王翠香

[摘要]線性代數(shù)是理工科院校一門(mén)重要的公共基礎(chǔ)課，其知識(shí)體系采用的是公理化結(jié)構(gòu)，概念抽象、題目靈活多變。作者從本課程的特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐總結(jié)了在教學(xué)過(guò)程中一些常見(jiàn)的問(wèn)題以及解決方法。

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù);教學(xué);矩陣

[中圖分類(lèi)號(hào)]G642[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]2095-3437（2019）11-0091-03

線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)中一門(mén)重要的公共基礎(chǔ)課，由于該課程的課時(shí)少，教材內(nèi)容比較抽象且應(yīng)用實(shí)例偏少，造成學(xué)生常常感到學(xué)習(xí)線性代數(shù)掌握得不牢固，在后續(xù)的專(zhuān)業(yè)課學(xué)習(xí)中不能學(xué)以致用。對(duì)于這個(gè)普遍存在的問(wèn)題，解決的關(guān)鍵是要讓學(xué)生能由淺人深、扎扎實(shí)實(shí)地掌握線性代數(shù)的基本理論和基本方法。近十年來(lái)筆者連續(xù)承擔(dān)我校本科生線性代數(shù)的教學(xué)工作，深感這門(mén)課在培養(yǎng)學(xué)生基本能力方面大有可為，尤其在學(xué)生的自學(xué)能力，分析、綜合、概括能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練方面有許多工作可以做。

線性代數(shù)除具有高等數(shù)學(xué)的共性之外，其“個(gè)性”非常鮮明，數(shù)學(xué)中有幾對(duì)矛盾在這門(mén)學(xué)科中表現(xiàn)得尤為突出：

1.具體與抽象。線性代數(shù)運(yùn)用所謂公理化的方法研究，即把數(shù)學(xué)對(duì)象歸類(lèi)，從不同質(zhì)的具體事物或過(guò)程中抽取共同的量的關(guān)系，作為最基本的公理、性質(zhì)，再采用統(tǒng)一的觀點(diǎn)與方法，進(jìn)行演繹和推理等等，揭示和研究其性質(zhì)。例如向量空間這個(gè)概念，就是從大量實(shí)例中抽象出來(lái)的?？梢哉f(shuō)抽象程度越高，則概括程度越強(qiáng)，適用范圍就越廣，但也就越不易理解和掌握，必須從具體實(shí)例中去把握它，并且飛躍到理性認(rèn)識(shí)水平。

2.特殊與一般。我們認(rèn)識(shí)事物總是由認(rèn)識(shí)個(gè)別和特殊的事物，逐步擴(kuò)大到認(rèn)識(shí)一般的事物，線性代數(shù)也不例外。對(duì)于解析幾何中二次曲線、二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)形的研究問(wèn)題，抽象到n維空間就是線性代數(shù)的二次型理論，二、三階行列式是n階行列式的特殊情況。

3.計(jì)算與論證。線性代數(shù)的計(jì)算主要集中在行列式求值、矩陣的初等變換，法則雖然只有幾條，其方法好壞卻具有很強(qiáng)的技巧性;而線性代數(shù)的論證要用的比較抽象的概念，如線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)，盡管定義并不復(fù)雜，但初學(xué)者仍覺(jué)難于掌握和運(yùn)用。

由于線性代數(shù)所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，以及從具體概念抽象出來(lái)的公理化體系，所以該課程的定義、定理特別多，邏輯推理證明貫徹始終，而且靈活多變，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)有一定難度。在學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生對(duì)基本原理、基本方法的掌握常出現(xiàn)在以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：

首先，對(duì)課程的基本概念掌握不確切，理解不深入。與高等數(shù)學(xué)側(cè)重于計(jì)算不同，公理化的體系結(jié)構(gòu)使線性代數(shù)的定義比較多，學(xué)生如果不及時(shí)梳理、記憶，會(huì)導(dǎo)致概念混淆、結(jié)論不清，這是在教學(xué)過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)的情況;另外有些情況下即使記住了結(jié)論，但不能深刻理解其意義，仍然會(huì)出現(xiàn)不少錯(cuò)誤概念。例如矩陣A是非零的，即A≠0，與方陣的行列式lAI≠O分不清，矩陣的初等變換與行列式的某些性質(zhì)分不清等。

