張曉霞

摘要：數(shù)學概念是人類思維創(chuàng)造的抽象實體。直覺主義哲學特別強調人的直覺對數(shù)學概念的作用，認為“純粹直觀”是數(shù)學概念產生的基本依據(jù)。以“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”的教學為例，讓學生在純粹感知過程中實現(xiàn)對公倍數(shù)和最小公倍數(shù)概念的構造，精準回歸倍數(shù)和因數(shù)作為“數(shù)”的身份特質，抓住它們表征數(shù)與數(shù)之間的“關系”實施教學，是促使小學生理解、掌握和運用數(shù)學概念的關鍵。

關鍵詞：直覺體悟;數(shù)學概念;小學數(shù)學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2019）10B-0029-04

一、研究緣起

直覺主義哲學認為數(shù)學必須依靠原始直覺，只有在“純粹直觀”里，人類才能先天、具體地把一切概念構造出來。[1]蘇教版小學數(shù)學五年級下冊“因數(shù)與倍數(shù)”單元的學習屬于初等數(shù)論的范疇，學生在學習本單元概念時存在一定的困難，主要原因是：第一，概念抽象，在學生看來“差不多”的概念比較多;第二，概念間的聯(lián)系非常密切，學生理解和把握概念間的“邏輯”關系有困難;第三，學生很難在實際生活中找到表征概念的模型，“聯(lián)系生活實際”學習數(shù)學的路走不通了;第四，由于專業(yè)知識儲備不足，教師“講不清楚”導致學生理解困難。筆者思考，要使學生能深c刻理解概念，正確把握概念之間的關系，教學時應該側重體悟性的分析與計算，避免純粹邏輯的演繹推理?；诖?，讓學生在直覺主義理論指導下，經歷公倍數(shù)和最小公倍數(shù)概念的構造過程，精準回歸倍數(shù)和因數(shù)作為“數(shù)”的身份特質，抓住它們表征數(shù)與數(shù)之間的“關系”的功能進行教學，讓學生在不斷體驗中找準思考的著力點，不失為一條促使學生理解、掌握和運用概念的新路徑。

二、實施準備

在數(shù)學概念的形成與發(fā)展中，人類的直覺起著至關重要的作用。直覺主義哲學高度重視“直覺”和“個人思維”在概念形成中的作用[2]，擯棄邏輯主義與形式主義對已有數(shù)學成果的“靜態(tài)的”分析與“形式化”處理，認為攀附于語言的邏輯與形式化方法不能成為數(shù)學概念的基礎。相反，數(shù)學是心靈的創(chuàng)造，是一種自由的思維活動[3]。據(jù)此，我們不難發(fā)現(xiàn)，“直覺體悟”指從具體、不同質的數(shù)的特征中構造出抽象的數(shù)學概念，它意味著數(shù)學概念需要建立在一種非經驗主義的傳統(tǒng)之上[4]。直覺主義學派認為只有通過直觀感知，人類才得以認識到先天的數(shù)學概念。直覺主義哲學觀使得在概念教學中，“讓學生通過感性的直觀體悟以認識先天的數(shù)學知識與概念”成為可能。下面，就以蘇教版五年級下冊“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”一課的教學為例，闡述“直覺體悟”貫穿數(shù)學概念教學的實施過程，以真正實現(xiàn)數(shù)學概念的被構造。

（一）直覺體悟目標的研制

有人說，數(shù)論是數(shù)學中的皇后。這句話揭示了數(shù)論知識在數(shù)學理論中的“原理”性的地位。讓五年級的學生弄懂原理性概念并學會“數(shù)學地思維”，教學的目標定位很重要。直覺主義哲學觀對學生數(shù)學學習在教學法方面最突出的指導意義是在讓學生自己構造概念并在此過程中理解概念存在的意義和價值。因此，直覺主義指導下的學習目標研制就必須體現(xiàn)過程性、建構性。筆者認為，小學階段學數(shù)論，就是要讓學生在具體的情境中“論數(shù)”，論一論數(shù)的特點、構成、作用，論一論數(shù)與數(shù)之間的關系。以“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”一課的教學為例，教學目標就可作如下定位：（1）讓學生在游戲中構造公倍數(shù)和最小公倍數(shù)概念，探索找公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的一般方法。（2）在觀察、比較、概括和抽象等數(shù)學活動中體悟數(shù)的特征。（3）在知識的溝通聯(lián)結中體會數(shù)學是無限的科學。重點：構造公倍數(shù)和最小公倍數(shù)概念，體會公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的特點。

