韋 磊

在2018年高考數(shù)學(xué)全國卷中，有這么一道題，骨骼清奇：

【原題】下面是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成.三個半圓的直徑分別是直角三角形ABC的三邊AB，AC，BC，三角形ABC圍成的區(qū)域記為Ⅰ，斜線陰影部分的區(qū)域記為Ⅱ，白色部分記為Ⅲ，在整個圖形中任取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自各部分的概率分別為P1，P2，P3，則（ ）

圖1

A.P1＝P2B.P1＝P3

C.P2＝P3D.P1＝P2＋P3

此題難度倒是不大，通過簡單的勾股定理即可得.

設(shè)白色部分面積為S1，

直角邊上的兩個半圓面積為：

這顯然同直角三角形的面積相同.所以答案是A.

當(dāng)然清奇之處倒不是此題的難度，而是它不凡的背景.

這個故事，說起來真的是蕩氣回腸.這個故事，就是著名的化圓為方.

注：“化圓為方”是古希臘數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖領(lǐng)域中的命題，它與“三等分角”“倍立方問題”并列為尺規(guī)作圖三大難題.

一、數(shù)與形的競爭，形的勝出

古人從現(xiàn)實(shí)生活中逐漸提煉出基本的數(shù)學(xué)概念，并且這些概念結(jié)論什么的逐漸分成兩大陣營——幾何與算術(shù).這兩門學(xué)科不像現(xiàn)在那般相互促進(jìn)，而是在相互競爭——誰管用就信誰.當(dāng)幾何中有了新的發(fā)現(xiàn)，幾何便占據(jù)優(yōu)勢，算術(shù)漸被多數(shù)人忽視；而當(dāng)算術(shù)有了新的發(fā)現(xiàn)，算術(shù)又取代幾何的位置成為主流.

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派大概是以著名的畢達(dá)哥拉斯定理（也就是勾股定理）而讓我們熟知.實(shí)際上這只是畢氏學(xué)派在幾何中的一大貢獻(xiàn)而已，他們在算術(shù)中的思想往往被我們忽視——大概是這種思想被證明是一種荒謬之故——“萬物皆數(shù)”.

這種思想認(rèn)為，所有的數(shù)都能用兩個整數(shù)的比值來表示，換成我們今天的話說，那就是所有的數(shù)都是有理數(shù).這在我們現(xiàn)在看來顯然是荒謬的，不過在那時(shí)，這條原則被奉為圭臬，成為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的核心教義.這里用教義一詞，并非誤用，因?yàn)閺暮芏喾矫婵?，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派都不像我們印象之中的學(xué)術(shù)團(tuán)體，而更像一個宗教團(tuán)體.

我們提起這種思想是想讓大家知道，畢氏學(xué)派一開始是在幾何與算術(shù)兩大陣營都有建樹的，并無偏頗一方之意.但“成也蕭何，敗也蕭何”，畢氏學(xué)派因該定理流傳千古，也因該定理毀了自己的思想根基——正是因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯定理導(dǎo)致了“無理數(shù)”的發(fā)現(xiàn).因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)，直角邊都為1的直角三角形的斜邊，沒辦法用兩個整數(shù)的比值來表示.這對畢氏學(xué)派來說是災(zāi)難性的，對人類來說卻是一大喜事.

發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象的，正是畢氏學(xué)派的弟子.據(jù)說，他因此付出了生命的代價(jià)，怒不可遏的其他弟子將其沉入海中.雖然這一點(diǎn)沒有得到證實(shí)，但這反映出了畢氏學(xué)派的宗教性質(zhì)——不愿意接受異見.

然而不可公度數(shù)的發(fā)現(xiàn)，并沒有引導(dǎo)人們?nèi)ミM(jìn)一步研究數(shù)的性質(zhì)，反倒讓人們對算術(shù)失去了信心，就從這個節(jié)骨眼開始，幾何對算術(shù)的優(yōu)勢一直支配著希臘，足有一千多年.

二、對面積的癡迷，對美和秩序的追求

古希臘人被幾何的對稱性、視覺美和微妙的邏輯結(jié)構(gòu)吸引住了，尤其是化繁為簡的處理方式，即以簡單和基本的東西作為復(fù)雜和紛繁問題的處理基礎(chǔ).

如果要從大自然中直觀體驗(yàn)到一兩種幾何體，那么最常見的莫過于直線和圓了.對直線和圓的癡迷，使得直尺和圓規(guī)成為了幾何作圖的核心工具（至少在古希臘是如此），而直尺和圓規(guī)的實(shí)用性反過來增進(jìn)了直線和圓在古希臘幾何學(xué)中的地位.

