蔡浩江 房敏 王婧嘉

【摘要】隨著現(xiàn)代信息技術(shù)以及計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的蓬勃發(fā)展，最新的信息技術(shù)已經(jīng)在高等院校的日常教學(xué)中越來越普及.在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)領(lǐng)域中，信息技術(shù)的應(yīng)用，可以使艱深、復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論和公式變得簡單直觀.將Mathematica這款非常實(shí)用的數(shù)學(xué)軟件與傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合，構(gòu)建符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)模式是提高大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的有效方法.實(shí)踐證明這種教學(xué)模式的建立對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，提高教學(xué)效果有著非常重要的作用.

【關(guān)鍵詞】計(jì)算機(jī)輔助教學(xué);數(shù)學(xué)軟件;Mathematica

一、目的與意義

高校的數(shù)學(xué)教學(xué)中，傳統(tǒng)的教學(xué)方法強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)理論的連續(xù)與嚴(yán)謹(jǐn)，采用以教師為主導(dǎo)的灌輸式的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，使原本就比較抽象難懂的數(shù)學(xué)定義與概念變得難上加難.

信息時代的到來，移動終端的使用，使傳統(tǒng)教學(xué)模式受到了強(qiáng)烈沖擊.當(dāng)前，學(xué)生獲取知識的渠道變得更為豐富，各種MOOC、微課學(xué)習(xí)視頻及其他豐富的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源都為學(xué)生的課外學(xué)習(xí)提供了條件.

但是與傳統(tǒng)教學(xué)相似，各種網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源仍注重于學(xué)生掌握嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論和計(jì)算能力，忽略了理論知識的推導(dǎo)以及創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，淡化了理論推導(dǎo)過程中的猜想、觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、抽象等環(huán)節(jié)，忽視了學(xué)生的主體地位，弱化了學(xué)生自主探索的學(xué)習(xí)過程，不利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用與創(chuàng)新能力.對大多數(shù)學(xué)生而言，這些資源的利用雖然能夠在一定程度上提高他們的學(xué)習(xí)效率，但仍然無法將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于其他課程及解決實(shí)際問題，學(xué)生的邏輯思維能力、創(chuàng)新與應(yīng)用能力并沒有顯著提高.

教學(xué)實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)軟件與傳統(tǒng)課堂教學(xué)的有機(jī)結(jié)合，是提高學(xué)生創(chuàng)新思維和應(yīng)用能力的一條行之有效的途徑.一方面，數(shù)學(xué)軟件可以使用圖像展現(xiàn)數(shù)學(xué)深奧的理論，可以加強(qiáng)學(xué)生對抽象知識的理解.另一方面，為了貫徹實(shí)施素質(zhì)教育，教師還可以設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)課程的實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)節(jié)：提出典型實(shí)際問題，引發(fā)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維;在教師的啟發(fā)下分析問題、探索問題，從而提高學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力;利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容有了直觀認(rèn)識，從而提升學(xué)習(xí)興趣，提高研究能力.學(xué)生在使用數(shù)學(xué)軟件解決問題的過程中找到了理論與實(shí)際的結(jié)合點(diǎn)，體驗(yàn)到了“學(xué)”和“用”的和諧統(tǒng)一，獲得了學(xué)習(xí)帶來的成就感，學(xué)習(xí)興趣和動力會得到長效的保持.

二、計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的可行性

教學(xué)硬件的改善為軟件的使用提供了保障條件.Matlab、Mathematica、Maple并稱為三大數(shù)學(xué)軟件.Matlab是Math Works公司出品的數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算;Mathematica是由美國的Wolfram Research公司開發(fā)的數(shù)學(xué)軟件，其在圖形、數(shù)值、代數(shù)等方面應(yīng)用廣泛;Maple是由加拿大Waterloo大學(xué)開發(fā)的科學(xué)計(jì)算軟件，擁有優(yōu)秀的符號計(jì)算和數(shù)值計(jì)算能力.它們各有所長，但就高校計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)及實(shí)驗(yàn)教學(xué)而言，Mathematica更具優(yōu)勢，原因有：第一，Mathematica有與數(shù)學(xué)教材完全相同的基本數(shù)學(xué)符號輸入界面，見圖1，不需要太多的課堂時間講解，學(xué)生即可上手使用;第二，自定義函數(shù)的寫法，各類函數(shù)的輸入和輸出，更接近語言的表達(dá)順序，簡單易懂;第三，繪制的三維圖形可以方便地調(diào)整觀察視角，有利于學(xué)生對空間圖形的直觀認(rèn)識;第四，符號運(yùn)算方便、簡潔，容易掌握.

