鄭 金

(凌源市職教中心,遼寧 朝陽 122500)

1 轉(zhuǎn)動定理的應(yīng)用

對于質(zhì)量均勻的直桿,或者輕桿與小球的連接體,當(dāng)由靜止?fàn)顟B(tài)突然開始轉(zhuǎn)動時,應(yīng)用質(zhì)心運動定理和轉(zhuǎn)動定理可求出直桿一端受到作用力的大小和瞬時角加速度的大小以及質(zhì)心加速度的大小.

圖1

例1.如圖1所示,一根長度為3L的輕桿上固定質(zhì)量分別為m1和m2的兩個小球,它們的位置把桿的長度均分.用兩根豎直的繩子系在桿的兩端,使桿沿水平方向且保持平衡狀態(tài).試求:當(dāng)右邊繩子被剪斷瞬時左邊繩子的拉力為多大?

對系統(tǒng)由質(zhì)心運動定理有

(m1+m2)g-F=(m1+m2)aC，

即 (m1+m2)g-F=(m1+2m2)Lβ.

以加速度瞬心為參考點,由轉(zhuǎn)動定理有

m1gL+m2g·2L=[m1L2+m2(2L)2]β.

解方程得左邊繩子的拉力大小為

圖2

例2.如圖2所示,均質(zhì)細桿AB的長度為L,質(zhì)量為m,由兩根不可伸長的繩子懸掛,處于水平靜止?fàn)顟B(tài).在突然剪斷右邊繩子的瞬時,求左邊繩子拉力的大小和桿的角加速度的大小.

拓展：如果細桿AB開始不是水平的,而是傾斜的,與水平方向的夾角為θ,如圖3所示,求左邊繩子拉力的大小和桿的角加速度的大小.

圖3

圖4

對桿由質(zhì)心運動定理有mg-F=maC.以質(zhì)心為參考點,由轉(zhuǎn)動定理有

點評:解題難點是確定桿的加速度瞬心,需首先確定A、C兩點加速度的方向.在對兩個加速度矢量作垂線時,要注意垂線經(jīng)過兩個加速度矢量的起點.在應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理時,若以加速度瞬心為參考點,則有

由于加速度瞬心不在桿上,當(dāng)以加速度瞬心為參考點時,桿的轉(zhuǎn)動慣量包括兩部分,即桿繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)心繞加速度瞬心的轉(zhuǎn)動慣量.

例3.如圖5所示,在水平面上有一均質(zhì)細桿AB的長度為L,質(zhì)量為m,在豎直平面內(nèi)與豎直墻面成θ角無初速度下滑,不計接觸面的摩擦,求釋放瞬時桿兩端的加速度為多大?受到的作用力為多大?

圖5 圖6

解析:桿釋放瞬時,角速度為0,則對加速度瞬心而言,法向加速度為0,只有切向加速度,因此轉(zhuǎn)動半徑與加速度方向垂直.A點的加速度豎直向下,B點的加速度水平向右,作兩個加速度矢量的垂線,可知交點Q為加速度瞬心,如圖6所示.桿的質(zhì)心繞點Q加速轉(zhuǎn)動,同時桿相對于質(zhì)心C自轉(zhuǎn),而且相對于點Q的角加速度與相對于點C的角加速度相同，以加速度瞬心為參考點,由轉(zhuǎn)動定理有

各點繞加速度瞬心的角加速度β相同,由aτ=rβ可知各點的切向加速度跟轉(zhuǎn)動半徑成正比,則桿兩端A、B的加速度大小分別為

對桿在水平方向由質(zhì)心運動定理有

FA=maCx,

可得

點評:要注意所求加速度是桿釋放瞬時的加速度,因為桿發(fā)生運動以后,角速度不為0,則無法找到加速度瞬心.若以質(zhì)心為參考點,則由轉(zhuǎn)動定理有

2 角動量守恒定律的應(yīng)用

對于豎直方向質(zhì)量均勻的直桿,或者輕桿與小球的連接體,當(dāng)下端受到質(zhì)點撞擊時發(fā)生繞軸轉(zhuǎn)動,應(yīng)用角動量守恒定律和機械能守恒定律可求出直桿轉(zhuǎn)動的瞬時角速度.

圖7

例4.如圖7所示,一均勻桿的長度為l,質(zhì)量為M,可繞上端的水平軸O自由轉(zhuǎn)動,開始時桿處于平衡狀態(tài),有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射向桿的下端,嵌入桿內(nèi)一起繞O點轉(zhuǎn)動,求子彈擊中桿后的角速度以及桿的最大擺角.

解析:對于質(zhì)點與直桿組成的系統(tǒng),相互撞擊力屬于內(nèi)力,當(dāng)直桿在豎直位置時,系統(tǒng)受到的重力經(jīng)過水平軸O,則外力的力矩為0.

對系統(tǒng)運用角動量守恒定律，有

可得

設(shè)桿的懸點O為重力勢能零點,桿的最大擺角為θ,對子彈的圓周運動由機械能守恒定律有

解得

點評:系統(tǒng)的角動量包括質(zhì)點的角動量和桿的角動量,都相對于同一參考點而言,當(dāng)子彈剛要撞擊到桿之前瞬時,受到的重力的作用線經(jīng)過參考點,因此重力對子彈的力矩為0,所以系統(tǒng)的角動量守恒.

圖8

例5.如圖8所示,一長度為l的輕桿,兩端分別固定質(zhì)量為m和M=2m的小球,桿可繞水平光滑軸O在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動,軸O到下端的距離等于軸O到上端的距離的2倍,桿開始時靜止在豎直位置.現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小球以水平速度v0與桿下端的小球做對心碰撞后反彈,碰撞過程沒有機械能損失,求碰撞后桿獲得的角速度和小球反彈速度的大小.

解析:對于質(zhì)點與直桿組成的系統(tǒng),當(dāng)直桿在豎直位置時,在碰撞瞬時系統(tǒng)受到的重力經(jīng)過水平軸,則產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動力矩為0,因此系統(tǒng)的角動量守恒.設(shè)小球反彈速度的大小為v,對系統(tǒng)運用角動量守恒定律有

其中桿球結(jié)合體的轉(zhuǎn)動慣量為

對系統(tǒng)運用機械能守恒定律有

點評:在對系統(tǒng)應(yīng)用機械能守恒定律時,要注意剛體的動能公式與質(zhì)點的動能公式不同.若求水平軸對桿的作用力,則對桿豎直向上由牛頓第二定律整體法有

對桿水平向右運用牛頓第二定律整體法有

可得Fy=0,Fx=0.其中角加速度β是由碰撞力矩產(chǎn)生的.

總之,無論應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理還是角動量守恒定律,都需用到轉(zhuǎn)動慣量,因此計算剛體的轉(zhuǎn)動慣量對解題顯得至關(guān)重要.在應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理時,要首先確定剛體轉(zhuǎn)動的參考點,對于不同的參考點,剛體的轉(zhuǎn)動慣量和受到各力的轉(zhuǎn)動力矩都不同;在應(yīng)用角動量守恒定律時,要分析系統(tǒng)外力對固定轉(zhuǎn)動軸的力矩是否為0.在剛體上的合外力同時具有兩個獨立作用效果,即平動效果和轉(zhuǎn)動效果,其中反映轉(zhuǎn)動效果的規(guī)律是轉(zhuǎn)動定理,反映平動效果的規(guī)律是質(zhì)心運動定理和牛頓第二定律整體法即廣義的牛頓第二定律.