剖析已知條件“M，N分別為BC，AE的中點(diǎn)”和所證結(jié)論“MN∥AD”的直接關(guān)聯(lián)，聯(lián)想到“構(gòu)造梯形中位線”的思維起點(diǎn).解法5和解法6則是深入挖掘已知條件中的“M，N分別為BC，AE的中點(diǎn)”和“CE=AB”的內(nèi)在聯(lián)系，從而確定了“構(gòu)造梯形中位線并證全等三角形”的邏輯思維起點(diǎn).

2.深剖中點(diǎn)條件，尋求全等三角形思維起點(diǎn)

解法7：延長(zhǎng)NM至點(diǎn)F，使得MN=MF，連接BF，延長(zhǎng)AD交BF于點(diǎn)G，如圖8所示.

圖8

易得△BMF≌△CMN.

所以BF=CN，且BF∥AC.

所以∠1=∠2=∠3.

所以BG=AB=EC.

所以BF-BG=CN-EC，

即GF=NE.

所以GF=AN.

所以四邊形AGFN是平行四邊形.

所以MN∥AD.

【評(píng)析】解法7是由已知條件中的“M為BC的中點(diǎn)”所形成的思維起點(diǎn)，當(dāng)然還需要學(xué)生具備這樣的解題經(jīng)驗(yàn)——“遇中點(diǎn)，可倍長(zhǎng)”，即看到中點(diǎn)，可將經(jīng)過中點(diǎn)的線段延長(zhǎng)一倍，根據(jù)“邊角邊”的判定方法構(gòu)造出一對(duì)全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題.可見，線段中點(diǎn)作為已知條件時(shí)，有時(shí)亦可尋求全等三角形作為思維起點(diǎn).

3.深剖角平分線條件，尋求等腰三角形思維起點(diǎn)

（1）利用“三線合一”構(gòu)造等腰三角形.

解法8：過點(diǎn)B作BF⊥AD于點(diǎn)F，并延長(zhǎng)BF，交AC于點(diǎn)G，連接MF，如圖9所示.

由∠1=∠2，BF⊥AD，可得△ABG是等腰三角形.

圖9

所以AB=AG，BF=GF.

所以MF是△BCG的中位線.

所以MF∥AC，且

又因?yàn)镃E=AB=AG，

所以CE-EG=AG-EG，

即CG=AE.

所以FM=AN.

所以四邊形AFMN是平行四邊形.

所以MN∥AD.

【評(píng)析】解法8的思維起點(diǎn)是通過分析已知條件中的“AD為△ABC的角平分線”聯(lián)想到：遇到角平分線時(shí)可作垂直構(gòu)造高線，從而利用等腰三角形“三線合一”定理的逆定理即能得出兩個(gè)重要的結(jié)論，即構(gòu)造一個(gè)等腰三角形和一條底邊上的中線，進(jìn)而利用三角形中位線的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)證得結(jié)論成立.因此，只要讓學(xué)生具備“遇角平分線，可作垂直構(gòu)造等腰”的解題經(jīng)驗(yàn)，相信該題的解題思路必將一路暢通.

（2）利用“雙平等腰問題”構(gòu)造等腰三角形.

解法9：過點(diǎn)B作BF∥AD，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖10所示.

圖10

因?yàn)锽F∥AD，

所以∠1=∠3，∠2=∠F.

又因?yàn)椤?=∠2，

所以∠F=∠3.

所以AB=AF.

所以EC=AF.

因?yàn)锳N=NE，

所以FN=CN.

所以MN是△BCF的中位線.

所以MN∥BF.

所以MN∥AD.

