鄭 亮，喬小瑞，王瑛劍

（海軍工程大學 電子工程學院，湖北 武漢 430000）

0 引 言

相位敏感光時域反射計（Phase-sensitive Optical Time Domain Reflectometer，φ-OTDR），是一種利用光纖中后向瑞利散射光的多光束干涉現(xiàn)象，進行振動定位與監(jiān)測的光纖傳感技術。由于其抗電磁干擾、靈敏度高、定位精確、數(shù)據(jù)處理相對簡單等特點，特別適合執(zhí)行長距離，大規(guī)模的監(jiān)測任務。目前在大型建筑的健康監(jiān)測，石油管道的安全監(jiān)控，國家邊界安全等領域得到了廣泛的應用[1]。傳統(tǒng)的φ-OTDR系統(tǒng)中，應用最成熟的信號處理方法是平均法，即對多次測量得到的多條散射信號進行累加平均處理，然后再對平均結果進行差分，這一方法能有效提高后向瑞利散射信號的信噪比。但是這種處理方法會大幅降低系統(tǒng)的最高頻率響應范圍，只可以用于定位，應用在進行振動監(jiān)測的φ-OTDR系統(tǒng)中并不合適[2]。壓縮感知理論[3]，可以利用觀測矩陣將高維信號投影到低維空間上，通過原信號所具有的稀疏特性，利用優(yōu)化算法將原信號重構出來，這一過程不會改變信號的頻譜范圍。因此本文提出了一種基于壓縮感知理論的信號處理方法，通過求光纖各點處的重構誤差值來定位振動位置，并求出振動頻率。這一方法可以在保證系統(tǒng)頻率響應范圍不變的同時提高系統(tǒng)的抗噪性能。

1 φ-OTDR系統(tǒng)概述

1976 年，Barnoski M.K.和 Jensen S.M.最早提出了光時域反射計（Optical Time Domain Reflectometer，OTDR）技術[4]，這一技術問世40多年以來，被廣泛應用于定位光纖線路中的斷點及其它異常[5]。OTDR系統(tǒng)原理如圖1所示，激光器產(chǎn)生的激光經(jīng)聲光調(diào)制器調(diào)制為光脈沖，經(jīng)過環(huán)形器后輸入到傳感光纖中，光脈沖在光纖中會產(chǎn)生瑞利散射光，其中后向瑞利散射光會返回到發(fā)射端，通過光電探測器得到沿光纖分布的瑞利散射光強度曲線。當光纖上某點發(fā)生擾動或突變時，光纖相應位置處的折射率也會跟著變化從而造成后向瑞利散射光強度的改變，通過探測這一變化就可以對擾動進行定位。

OTDR本身具有分布式測量的特點，然而，當其用于分布式傳感時，靈敏度卻很低，因此，人們在傳統(tǒng)OTDR的基礎上發(fā)展出φ-OTDR技術。φ-OTDR的原理與OTDR類似，都是通過探測返回的瑞利散射光從而確定擾動位置。不同的是，φ-OTDR使用的激光光源是窄線寬的。由于瑞利散射屬于彈性散射，散射光的頻率與入射光相同，所以當入射光頻率單一且穩(wěn)定時，返回的后向瑞利散射光會產(chǎn)生多光束干涉效應。相干光對振動非常的敏感，微小的振動就可以造成相干光曲線強度的改變，所以相比傳統(tǒng)OTDR系統(tǒng)，φ-OTDR的探測靈敏度有了極大的提高。

圖1 OTDR系統(tǒng)原理圖

φ-OTDR系統(tǒng)為了避免光信號之間的干涉串擾，在入射光脈沖產(chǎn)生的瑞利散射光全部返回到發(fā)射端之前，不允許發(fā)射下一個光脈沖。設兩個入射光脈沖之間的時間間隔為τ，τ的最小值可等效的看作是光脈沖在光纖中往返所需要的時間，如式（1）[2]，

其中L是光纖長度，vg是光的群速度。所以φ-OTDR系統(tǒng)發(fā)射探測脈沖的頻率f存在極大值fmax=1/τmin，根據(jù)奈奎斯特采樣定理，可得φ-OTDR系統(tǒng)的頻率響應范圍是0～0.5f，當光纖上的振動頻率處在這一范圍內(nèi)時，可以在定位的同時求得振動頻率。