其次，學(xué)生容易受已有知識(shí)負(fù)遷移的影響，出現(xiàn)不少想當(dāng)然的結(jié)論。例如實(shí)數(shù)的運(yùn)算滿(mǎn)足交換律：對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，有ab= ba成立;滿(mǎn)足消去律，即若數(shù)a≠0，且a6=ac，則有b=c。而在矩陣運(yùn)算中，一般情況下矩陣的交換律和消去律不成立。又如，若A、B為可逆方陣，誤認(rèn)為（A+B）-1=A-1+ B-1，lA+ BI=IAI+IBI成立。

最后，邏輯思維混亂，正命題、逆命題、否命題、逆否命題分不清。如相似方陣有相同的特征值作為定理已證明過(guò)是正確的，但逆命題一般不成立，有些學(xué)生搞不清，常誤認(rèn)為。

針對(duì)以上情況，為了幫助學(xué)生較好地掌握線性代數(shù)課程的基本內(nèi)容，就要啟發(fā)學(xué)生積極思考，想辦法調(diào)動(dòng)起學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性，先啟發(fā)他們會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，再引導(dǎo)他們學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。為此教師必須課上課下精心安排，充分利用每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

成功的線性代數(shù)教學(xué)，不單純是貫徹教學(xué)大綱中規(guī)定的教學(xué)要求，更重要的是通過(guò)基本知識(shí)、理論、方法的傳授，提高學(xué)生的基本能力，如學(xué)會(huì)讀書(shū)、學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。總之要訓(xùn)練、提高學(xué)生的邏輯思維、邏輯推理能力。在教學(xué)實(shí)踐中，我們注意做了以下方面的工作。

一、在課堂中貫徹啟發(fā)式教學(xué)

講數(shù)學(xué)課不易做到語(yǔ)言生動(dòng)、引人人勝，但可以以思路清晰、語(yǔ)言簡(jiǎn)練、不斷提出問(wèn)題，用不斷解決問(wèn)題而吸引學(xué)生注意力，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考。重要的概念一定要講準(zhǔn)確、講透徹。如講“矩陣的秩”這個(gè)概念時(shí)，先給出“不為零的子式的最高階數(shù)”的定義，而后又提出：“矩陣A中至少有一個(gè)r階子式不為零，而所有的r+l階子式全為零，稱(chēng)矩陣A的秩為r”這個(gè)定義，兩者是否一致？為什么？教師主動(dòng)提出問(wèn)題讓學(xué)生考慮，促使學(xué)生加深理解概念，后面又陸續(xù)介紹矩陣的行秩、列秩，這幾種定義刻畫(huà)的是同一概念，目的是為后面論證與矩陣秩有關(guān)的命題時(shí)運(yùn)用。向量組的極大無(wú)關(guān)組、實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的分類(lèi)定義也有類(lèi)似情況。

對(duì)于容易混淆誤解的概念，可以及時(shí)提示或者布置一些思考題，讓學(xué)生思考、辨析。如布置思考題：“兩個(gè)矩陣等價(jià)”與“兩個(gè)向量組等價(jià)”是否是一回事？有何區(qū)別？有何聯(lián)系？讓學(xué)生課下思考討論，并利用答疑時(shí)間，指定犯有此錯(cuò)誤的同學(xué)前來(lái)質(zhì)疑，幫助學(xué)生搞清概念。

線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)是線性代數(shù)中最重要、也是最抽象的概念之一。在講解這兩個(gè)概念時(shí)，可以借助于兩個(gè)向量共線與不共線、三個(gè)向量共面與不共面的幾何意義來(lái)引入，便于學(xué)生理解概念的本質(zhì)意義。在講解“線性組合”、“線性相關(guān)”的定義時(shí)，對(duì)存在的“任意常數(shù)”有不同要求，及時(shí)提醒學(xué)生注意，并在后面的授課中，不斷地提醒學(xué)生。

求矩陣的特征值與特征向量是線性代數(shù)一類(lèi)常見(jiàn)的題目類(lèi)型，因?yàn)樵撨^(guò)程有固定的程序步驟，單從計(jì)算的角度來(lái)看難度不大，大多數(shù)學(xué)生易于掌握。在教學(xué)過(guò)程中教師要提示學(xué)生不要僅限于求出結(jié)果，還要分析結(jié)果中蘊(yùn)含的相對(duì)應(yīng)的線性變換的幾何意義，通過(guò)這樣的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生對(duì)概念的理解提高一個(gè)層次，掌握特征值與特征向量的精髓所在。

二、善于提出問(wèn)題，及時(shí)歸納總結(jié)