【評(píng)析】解法9的思維起點(diǎn)同樣源于已知條件中的“AD為△ABC的角平分線”，遇到角平分線時(shí)也可聯(lián)想到“雙平等腰三角形”問題，即“角平分線+平行→等腰三角形”，簡(jiǎn)稱為“雙平等腰問題”.該思路通過巧妙地構(gòu)造出等腰三角形ABF，從而得出MN是△BCF的中位線，最后利用平行線的傳遞性證得結(jié)論成立.可見，由條件中的角平分線聯(lián)想到的“雙平等腰三角形”模型可以讓該題的解決更輕松簡(jiǎn)潔.其實(shí)，解法1、解法5、解法6也都滲透著“雙平等腰問題”的運(yùn)用.可見，學(xué)生如對(duì)于“雙平等腰問題”理解透徹的話，能夠?qū)で蟮娇梢越鉀Q該題的多種思維起點(diǎn).

4.深剖角平分線條件，尋求比例線段思維起點(diǎn)

解法10：設(shè)AB=CE=a，AN=NE=b，如圖11所示.

圖11

由AD為△ABC的角平分線，可得

【評(píng)析】解法10是以上解法中唯一不需要添輔助線的解法，其思維起源于已知條件中的“AD為△ABC的角平分線”.根據(jù)三角形角平分線定理可以得到比例線段，再根據(jù)條件中的線段相等及線段中點(diǎn)等重要信息設(shè)出輔助元，進(jìn)而利用比例線段證得結(jié)論成立.該思路雖然無需添加任何輔助線，但是對(duì)于比例線段的處理要求較高，因此也是不易想到的一種解題思路，但如能從角平分線這一條件進(jìn)行突破，也還是能想到該思路的.

四、兩點(diǎn)思考

1.注重滲透解題經(jīng)驗(yàn)，豐富學(xué)生的思維儲(chǔ)備

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》特別強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的結(jié)果.這里的“解題經(jīng)驗(yàn)”包括解題思想方法、解題基本模型、解題通法或技巧等規(guī)律方面的思維能力.如上述提到的“遇中點(diǎn)，想中位線”“遇中點(diǎn)，構(gòu)全等”“遇角平分線，構(gòu)等腰”等.另外還有沒提到的，但是大家在平時(shí)的教學(xué)中也時(shí)常會(huì)滲透的.例如，“遇垂直，想勾股”“遇切點(diǎn)，連圓心”“遇90°圓周角，找直徑”等.同時(shí)，一些常見的幾何基本問題也屬于解題經(jīng)驗(yàn)范疇，如“雙平等腰問題”“將軍飲馬問題”“三垂直問題”“半角問題”“共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問題”等.我們?nèi)缒茉谄綍r(shí)的教學(xué)中多滲透這樣的“解題經(jīng)驗(yàn)”，就能豐富學(xué)生的思維儲(chǔ)備，為思維起點(diǎn)的頓悟鋪好扎實(shí)的基石.

2.深入剖析已知條件，快速找準(zhǔn)思維起點(diǎn)

分析問題，尋求思路的方法一般有三種：由因?qū)Ч?，?zhí)果索因，因果夾擊.本文重點(diǎn)探索“由因?qū)Ч钡乃季S尋求方式，即從已知條件出發(fā)，一步一步推得結(jié)論成立.上述案例中介紹的十種不同的解題思維均是從某個(gè)特定的已知條件出發(fā)，找準(zhǔn)了思維起點(diǎn)后最終順利解決問題的.可見，該思維方式需要學(xué)生有一定的深入剖析已知條件的能力，以求浮現(xiàn)出更多的數(shù)學(xué)表象.當(dāng)學(xué)生擁有足夠的“解題經(jīng)驗(yàn)”作為思維儲(chǔ)備時(shí)，數(shù)學(xué)表象就會(huì)轉(zhuǎn)化為一個(gè)有序的深化過程，進(jìn)而頓悟出數(shù)學(xué)直感，即找準(zhǔn)了某條正確思路的思維起點(diǎn).數(shù)學(xué)直感的得出是解題的重大進(jìn)展，它能為圖形各部分?jǐn)?shù)學(xué)關(guān)系的溝通起到橋梁作用，為后續(xù)的展開數(shù)學(xué)想象和給出邏輯證明鋪平了思維的道路.