2 基于平均法的信號處理方法

由于普通單模光纖中返回的瑞利散射光信號非常微弱，尤其在長距離的傳感光纖中，非常容易被噪聲淹沒，因此需要特殊的信號處理方法來提高后向瑞利散射光的信噪比。對于φ-OTDR采集到的信號，通常我們使用平均法對其進行處理。

平均法中比較常見的有分離平均法[6]和移動平均法[7]。所謂分離平均法，就是將采樣得到的N條瑞利散射曲線依照時間順序等分為幾組，各組分別進行平均處理，之后再進行差分疊加。例如，將1 024條瑞利散射曲線依照時間順序等分為4組，每組256條做一次平均處理，可以得到四條平均曲線{x1,x2,x3,x4}，對其執(zhí)行操作xi+2-xi，并將結果疊加可以得到圖2（a），從圖中可以清晰的分辨出振源的位置。而移動平均法則是預先設置一個移動平均數(shù)m，在N條瑞利散射曲線上（N>m），通過沿時間軸不斷步進的方式對每m條散射曲線求平均值，得到N-m+1條平均曲線，之后再通過移動差分的方式，得到信號處理圖像。如圖2（b），這是m=256時，1 024條瑞利散射曲線經(jīng)移動平均法處理后得到的圖像，由圖易得振動位置在光纖1.6 km處。

圖2 平均法得到的定位圖像

不論是分離平均法還是移動平均法，雖然可以降低信號噪聲，求出振源位置，但是平均的過程相當于降低了系統(tǒng)的采樣率，會相應縮小系統(tǒng)的頻率響應范圍，這顯然不利于發(fā)揮φ-OTDR系統(tǒng)的性能。因此，本文提出使用壓縮感知算法來進行信號處理，可以在降低噪聲的同時維持原來的頻率響應范圍不變。

3 基于壓縮感知的信號處理

3.1 壓縮感知原理

2008年Donoho提出了壓縮感知理論[8]，這一理論證明，如果信號是稀疏的，那么它可以由遠低于采樣定理要求的采樣點數(shù)重建恢復，具體原理如下。

設一維向量S的長度是N，并且存在正交的空間變換矩陣Ψ使得S在這一空間的變換向量X是稀疏向量，即X中只有K個元素不為零，其余元素均為零，且K<

如果，現(xiàn)在已知Y和Φ，求S，因為Φ是M×N的矩陣，顯然S的解并不唯一，但是如果存在空間變換矩陣Ψ，并且滿足S=ΨX，帶入式（2）可得：

此時問題轉(zhuǎn)化為，已知Y、Φ和Ψ，在X的解集中，尋找一個含零元素最多的X，這時X有唯一解，進而可以求出S，這就是壓縮感知的基本原理。其中，Y稱為觀測向量，矩陣Φ稱為觀測矩陣，Ψ稱為稀疏矩陣，為簡化表述，定義Θ=ΦΨ，Θ稱為傳感矩陣。

所以壓縮感知問題的核心是尋找一種重構算法，求出稀疏度最高的。目前壓縮感知重構算法大致分為兩種：凸優(yōu)化算法及貪婪算法[9]，因為貪婪算法的計算復雜度低于凸優(yōu)化算法，所以得到了更多的應用。而貪婪算法中常見的又有，自適應匹配追蹤法（Sparsity Adaptive Matching Pursuit ,SAMP）[10]、正交匹配追蹤法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）[11]等。本文使用的是OMP法，其基本原理為，求出傳感矩陣Θ中和Y最為匹配的列向量，并利用最小二乘法估算出這一列向量對應的X中的元素，利用這一元素反推出Y的近似值，并更新殘差。將這一過程迭代K次，就可以求出稀疏度為K的X，進而求出原信號S。OMP算法的流程圖如圖3所示。

3.2 基于壓縮感知的φ-OTDR系統(tǒng)信號處理原理

具體到φ-OTDR中，若是連續(xù)采樣得到N條瑞利散射曲線，則光纖上每一點在時域都可以做出一條由N個采樣點構成的信號曲線。將此曲線看作是離散信號S(z)，z表示光纖鏈路位置，設振源處z=a，則信號S(a)的頻域信號X(a)可以近似的看作是振源的頻域信號Xv(a)與噪聲的頻域信號γ之和，即：

這里的Ψ是離散傅里葉逆變換矩陣，由于振源處振動信號的頻率帶寬是有限的，且頻譜能量遠大于噪聲，所以Xv可以近似的看作是稀疏向量。則這一問題轉(zhuǎn)化為，求稀疏信號Xv(a)的問題，可以利用壓縮感知原理進行求解。