因此，將Mathematica數(shù)學(xué)軟件引入數(shù)學(xué)教學(xué)中具有很好的可行性.通過它，可以將復(fù)雜抽象的計(jì)算問題按照人們習(xí)慣的書寫格式輸入和輸出，學(xué)生容易掌握，還可將復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系用圖形的形式展現(xiàn)出來，便于將抽象的問題具體化、可視化.

本文將以Mathematica的幾個輔助實(shí)驗(yàn)為例說明與傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式對提高大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)效果的積極作用.

三、Mathematica軟件在輔助教學(xué)的應(yīng)用

（一）在觀察數(shù)列變化趨勢中的使用

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，極限作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)，無疑是最重要、最基礎(chǔ)的環(huán)節(jié).但在通常的教學(xué)中，大部分學(xué)生并不容易發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律.借助Mathematica程序給出的直觀圖示，可以幫助他們發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律，進(jìn)而理解數(shù)列收斂的本質(zhì).例如，可以從復(fù)利問題引入重要極限 limn→∞1+1nn，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再借助Mathematica程序繪出數(shù)列變化的直觀圖示，如圖2所示：

學(xué)生從圖像中觀察到了數(shù)列變化的特點(diǎn)，直觀的感受使學(xué)生對公式首先有了感性認(rèn)識，以此為基礎(chǔ)，再利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行公式的推導(dǎo)和理論證明，從而使學(xué)生上升到理性認(rèn)識.此過程遵循了猜想、觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、抽象的環(huán)節(jié)，重在思維方式的啟發(fā)與培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考并提升了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性.

（二）在函數(shù)繪圖中的使用

在傳統(tǒng)的高數(shù)課堂教學(xué)中，由于缺乏對復(fù)雜函數(shù)圖像的描繪等教學(xué)環(huán)節(jié)，對很多學(xué)生而言，曲線的直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程3種表達(dá)方式之間相互轉(zhuǎn)化;不同坐標(biāo)系下的三重積分的計(jì)算;線、面積的計(jì)算;隱函數(shù)的概念等知識點(diǎn)一直以來是都是難點(diǎn)問題.“數(shù)”與“形”之間不能完美的結(jié)合，使得部分學(xué)生缺乏直觀認(rèn)知，造成概念混淆，無法深入理解相關(guān)知識.但是在計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)中，我們就可以借助Mathematica中的繪圖軟件，在教學(xué)過程中繪制復(fù)雜函數(shù)的圖像，“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合，可以使抽象函數(shù)具體化，加深學(xué)生對函數(shù)以及相關(guān)知識的理解.使用Plot、PolarPlot、ParametricPlot函數(shù)繪制一元函數(shù)、極坐標(biāo)函數(shù)、參數(shù)方程表示的二維圖形，使用Plot3D、RevolutionPlot3D、SphericalPlot3D、ParametricPlot3D函數(shù)繪制二元函數(shù)、柱坐標(biāo)函數(shù)、球坐標(biāo)函數(shù)、參數(shù)方程表示的三維圖形，使用ContourPlot繪制隱函數(shù)圖形.還可以通過CoordinateTransform函數(shù)實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)Cartesian，極坐標(biāo)Polar，柱坐標(biāo)Cylindrical，球坐標(biāo)Spherical之間的相互轉(zhuǎn)換.如圖3繪制了極坐標(biāo)方程ρ=cos2θ表示的四葉玫瑰線和方程x3+y3-3xy=0確定的函數(shù)曲線.

