謝華英

摘 要：文章分析了學(xué)生應(yīng)如何借助幾何直觀，發(fā)展空間觀念。教師應(yīng)從抽象概念入手，幫助學(xué)生形成空間意識(shí);動(dòng)靜結(jié)合，發(fā)展學(xué)生空間觀念;培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)空間觀念的形成;操作和想象并行，充分感知，促進(jìn)空間觀念的深化;由直觀到抽象，動(dòng)靜結(jié)合，促進(jìn)空間觀念的提升。

關(guān)鍵詞：幾何直觀;空間觀念;圖形轉(zhuǎn)換

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，空間觀念是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)幾何學(xué)習(xí)和圖形學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)，其目標(biāo)包括分析、抽象、觀察、綜合、比較、想象的過(guò)程。融入幾何和圖形學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程，在圖形認(rèn)識(shí)、圖形位置、圖形運(yùn)動(dòng)中都蘊(yùn)含著學(xué)生發(fā)展空間觀念的任務(wù)。幾何直觀是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要指標(biāo)，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象。教師應(yīng)該在教學(xué)過(guò)程中多創(chuàng)造機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀，發(fā)展學(xué)生空間觀念，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、創(chuàng)造機(jī)會(huì)，形成空間意識(shí)

（一）從抽象概念入手，幫助學(xué)生理解概念

數(shù)學(xué)概念的理解，對(duì)學(xué)生空間觀念的發(fā)展十分重要。教學(xué)時(shí)教師可以利用多種措施加深學(xué)生對(duì)概念的理解，學(xué)生先要進(jìn)行直觀認(rèn)識(shí)，隨后創(chuàng)建表象，再到抽象總結(jié)、理解事物本質(zhì)，最終展開(kāi)想象。在觀察物體的過(guò)程中，需要先把初始形狀和事物具體某一面有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，隨后掌握形狀的一般概念，再到不需要參考具體事物便可以辨別圖形。在認(rèn)識(shí)位置和方向的過(guò)程中，應(yīng)該從實(shí)踐性角度入手，辨認(rèn)實(shí)際方向，隨后進(jìn)行想象，通過(guò)參照物來(lái)辨別具體位置，了解方向的相對(duì)性特征。在認(rèn)識(shí)圖形的過(guò)程中，應(yīng)該是先對(duì)圖形進(jìn)行直觀辨認(rèn)，隨后通過(guò)語(yǔ)言描述具體特征。在學(xué)習(xí)圖形運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，應(yīng)該從現(xiàn)實(shí)情境中感知圖形運(yùn)動(dòng)變化。

例如，在“線(xiàn)”的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教材給出了生活中的一種繃緊的常見(jiàn)弦和一個(gè)拽緊的線(xiàn)，指出可以將兩者都看作是線(xiàn)段。將琴弦或線(xiàn)畫(huà)到紙上便是線(xiàn)段，而線(xiàn)段的兩端是線(xiàn)的端點(diǎn)，因?yàn)樵谌粘Ｉ钪袩o(wú)法找出直線(xiàn)的原型，所以教材中提出將線(xiàn)段向兩端進(jìn)行無(wú)限延伸便可以得到直線(xiàn)。在教學(xué)過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考無(wú)限延長(zhǎng)的意義，想象直線(xiàn)到底多長(zhǎng)，是否可以測(cè)量直線(xiàn)的長(zhǎng)度。隨后引出射線(xiàn)的概念，從生活中尋找射線(xiàn)的原型。最終在對(duì)圖形中的線(xiàn)段、射線(xiàn)和直線(xiàn)進(jìn)行認(rèn)識(shí)后，可以思考其中的差異和相同點(diǎn)。

（二）從抽象概念入手，掌握?qǐng)D形變換

圖形運(yùn)動(dòng)與幾何變換是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，是形成數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)方法和學(xué)習(xí)的主要對(duì)象。因此在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)習(xí)平面圖形時(shí)不僅要掌握標(biāo)準(zhǔn)圖形，同時(shí)還需要了解轉(zhuǎn)換方位后的圖形。比如，在構(gòu)建體積、面積公式的過(guò)程中，應(yīng)該通過(guò)形狀變化掌握哪些發(fā)生改變，而哪些沒(méi)有變化，通過(guò)現(xiàn)有知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)，并得出體積公式和面積公式，在遇到一些比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)等積替換法、轉(zhuǎn)化法、割補(bǔ)法、平移法等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)圖形的變換。

教師在練習(xí)設(shè)計(jì)中，應(yīng)該適當(dāng)添加各種圖形變化方法習(xí)題，如兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是20厘米，寬是2厘米，將其中一個(gè)順著長(zhǎng)邊平均分成五等分，隨后將其拼接在一起，試問(wèn)該圖形的整體周長(zhǎng)。具體如圖1所示。