圖3 OMP算法流程圖

首先，定義M×N的觀測矩陣Φ，Φ必須是與稀疏矩陣Ψ不相干的，隨機高斯矩陣[12]和伯努利矩陣[8]都滿足這一條件，另外M需滿足式（5）：

K是自定義的稀疏度，本文選取隨機高斯矩陣作為觀測矩陣Φ，可以得到觀測向量Y(a)=ΦS(a)，已知Y(a)，Ψ，Φ，K，輸入到OMP算法程序中就可以求得Xv(a)的近似值Xv′(a)。之所以是近似值，因為X(a)中含有噪聲項。但是由近似值Xv′(a)得到的時域信號Sv′(a)，依然保留了原始振動信號Sv(a)的大部分特征，由式（4）可得：

其中，Ψγ是噪聲的時域信號。在光纖其他位置由于不存在振動信號，所以信號S(z)=Ψγ是純粹的噪聲信號。由于噪聲信號不具有稀疏性，所以如果我們執(zhí)行同樣的步驟會求得一個振動信號的偽值Sv′(z)，顯然Sv′(z)與S(z)之間并沒有相似性。

這里定義重構誤差：

其中，z表示光纖上的位置點。結合（6）、（7）式可知，振源處的重構誤差δ(a)必然是小于1的數(shù)，利用這一點就可以定位振源位置。

4 實驗驗證

本次實驗的實驗裝置如圖4所示，激光器線寬小于3 kHz，最大輸出功率為10 mW，工作波長為1 550 nm。傳感光纖的長度為2 km，探測脈沖頻率1 kHz，脈沖寬度100 ns，壓電陶瓷管（PZT）放置在1.6 km位置處。為驗證上述理論，我們在PZT上施加50 Hz、200 Hz和450 Hz的混頻信號，得到1 024條瑞利散射曲線，則我們在光纖鏈路的每一點上都得到一個包含1 024個數(shù)據(jù)點的離散信號S(z)。利用MATLAB軟件生成2561024的隨機高斯矩陣Φ，Ψ為離散傅里葉逆變換矩陣，設稀疏度K=10，帶入OMP算法程序可得到沿光纖分布的重構誤差曲線，如圖5（a）所示,

圖4 φ-OTDR系統(tǒng)實驗裝置圖

圖5 兩種信號處理方法的結果對比

從圖5（a）中可以看到，在1.6 km處的重構誤差明顯低于其他位置，據(jù)此就可以定位振源位置，圖中虛線以下的部分是小于零的重構誤差值，將1.6 km處的誤差值與其他位置處小于零的誤差值作比較，可得信噪比為12.2 dB，圖5（b）是相同情況下分離平均法得到的定位曲線，經(jīng)計算可得信噪比為2.1 dB，可見利用重構誤差定位的方法具有更好的抗噪性能。

另外，OMP算法在確定振源位置之前，已經(jīng)得到了光纖上每一點在頻域的稀疏信號Xv′(z)，但是單獨取某一點的稀疏信號誤差較大。為得到準確的振動頻率，我們可以將所有重構誤差小于0.8的稀疏信號Xv′(z)提取出來，相加求平均，這樣求得的最大的頻率分量就是我們要求的振動頻率，如圖6所示。

圖6 振源處信號歸一化頻譜圖

從圖6中可以看出系統(tǒng)可探測的最大頻率為500 Hz。基于壓縮感知理論，由于我們在隨機采樣的過程中，相當于完成了對信號的壓縮，即保留了信號的所有頻域特征。所以其最大頻率響應值可以達到采樣定理的極限，即探測脈沖頻率的1/2。本文中仿真系統(tǒng)的探測脈沖頻率為1 kHz，則最大頻率響應值為500 Hz。

5 結 語

本文首先簡要介紹了φ-OTDR系統(tǒng)以及傳統(tǒng)平均法定位的原理。在此基礎上，針對傳統(tǒng)的平均法在信號處理方面存在的問題，運用壓縮感知理論提出了一種新的振源定位方法，采用OMP算法對光纖沿線各點的散射信號進行壓縮與重構，通過求得的重構誤差來進行定位。實驗表明，對比傳統(tǒng)的平均方法，本文提出的信號處理方法具有更大的頻率響應范圍，以及更好的抗噪性能。