高楊 張大鵬 劉婷婷

摘要：薄膜體聲波諧振器（FBAR）力學傳感器有很大的應用潛力，但其敏感機理應力負載效應尚不能被準確描述。為準確描述應力負載效應，預測FBAR力學傳感器的頻率靈敏度，提出一種攝動與有限元聯(lián)合求解方法，并利用該方法計算FBAR微加速度計的頻率一加速度靈敏度。首先，在COMSOL有限元軟件中計算FBAR微加速度計在加速度下其壓電層AIN的平均偏置應力;接著，在COMSOL中計算單個FBAR的諧振頻率與相應的振型;最后，將有限元的計算數(shù)據(jù)和AIN的材料常數(shù)代入攝動積分公式中，得到FBAR微加速度計的頻率一加速度靈敏度約為-98.879kHz/g，與文獻報道的實驗結(jié)果-100kHz/g相吻合，驗證方法的可行性。

關鍵詞：微加速度計;薄膜體聲波諧振器;頻率偏移;攝動;有限元

中圖分類號：TP212.1;TB931 文獻標志碼：A 文章編號：1674-5124（2019）09-0001-05

收稿日期：2019-02-21;收到修改稿日期：2019-04-25

基金項目：國家自然科學基金（61574131）;四川省教育廳資助科研項目（17ZA0402）

作者簡介：高楊（1972-），男，四川綿陽市人，研究員，博士，研究方向為MEMS（微電子機械系統(tǒng)）。

0 引言

隨著移動通信技術(shù)的發(fā)展，薄膜體聲波諧振器（thin film bulk acoustic wave resonator，F(xiàn)BAR）便以其高Q值、小體積、可集成化等特點，在射頻濾波器應用中得到了飛速發(fā)展。在傳感檢測應用中FBAR也表現(xiàn)出了很大的潛力[1]，比如生物化學檢測[2-3]、力學檢測[4-5]。用于生物化學檢測的FBAR傳感器依賴于FBAR的質(zhì)量負載效應，其靈敏度的預測方法由Sauerbrey方程[6]給出。FBAR力學傳感器目前主要采用實驗測試[4，7-9]的方法，其敏感機理并未被深入研究，且靈敏度的預測方法報道較少。1996年Kosinski[10]在研究晶體諧振器由加速度導致的頻率偏移時，將其敏感機理總結(jié)為波速的變化和結(jié)構(gòu)尺寸的變化，前者主要是壓電體非線性彈性行為，后者主要是線性機械行為。2005年Weber等[11]對FBAR的敏感機理進行進一步探索，涉及壓電薄膜厚度的變化、壓電薄膜密度的變化和壓電薄膜彈性常數(shù)的變化。2007年Campanella等[12]提出FBAR的敏感機理可能是電極化效應。2017年趙俊武[13]總結(jié)了FBAR力傳感器的敏感機理為FBAR的幾何結(jié)構(gòu)的改變和FBAR材料性質(zhì)的改變，并類比于質(zhì)量負載效應，將FBAR在受到外界應力或應變作用時諧振頻率發(fā)生偏移的現(xiàn)象命名為應力負載效應。2018年文獻[14]驗證了在應力負載效應中，電極化效應對諧振頻率的影響是可以忽略的。在FBAR應力負載效應中主要是聲速的變化，而聲速的變化主要是由壓電薄膜彈性常數(shù)的變化引起的。壓電薄膜彈性常數(shù)的變化是非線性彈性行為，可以通過攝動積分公式來描述。

本文利用攝動與有限元聯(lián)合求解的方法，計算了文獻[7]報道的一種FBAR微加速度計的頻率靈敏度，并將計算結(jié)果與文獻報道的實驗結(jié)果對比，驗證了該方法的可行性。