線性代數(shù)的授課時(shí)數(shù)有限，不可能什么問(wèn)題都指望在課堂上搞得一清二楚。為了擴(kuò)大課堂教學(xué)的效果，適時(shí)的布置一些課后思考題也是很有必要的。除了教材中已有的一些思考題外，還可以收集編寫(xiě)部分思考題結(jié)合教學(xué)使用。如在講解向量組的線性相關(guān)性?xún)?nèi)容時(shí)，有一系列的定義及定理要在6學(xué)時(shí)內(nèi)全部介紹完，有不少學(xué)生感到應(yīng)接不暇。出現(xiàn)這種情況就要采取一些措施：一是要向?qū)W生說(shuō)明這部分內(nèi)容是難點(diǎn)，讓學(xué)生精力集中聽(tīng)講;二是強(qiáng)調(diào)每次課后都要及時(shí)認(rèn)真復(fù)習(xí)，并從第二次課開(kāi)始布置思考題：到目前為止判斷向量組的線性相關(guān)性有哪些方法？隨著內(nèi)容的講解辦法逐漸增多，如果學(xué)時(shí)允許教師可以給出一個(gè)示范小結(jié)，幫助學(xué)生將所學(xué)知識(shí)條理化便于記憶、應(yīng)用，另一方面起示范作用。并鼓勵(lì)學(xué)生自己小結(jié)成文，教師可幫助其修改完善。

線性代數(shù)的第一章是行列式，關(guān)于行列式的性質(zhì)一般教科書(shū)都會(huì)列出十幾個(gè)，這些性質(zhì)中最基本的性質(zhì)其實(shí)只有4個(gè)，即（1）行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等;（2）互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào);（3）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式;（4）若行列式的某一行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則行列式可拆成兩個(gè)行列式之和。

還有一條是行列式計(jì)算中經(jīng)常用到的性質(zhì)，即（5）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。

所以關(guān)于行列式的性質(zhì)只要掌握以上5條性質(zhì)并結(jié)合起來(lái)運(yùn)用即可。

在線性代數(shù)講到后面幾章時(shí)，新概念、新理論增多，這時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生注意新舊知識(shí)的聯(lián)系，對(duì)比、歸納、小結(jié)，以“舊”促“新”，加深對(duì)新知識(shí)的理解與對(duì)舊知識(shí)的記憶。如在講完“方陣的行列式與其特征值的關(guān)系”的定理后，可以布置思考題：“方陣可逆的充要條件有哪些？”，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出以下8個(gè)矩陣可逆的等價(jià)命題：

（1）矩陣A可逆;

（2）lAl≠0;

（3）A是滿(mǎn)秩矩陣;

（4）A是非奇異矩陣;

（5）A是非退化矩陣;

（6）A=P1P2，…PL其中Pi（1≤i≤L）為初等矩陣;

（7）A—E，其中E為單位矩陣;

（8）A的特征值均不為零。

以上幾個(gè)命題從不同的角度刻畫(huà)了矩陣的可逆性，可以幫助學(xué)生系統(tǒng)地掌握所學(xué)知識(shí)。

又如在講完相似方陣有相同的特征值時(shí)強(qiáng)調(diào)，逆命題不一定成立，同時(shí)提出第一個(gè)問(wèn)題“若同階方陣A、B不但有相同的特征值，而且特征值全是單根時(shí)，問(wèn)A與B是否相似？”，以及第二個(gè)問(wèn)題“A與B皆為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣，它們又有相同的特征值，問(wèn)A與B是否相似？”

在講完線性變換概念后，可提出思考題：前面幾章介紹的初等變換，相似變換，合同變換是否是線性變換？等等。

三、精選習(xí)題，合理安排習(xí)題課

為了使學(xué)生鞏固所學(xué)的知識(shí)，包括基本概念、基本計(jì)算、基本證法，提高學(xué)生的解題能力，除教材中配置的習(xí)題外，還需要適當(dāng)增加一些配套的習(xí)題。習(xí)題的選擇要略高于教材題目的典型例子，分析解題的思路方法，啟發(fā)學(xué)生針對(duì)題目類(lèi)型，在學(xué)會(huì)常用解法的基礎(chǔ)上做到舉一反三。

如在學(xué)完方陣的特征值、特征向量之后，布置習(xí)題：求方陣A=的特征值和特征向量，使學(xué)生又有機(jī)會(huì)重溫了n階行列式的計(jì)算。在學(xué)完矩陣相似概念后，布置以下習(xí)題：求一切只與自己相似的方陣。通過(guò)做這個(gè)題，可以使同學(xué)又復(fù)習(xí)了一種基本證法：在已知條件中出現(xiàn)“一切……如何，如何”，這“一切”就取“特殊”的這樣一種基本技巧。