二、動(dòng)靜結(jié)合，發(fā)展空間觀念

空間觀念的培養(yǎng)需要以事物的想象和觀察為基礎(chǔ)，學(xué)生經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)已經(jīng)具備了分析、想象和觀察的基礎(chǔ)。為此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，教師可以結(jié)合學(xué)生所了解的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，設(shè)置教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生利用自身經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行觀察、描述、分析、畫(huà)圖和想象，促使學(xué)生逐漸形成空間觀念。

（一）養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣，數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)空間觀念的形成

數(shù)形結(jié)合是對(duì)相關(guān)技能和知識(shí)的貫通式理解，逐漸形成的一種數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化意識(shí)，這種運(yùn)用能力和認(rèn)識(shí)能力是教學(xué)過(guò)程中所需要的。為此，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立畫(huà)圖觀念，將需要解決的問(wèn)題圖形化，使計(jì)算和問(wèn)題更加直觀，促進(jìn)形象思維的有效展開(kāi)。

比如，在“數(shù)對(duì)”教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)對(duì)和方格紙中的點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，并形成一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，用數(shù)對(duì)的形式來(lái)代表方格中的點(diǎn)，或是通過(guò)方格中的點(diǎn)來(lái)表示數(shù)對(duì)。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)的過(guò)程中，學(xué)生可以用直線(xiàn)中的刻度點(diǎn)設(shè)置對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)直線(xiàn)中的點(diǎn)顯示數(shù)，或用數(shù)字來(lái)表示具體的點(diǎn)。在“正負(fù)數(shù)”學(xué)習(xí)內(nèi)容中，可以在數(shù)軸中尋找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，用正負(fù)數(shù)表示兩種意義相反的數(shù)量，掌握其中一點(diǎn)的正數(shù)便表示可以找到另一個(gè)負(fù)數(shù)點(diǎn)。

又如，從一個(gè)長(zhǎng)為12厘米、寬為8厘米的長(zhǎng)方形中，剪下一個(gè)正方形，而正方形的邊長(zhǎng)是5厘米，剩下的圖形周長(zhǎng)最長(zhǎng)是多少厘米？這道題單純通過(guò)想象很難解決問(wèn)題，在這種狀況下通過(guò)畫(huà)圖的方法，可以使整個(gè)計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)單。通過(guò)畫(huà)圖，學(xué)生可以很清楚地知道，第一種剪法，圖形周長(zhǎng)和原來(lái)相等，而第二種剪法，周長(zhǎng)比原來(lái)增加了10厘米。具體如圖2所示。

（二）操作和想象并行，充分感知，促進(jìn)空間觀念的深化

皮亞杰曾說(shuō)：“空間觀念的形成不像拍照，要想建立空間觀念，必須有動(dòng)手做的過(guò)程?！眱和闹腔奂性谑种讣馍希讣馍系臄?shù)學(xué)如何更具智慧性，筆者認(rèn)為想象與操作的相結(jié)合是一種行之有效的方法。這樣既能避免表面化的操作，又能使操作活動(dòng)更具數(shù)學(xué)化、思維化，更能在想象的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

例如，教學(xué)“長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)”時(shí)，筆者為各小組準(zhǔn)備了一些不同顏色的小棒和接口，讓學(xué)生通過(guò)小組合作選取材料來(lái)搭一個(gè)長(zhǎng)方體，在選材料的過(guò)程中，學(xué)生其實(shí)是在頭腦中“搭”，接著再動(dòng)手驗(yàn)證“搭”，這樣既理解了長(zhǎng)方體的基本特征，又初步建立起立體的三維表象，加深了對(duì)長(zhǎng)方體的空間感知，空間觀念得到發(fā)展。接著，筆者讓學(xué)生想象：“如果把搭好的長(zhǎng)方體拆掉1條棱，你還能想象出它的形狀嗎？想一想，最少剩下幾條棱時(shí)，這個(gè)長(zhǎng)方體的形狀還是確定的？”

一開(kāi)始減少1、2根棱的時(shí)候，對(duì)學(xué)生的空間想象力的要求比較低，學(xué)生很容易就能想象出來(lái)。當(dāng)棱越來(lái)越少的時(shí)候，對(duì)空間想象力的要求也在逐漸增大，學(xué)生的空間想象能力實(shí)現(xiàn)了有層次性的培養(yǎng)、提升。當(dāng)棱的數(shù)量減少到下面只剩長(zhǎng)、寬的時(shí)候，大部分學(xué)生想象不出來(lái)了，有部分學(xué)生仍然可以想象出幾種可能性：有可能垂直于底面的棱比較長(zhǎng)，這個(gè)長(zhǎng)方體比較高（課件顯示比較高的長(zhǎng)方體配合學(xué)生想象）;還有可能垂直于底面的棱比較短，這個(gè)長(zhǎng)方體比較矮（課件演示）。