1 方法

1.1 攝動積分法

1978年Tiersten[15]給出了攝動積分公式，并利用該公式研究了溫度對諧振器的影響[16-17]。之后Kosinski[18]將攝動與結(jié)構(gòu)理論相結(jié)合，研究了石英晶體諧振器的加速度靈敏度。攝動法是擾動介質(zhì)的非線性模型和彈性波機械性質(zhì)變分分析的結(jié)合[19]，對于純彈性非線性的案例：式（1）ω和ω_μ分別為擾動后和擾動前壓電諧振器的諧振角頻率，△_μ表示諧振角頻率的變化，下標μ表示第μ個特征模態(tài)。式（2）H_μ的娜由式（3）給出。式（3）給出的積分公式看起來很復雜，但本質(zhì)上可以理解為：H_μ表示諧振器在振動模態(tài)下隨空間變化的有效彈性常數(shù)的加權(quán)平均值，其權(quán)重因子由振動模態(tài)的振型決定。g_γ^μ表示對振動模態(tài)下實際位移u_γ^μ的歸一化振型，壓電體的體積為v上標p同樣表示第μ個特征模態(tài)。cc_LγMα被稱為彈性常數(shù)的偏置系數(shù)，△c_LγMα為由偏場引起的彈性常數(shù)線性變化。式（4）N_μ飾為位移的歸一化系數(shù)。式（5）中ρ₀為壓電體的密度。式（6）中c_LγJM和c_LJMα分別為二階彈性勁度常數(shù)的不同分量（除非特別指出，后文將彈性勁度常數(shù)簡稱為彈性常數(shù)），C_LγMαAB為三階彈性常數(shù)，s_αJKN、s_γJKN和SABKN分別為二階彈性順度常數(shù)的不同分量，δ_γα為Kronecker張量，T_KN¹表示壓電體受到擾動從而產(chǎn)生的靜態(tài)偏置應力。

若偏置應力T_KN¹在壓電體內(nèi)分布是均勻的，可設材料輔因子k_LγMαKN和振動模態(tài)因子U_LγMα分別為：

最后得到由擾動引起的相對頻率偏移△μ/ωμ：

因此諧振器頻率一偏置應力靈敏度Γ_KN可以寫為

Γ_KN=k_LγMαKNU_LγMα（11）

1.2 攝動與有限元的聯(lián)合求解

當FBAR傳感器受外界載荷時，F(xiàn)BAR受限于安裝結(jié)構(gòu)而發(fā)生變形，此時FBAR內(nèi)產(chǎn)生偏置應力，而偏置應力的存在會導致壓電薄膜的彈性常數(shù)變化。一階攝動積分公式有效地將含擾動影響的復雜特征值問題式分解為兩個相對簡單的問題：求解擾動的應力偏置和求解無擾動時的振動問題。因此，采用攝動與有限元聯(lián)合求解FBAR諧振頻率偏移，有限元軟件使用COMSOL Multiphysics軟件，具體步驟如下：

1）求解FBAR結(jié)構(gòu)的偏置應力。在COMSOL中建立FBAR傳感器的結(jié)構(gòu)模型，加載外界載荷并利用穩(wěn)態(tài)分析，得到FBAR結(jié)構(gòu)的偏置應力分布云圖。定義壓應力為正，拉應力為負。外界載荷可以是加速度、壓力或溫度。

2）計算FBAR壓電層的平均偏置應力。采用平均偏置應力可以簡化計算，利用COMSOL中的體平均求解壓電層的平均偏置應力，并擬合出外界載荷與平均偏置應力的關系式。

3）求解FBAR的特征模態(tài)和特征頻率。一般FBAR傳感器結(jié)構(gòu)較為復雜，為簡化計算，可以建立單個FBAR的結(jié)構(gòu)模型，結(jié)構(gòu)、尺寸和邊界條件均與傳感器中保持一致，定義FBAR壓電層為積分域，使用特征頻率分析，得到FBAR縱波模式所對應的特征頻率和相應的振型，并計算振動模態(tài)因子U_LγMα。

4）計算頻率一偏置應力靈敏度。根據(jù)壓電層的彈性常數(shù)和平均偏置應力的方向，利用壓電材料（AIN）彈性常數(shù)與應力的關系，得到的值，并計算材料輔因子k_LγMαKN。

5）計算FBAR傳感器的頻率靈敏度。將振動模態(tài)因子和材料輔因子代入式（11）中，得到FBAR的頻率靈敏度，再利用擬合的外界載荷一平均偏置應力的關系式，得到FBAR傳感器頻率一外界載荷的靈敏度。

2 案例計算

本算例的結(jié)構(gòu)模型來自于文獻[7]報道的一種FBAR微加速度計。文獻并沒有給出FBAR微加速度計的全部結(jié)構(gòu)參數(shù)，只給出了電極Pt的厚度為0.18μm，壓電層厚度為0.7～1μm，F(xiàn)BAR的面積為20×100μm²，諧振頻率約為2.7GHz，因此需要通過文獻中的掃描電鏡照片（SEM）估計FBAR微加速度計的其他結(jié)構(gòu)參數(shù)。FBAR微加速度計的結(jié)構(gòu)及尺寸如圖1所示，F(xiàn)BAR壓電層的厚度為0.7μm，4個支撐梁上的FBAR（底電極Pt-壓電層AIN-頂電極Pt）的厚度均為1.06μm。計算過程中所涉及的材料參數(shù)如表1所示，AIN的三階彈性常數(shù)[20]如表2所示，表中與后面的計算均使用縮寫下標表示。AIN共有10個獨立的三階彈性常數(shù)，其他三階彈性常數(shù)均可通過對稱關系[21]得到。