出于對幾何中美和對稱性的追求，古希臘人開始研究起面積，其本意我猜測是想把描述平面圖大小的量轉(zhuǎn)化成簡單的正方形.面對著一般圖形求面積的困難，古希臘人心中就萌發(fā)“用一個正方形面積取代一個平面圖形的面積”的想法.因?yàn)槿绻軐?shí)現(xiàn)，那么規(guī)則對稱的正方形替換了不規(guī)則不對稱的平面圖形，這是一種以對稱取代不對稱，以完美取代不完美，以有理性取代無理性的過程，也是宇宙所固有的簡約和美的象征.

為了更徹底地反映這種科學(xué)精神，古希臘數(shù)學(xué)家們還對圓規(guī)和直尺的用途加以限制：圓規(guī)只能畫圓，而直尺，是沒有刻度的直尺，只能畫直線.

三、直邊圖形的遺憾，月牙定理的“曙光”

憑著古希臘人的才華，人們已經(jīng)能僅憑“尺規(guī)作圖”，用正方形的面積表示任何“直邊圖形”的面積，但曲邊圖形卻遇到了困難.人們起初懷疑這種方案的可行性，因?yàn)橹庇X認(rèn)為尺規(guī)不能將曲邊拉直.然而希波克拉底帶著他的月牙定理，讓眾人看到了“化曲為直”的希望.如下圖所示：

以直角三角形三邊為直徑作半圓，兩兩相交成圖中所示兩個陰影月牙形，則兩個陰影月牙形面積之和等于直角三角形面積.

如圖2，S1＋S2＝S△ABC.

圖2

該定理一面世便引起軒然大波，太提神了！一個曲邊圖形的面積就這樣等于了一個直邊圖形的面積，這對于那些一心想尋找化曲為直的數(shù)學(xué)家來說實(shí)在是太振奮人心了.有傳言稱希波克拉底個人都據(jù)此宣稱他已經(jīng)解決化圓為方問題，在后來的辛普利西烏斯的轉(zhuǎn)述中提到所謂的“化圓為方”問題解決辦法.后來證實(shí)這是錯誤的——作者錯誤地將此月牙推廣到任意月牙：

圖3

如圖3所示，作者認(rèn)為黑色部分和灰色部分面積相同.這顯然只是很不負(fù)責(zé)任的推廣，稍加計(jì)算便可得知其錯誤.實(shí)際上直到20世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才證明僅存在五種月牙形能用正方形來表示面積.當(dāng)然這是后話，不管是非如何，月牙定理確實(shí)激起了大家對“化圓為方”問題的興趣，而且他們?nèi)绱酥裕蛔鼍褪莾汕Ф嗄辍?/p>

四、千年后的終結(jié)

兩千多年來，盡管無數(shù)的數(shù)學(xué)家為幾大幾何作圖問題費(fèi)盡心思卻仍未有任何突破，但人們始終相信，這些都只是數(shù)學(xué)家們的能力不夠而已.直到1882年，德國的費(fèi)迪南德·林德曼證明了該問題的不可能性——根本原因就在于圓周率π的超越性，這個問題才算得到了圓滿的解決.

所謂超越數(shù)，這是一個比較復(fù)雜的概念，你可以理解成比一般的無理數(shù)更為“無理”的無理數(shù).

數(shù)學(xué)家證明，只要是超越數(shù)，僅僅使用我們的尺規(guī)，是沒辦法做出來的.而我們的“化圓為方”，實(shí)際上就是做出長為的線段，由于π的超越性，這是沒辦法做出來的，也就證明了“化圓為方”是不可能的.

但若是沒有尺規(guī)的這個限制，“化圓為方”之類的問題還是很容易解決的.比如說：將圓滾一圈就滾成直線，然后再對直線四等分就行了.

回顧整個歷史的發(fā)展過程，當(dāng)人們最初提到用尺規(guī)化圓為方時(shí)，人們直覺認(rèn)為這是不可能的，但是月牙定理顛覆了直覺；而后，林德曼等人的否定結(jié)論表示，直覺并非都錯——對于“化圓為方”問題來說，直覺永遠(yuǎn)都是對的.

更有戲劇性的是，當(dāng)初是因?yàn)椴豢晒葦?shù)的出現(xiàn)，使得人們認(rèn)為代數(shù)不可靠，轉(zhuǎn)而去研究幾何；而幾何上的問題最終卻成為了代數(shù)問題.什么叫數(shù)形結(jié)合？這就是.

順便提一句，關(guān)于無理數(shù)的困擾之類，在我們中國人這里從來都不是問題，雖然我們早已發(fā)現(xiàn)勾股定理.倒不是我們比別人領(lǐng)先，而是我們壓根就沒有意識到這是一個問題.我們的數(shù)學(xué)大多是作為算術(shù)之用，我們可以取到根號2的任意精確的值，至于他最終是什么，我們沒有關(guān)心過.

歷經(jīng)千年，只為證明人們的直覺.當(dāng)然，歷經(jīng)千年的洗禮，雖然最終回歸到了直覺，但我們的思維，早已超越.