在師生、生生互動(dòng)交流中，師生共同確定相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱可以確定長(zhǎng)方體的形狀、大小，從而揭示出“長(zhǎng)、寬、高”的定義，接下來(lái)進(jìn)行一系列的面、體的轉(zhuǎn)換想象練習(xí)。借助三條棱這個(gè)中介，通過(guò)空間想象，在實(shí)際物體、幾何圖形與特征描述之間建立了可逆的聯(lián)系，縮短了二維空間與三維空間的距離。

（三）由直觀到抽象，動(dòng)靜結(jié)合，促進(jìn)空間觀念的提升

小學(xué)生的思維方式還處于從形象思維向抽象思維發(fā)展過(guò)渡的階段，這就決定了其空間想象能力的培養(yǎng)必須從觀察入手，動(dòng)靜結(jié)合。

在教學(xué)“探索圖形”這課時(shí)，筆者充分運(yùn)用多媒體技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的空間想象能力有層次性的培養(yǎng)、提升。 課上，筆者出示用27小正方體拼成的表面涂色的大正方體，并有意把它打亂，順勢(shì)引出：“你們能幫老師還原這個(gè)大正方體嗎？”這時(shí)的學(xué)生自信滿(mǎn)滿(mǎn)，認(rèn)為只是小菜一碟。但是過(guò)了兩分鐘，大部分小組卻無(wú)法還原，這引發(fā)了學(xué)生的思考，學(xué)生們就七嘴八舌地說(shuō)開(kāi)了，有的學(xué)生說(shuō)：“這事看著簡(jiǎn)單，沒(méi)想到做起來(lái)還挺難的?！庇械膶W(xué)生說(shuō)：“位置老放不對(duì)?！边€有的學(xué)生說(shuō)：“小正方體涂色情況有很多種，容易亂?！?/p>

這時(shí)，教師從中提取以下3個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題一：小正方體涂色的面有哪幾種情況？

問(wèn)題二：每種情況分別有多少塊？

問(wèn)題三：每種情況分別在什么位置上？

教師提問(wèn)：“你們心中想的是這些問(wèn)題嗎？請(qǐng)你們認(rèn)真觀察手中的黃色正方體（不能拆開(kāi)），并思考大屏幕上的問(wèn)題，把你的想法以算式的形式表示出來(lái)?！?/p>

這時(shí)，熱鬧的課堂頓時(shí)安靜下來(lái)了，學(xué)生通過(guò)幾分鐘的靜靜思考，很快得出答案。接著，教師通過(guò)多媒體課件的變色處理，讓學(xué)生很直觀地觀察到每種正方體的位置規(guī)律：3面涂色的位置就在頂點(diǎn)上，2面涂色的小正方體在棱中，而1面涂色的就在面中，沒(méi)有涂色的包在體中。

而在探索棱長(zhǎng)為4厘米的正方體時(shí)，教師不再提供實(shí)物，而只提供平面圖讓學(xué)生在腦海中找出位置并算出各種情況的塊數(shù)。當(dāng)學(xué)生匯報(bào)答案時(shí)，對(duì)沒(méi)涂色的正方體到底有幾塊產(chǎn)生了爭(zhēng)議，此時(shí)教師利用課件的動(dòng)態(tài)演示，把正方體一層一層拆解，讓學(xué)生將看到的與自己剛才的想象進(jìn)行對(duì)比，不斷深化空間想象能力。對(duì)于棱長(zhǎng)為5厘米、6厘米的正方體，教師則放手讓學(xué)生通過(guò)想象、推理、探索得出答案，并引導(dǎo)學(xué)生觀察，最終總結(jié)出規(guī)律。

通過(guò)觸覺(jué)、運(yùn)動(dòng)覺(jué)與視覺(jué)的協(xié)同活動(dòng)，動(dòng)靜結(jié)合，學(xué)生空間觀念發(fā)展得到有力支撐，這個(gè)形不僅印在學(xué)生的眼中，還深深地刻在學(xué)生的腦中。

綜上所述，學(xué)生空間觀念的發(fā)展并不是一蹴而就的。學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)越豐富，空間觀念的形成就越快。無(wú)論是觀察、畫(huà)圖、演示還是操作、想象，其核心都是借助幾何直觀，以便幫助學(xué)生循序漸進(jìn)地逐步脫離具體的形象，從而走向幾何的抽象;以提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)其空間觀念的形成。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬增福.小學(xué)數(shù)學(xué)“空間觀念”與“幾何直觀”中“核心素養(yǎng)”解讀——以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)為例[J].教育實(shí)踐與研究，2018（9）：4-15.

[2]陳玲玲，柯愛(ài)武.借助幾何直觀 發(fā)展空間觀念——“探索圖形”教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2017（19）：67-69.

[3]柏雨濛.關(guān)于“北師大版”初中數(shù)學(xué)教科書(shū)中“幾何直觀”的內(nèi)容研究[D].沈陽(yáng)：沈陽(yáng)師范大學(xué)，2017.