還可以通過Animate函數(shù)繪制動畫，演示擺線、旋轉(zhuǎn)曲面等圖形的形成過程，如圖4所示，幫助學(xué)生更好地理解所學(xué)內(nèi)容并增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（三）在定積分和二重積分定義中的使用

積分在數(shù)學(xué)、物理、機(jī)械、電子、軍事等方面均有著廣泛應(yīng)用，但積分的概念對大部分學(xué)生而言卻是難以理解的.在教學(xué)中，我們一般通過求曲邊梯形面積和曲頂柱體體積的問題引入，需要經(jīng)過“分割、近似代替、求和、取極限”四個步驟進(jìn)行.其中“取極限”這一環(huán)節(jié)，課堂教學(xué)僅通過語言描述表達(dá)，沒有相關(guān)的實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，學(xué)生缺乏直觀的感性認(rèn)知以及從具體到抽象的思維過程，無法深入、透徹地理解相關(guān)概念，難以獲得較好的教學(xué)效果.通過Mathematica繪制具體例子的圖示，如圖5所示，以圖形直觀的方式呈現(xiàn)，遠(yuǎn)勝于教師的口頭講解，有助于學(xué)生加深印象并理解概念.

（四）在大數(shù)定律中的使用

大數(shù)定律是概率統(tǒng)計(jì)中的重要定理，揭示了n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均值當(dāng)n→∞時依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望.為了幫助學(xué)生更好地理解大數(shù)定律，可以利用Mathematica給出直觀演示.例如，在講授辛欽大數(shù)定律時，利用Mathematica的Random和NormalDistribution函數(shù)，產(chǎn)生n個相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布N（1，22）的隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，考查當(dāng)隨機(jī)變量個數(shù)n逐漸增多時，它們的算術(shù)平均值的變化情況.圖6分別給出了當(dāng)n=10，100，1 000，10 000四種情況下，重復(fù)試驗(yàn)50次，n個隨機(jī)變量的算術(shù)平均值的分布情況.

從圖6可以明顯看出，當(dāng)n=10時，10個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均值與μ=1有很大偏差，但隨著n越來越大，n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的算術(shù)平均值越來越密集在μ=1這條直線附近.由此可見，傳統(tǒng)教學(xué)中復(fù)雜、艱深的數(shù)學(xué)定理，借助于數(shù)學(xué)軟件的幫助，以直觀易懂的圖形圖像展示給學(xué)生，使得復(fù)雜抽象的理論知識變得簡單、具體，讓學(xué)生印象深刻，從而取得較好的教學(xué)效果.

四、計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)的優(yōu)點(diǎn)

（一）有利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)課程的教學(xué)強(qiáng)調(diào)進(jìn)行交互式教學(xué)以及以學(xué)生為中心的自主學(xué)習(xí)，在課前、課中和課后都以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo).數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)，使得作為主體的學(xué)生，對課程知識的獲取和掌握不再完全依賴于任課教師的課堂教學(xué)，可以利用更多的課外時間自主學(xué)習(xí).

（二）有利于學(xué)習(xí)成績的提高

在運(yùn)用計(jì)算機(jī)輔助的交互教學(xué)過程中，將Mathematica軟件引入到數(shù)學(xué)課堂，使抽象的概念、函數(shù)、公式變得直觀形象，學(xué)生在數(shù)學(xué)模型的動態(tài)展現(xiàn)中更加深刻地理解理論知識，提高課堂的教學(xué)效率，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到難題，也可以通過討論，查找資料，編寫程序等多種方式加以解決.

（三）有利于實(shí)踐能力的培養(yǎng)

在課程教學(xué)中，我們運(yùn)用Mathematica軟件進(jìn)行交互教學(xué)，讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)的方式不僅掌握有關(guān)定理、公式，而且能夠熟練掌握一門數(shù)學(xué)軟件.既增強(qiáng)了學(xué)生的自學(xué)能力，還提高了學(xué)生的動手能力，也培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力.

五、結(jié)束語

在數(shù)學(xué)課程中運(yùn)用Mathematica軟件進(jìn)行輔助教學(xué)，充分利用數(shù)學(xué)軟件的計(jì)算和繪圖功能，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)教學(xué)的簡便性和直觀性，使得“數(shù)”與“形”有機(jī)結(jié)合，“教”與“學(xué)”相得益彰，不僅有助于提高課堂教學(xué)效果，還有助于培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件探究問題的意識.學(xué)生在課后利用課外教學(xué)資源自主學(xué)習(xí)、表達(dá)和解決實(shí)際問題時，也可以方便地使用軟件輔助，既促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)成績的提高，也培養(yǎng)了學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力.教學(xué)實(shí)踐證明，在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分利用輔助軟件是一種比較科學(xué)有效的教學(xué)方法，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氛圍，提高課堂教學(xué)效果.

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