又如在學(xué)完相似概念后，可布置習(xí)題：（1）證明正定矩陣為正交陣的充要條件是它必是單位陣;（2）如果A、B是同階正定陣，證明乘積AB仍是正定陣的充要條件是AB= BA。其中第（1）題是基本證明題，不用特殊的技巧，但它用到了線性代數(shù)的第三、四、五章有關(guān)概念及重要結(jié)論;第（2）題屬于靈活運(yùn)用正定陣的性質(zhì)的習(xí)題，有一定難度，可作為選作題或習(xí)題課的例題。此題除介紹證法外，可與兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)陣相乘仍為實(shí)對(duì)稱(chēng)陣的充要條件也是乘積可交換這一命題前后呼應(yīng)。

習(xí)題課的內(nèi)容一般根據(jù)學(xué)生對(duì)某一段內(nèi)容掌握情況而靈活安排，可以講評(píng)作業(yè)中出現(xiàn)的問(wèn)題，尤其是出示本班學(xué)生作業(yè)中的典型錯(cuò)誤來(lái)教育學(xué)生自己的方法效果更好;或者通過(guò)舉例，及時(shí)總結(jié)解題的思路，幫助學(xué)生掌握某一類(lèi)證明題的基本方法;再者可以安排做一些綜合練習(xí)。為了訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，課上選出一題，讓學(xué)生提出各種解法，或用盡可能多的方法解某題，期中測(cè)驗(yàn)的試卷分析，也是一種生動(dòng)的正反面教材。

還需要注意的是，批改作業(yè)要認(rèn)真仔細(xì)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方都要明確標(biāo)出，必要時(shí)加一些批注，指出其解題中產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，或提出有關(guān)問(wèn)題讓學(xué)生思考。有時(shí)雖然做法沒(méi)錯(cuò)，但方法不好也要給予指出。

四、加強(qiáng)線性代數(shù)應(yīng)用舉例

在理論上線性代數(shù)具有較高的概括性與抽象性，它的內(nèi)容、觀點(diǎn)和方法應(yīng)用也非常廣泛。

以矩陣為例，它不僅是高等數(shù)學(xué)各分支不可缺少的工具，矩陣方法在實(shí)際問(wèn)題中也是非常有力的武器。從線性變換的角度，微分算子、積分算子都是一種線性變換，利用線性變換的有關(guān)運(yùn)算，常微分方程組就變?yōu)榱司仃嚪匠?有些偏微分方程組可用差分法變成線性方程組用矩陣求解;在電路設(shè)計(jì)與分析中和研究力學(xué)體系微小振動(dòng)時(shí)，矩陣都是不可或缺的工具;在規(guī)劃論、對(duì)策論、排隊(duì)論、和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等運(yùn)籌學(xué)科和隨機(jī)類(lèi)學(xué)科中，矩陣的應(yīng)用更為普遍;在其他邊緣學(xué)科，如控制理論、信息論以及經(jīng)濟(jì)社會(huì)學(xué)科中，矩陣也不乏其應(yīng)用。

二次型理論源于解析幾何中二次曲線、二次曲面化標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題，也有很廣泛的應(yīng)用。例如正定二次型用于定義多元統(tǒng)計(jì)分析中的多元正態(tài)分布，正定二次型的定理可給出熱力學(xué)中系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定條件，半正定二次型與概率論的協(xié)方差矩陣對(duì)應(yīng)等等。

在線性代數(shù)的教學(xué)中引入其在不同領(lǐng)域應(yīng)用的實(shí)例教學(xué)，不僅會(huì)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)教會(huì)學(xué)生懂得應(yīng)用、善于應(yīng)用，與學(xué)好線性代數(shù)理論是相互促進(jìn)的。

五、結(jié)束語(yǔ)

在理工科大學(xué)數(shù)學(xué)的公共基礎(chǔ)課中，線性代數(shù)的內(nèi)容抽象、課時(shí)最少，要在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)，讓學(xué)生充分掌握課程的內(nèi)容，尤其是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中矩陣這個(gè)重要工具，需要教師從本課程的特點(diǎn)出發(fā)，在教學(xué)中不限于傳授知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，為學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)后繼課程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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[責(zé)任編輯：林志恒]