在COMSOL軟件中建立FBAR微加速度計的三維模型，并使用固體力學接口。支撐梁一端連接質(zhì)量塊，另一端固定，加速度a₃沿z軸負方向作用于質(zhì)量塊。利用穩(wěn)態(tài)分析，計算加速度a₃與FBAR偏置應力的關系。當加速度a₃=1g（9.8m/s²）時，F(xiàn)BAR的偏置應力（von Mises應力）分布云圖如圖2所示，圖中紅色虛線框內(nèi)FBAR部分為有源區(qū)，在有源區(qū)內(nèi)偏置應力分布均勻，紅色箭頭表示主應力方向，即有源區(qū)內(nèi)偏置應力主要為沿x軸方向的拉應力。其他方向（沿y軸方向和沿z軸方向）的應力遠小于沿x軸方向的應力，因此可以忽略。利用穩(wěn)態(tài)分析中的參數(shù)化掃描，計算不同加速度下FBAR的偏置應力。再利用體平均，得到有源區(qū)內(nèi)壓電層（AIN）沿x軸方向的平均偏置應T₁¹（Pa）與加速度a₃（g）的關系，如圖3所示。其擬合關系式為：

T₁¹=432.47×10³×a₃（12）

接下來需要計算FBAR的諧振頻率和相應的振型，為簡化計算，只需要在COMSOL中建立單個FBAR的三維模型，其結(jié)構(gòu)、尺寸和邊界條件均與微加速度計中FBAR保持一致。利用COMSOL中的特征頻率分析求解FBAR的諧振頻率及其相對應的振型，F(xiàn)BAR的厚度拉伸模態(tài)（縱波模式）的振型如圖4所示，其諧振頻率約為2.3634GHz。定義FBAR有源區(qū)內(nèi)的壓電層為積分域，利用體積分計算振動模態(tài)因子。由于主要考慮的是縱波模式，因此只需要計算振動模態(tài)因子U₃₃=0.01648ppm/kPa。

然后利用AIN的二階彈性常數(shù)，計算得到彈性順度常數(shù)s_ABLM。當加速度沿z軸方向作用于微加速度計時，F(xiàn)BAR產(chǎn)生的偏置應力主要是沿x軸方向的拉應力，因此平均偏置應力為沿x軸方向的拉應力T₁¹。利用表3中AIN單軸應力P_/與彈性常數(shù)c₃₃的關系[22]得到。將上述計算結(jié)果代入式（8）中，得到FBAR在縱波模式下受沿x軸方向的平均偏置應力T₁¹時，材料輔因子k₃₃₁=-5.87。

最后將振動模態(tài)因子U₃₃和材料輔因子k₃₃₁代入式（11）中，并利用平均偏置應T₁¹叫與加速度a₃的擬合式，得到FBRA頻率-加速度靈敏度約為-98.879kHz/g。負號表示諧振頻率向下漂移。而文獻[7]中微加速度計受到沿z軸負方向的加速度時，F(xiàn)BAR的諧振頻率向下偏移。按本文的符號規(guī)定，文獻[7]報道的實驗測試結(jié)果應為-100kHz/g。本文計算結(jié)果與文獻報道的實驗測試結(jié)果一致。

3 結(jié)束語

本文提出一種攝動與有限元聯(lián)合求解的方法，結(jié)合FBAR微加速度的案例，預測了FBAR受到加速度時的頻率偏移。首先利用COMSOL中的穩(wěn)態(tài)分析，求解FBAR微加速度計在受到沿z軸負方向的加速度時FBAR的偏置應力。再利用體平均得到壓電層AIN的平均偏置應力，并建立平均偏置應力與加速度的擬合關系式。之后利用COMSOL中的特征頻率分析，單獨求解FBAR的諧振頻率和相應的振型，并利用體積分計算振動模態(tài)因子。接著根據(jù)AIN平均偏置應力的方向，利用AIN彈性常數(shù)與應力的關系，計算材料輔因子。最后將振動模態(tài)因子和材料輔因子代入攝動積分公式，利用平均偏置應力與加速度的擬合關系式，得到FBAR微加速度計的頻率-加速度靈敏度約為-98.879kHz/g，與文獻報道的頻率-加速度靈敏度-100kHz/g吻合，驗證了攝動與有限元聯(lián)合求解方法的可行性。

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（編輯：李剛）