（二）直覺體悟方法的應用

如前所述，直覺主義指導下的學生數(shù)學學習方法是構造和體悟。做好概念教學的選材立序工作，是幫助學生順利實現(xiàn)概念構造的基礎工程。蘇教版“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”教材首先讓學生通過“鋪滿”正方形的活動體會公倍數(shù)的意義，再讓學生掌握通過列舉倍數(shù)確定公倍數(shù)的方法。筆者思考：“鋪滿”正方形的操作活動和前面“公因數(shù)與最大公因數(shù)”的“分完”正方形的操作活動看似相同，其實不同，舊有的活動經驗對本節(jié)課的操作活動無疑會產生干擾（就筆者多年的課堂觀察發(fā)現(xiàn)，學生始終分不清“剛好分完”和“剛好鋪滿”這兩種操作活動背后對應的數(shù)學原理），這是其一。其二，曹培英先生指出，有一些數(shù)學知識適合先從現(xiàn)實原型引入，然后從數(shù)學內部揭示生成該知識的原動力;也有些數(shù)學知識適合先在數(shù)學范圍內討論，然后應用于解決實際問題。例如，兩個數(shù)的公因數(shù)和公倍數(shù)以及解方程等。[5]確實，教學實踐表明從數(shù)學外部的現(xiàn)實情境引入公倍數(shù)和最小公倍數(shù)概念，學生從實際問題抽象出數(shù)學模型的難度很大。第三，數(shù)論是“純粹數(shù)學”，“純粹數(shù)學”如何避免抽象和枯燥，讓學生親近和喜歡？筆者以直覺主義數(shù)學哲學為理論指導，追溯數(shù)論知識的起源，設計以游戲的方式激發(fā)學生學習的樂趣，在游戲中自然地認識公倍數(shù)和最小公倍數(shù)，體會它們的特點，通過“游戲升級”實現(xiàn)“分散難點，各個擊破”，取得了很好的教學效果。

三、策略分析

（一）以經歷“構造概念”的過程為依托

直覺主義認為，只有基于主觀直覺的或心智上的可構造性，數(shù)學概念和數(shù)學推理才能十分清楚地呈現(xiàn)在我們面前。直覺主義把人類的數(shù)學創(chuàng)造性活動分為不可分離的兩個階段，即原始直覺和從原始直覺出發(fā)的構造。

1.喚醒“原始直覺”

直覺主義認為數(shù)學學習的過程就是“借助構造一個實體，去構造另一個，再另一個”的過程;這種構造最重要的構件是一個清晰直觀的概念。以公倍數(shù)和最小公倍數(shù)為例，它的構件就是“倍數(shù)”的概念。因此，教師在教學中首先就要幫助學生找到“構件”。

（1）微視頻播放“跳格子”游戲：每個學生按抽到的指令（如，我每次跳2格）“跳格子”并用筆圈出棋子經過的數(shù)。

（2）學生游戲后組織交流：

①仔細看看你在棋盤上圈出的數(shù)，有什么發(fā)現(xiàn)？（如下圖）為什么？

②其他同學圈出的數(shù)和所跳的格數(shù)之間是不是“倍數(shù)”關系？

2.構造新的“對偶”

直覺主義認為，數(shù)學構造行為是理性的一種直覺能力：人們在認識了當下的事物后，經過一段時間，注意力聚焦到另一事物上，即在已經完成構造①的基礎上，人們重新獲取新的知識，完成構造②，①和②在認識領域里就形成了一個原始對偶。當人們在時空中不斷重復這種構造行為時，可以進一步獲得新的“對偶”。以公倍數(shù)和最小公倍數(shù)為例，教師在喚醒學生已有的倍數(shù)概念的基礎上，先行組織學生觀察、比較自己與他人棋盤的差異，實現(xiàn)學生從“倍數(shù)”到“公倍數(shù)”概念的初步構造;接著組織“尋找公倍數(shù)”的認知活動，實現(xiàn)學生對“公倍數(shù)”的再次構造;再組織學生觀察“公倍數(shù)之間的關系”“創(chuàng)造公倍數(shù)隊伍”“改造公倍數(shù)隊伍”等活動，實現(xiàn)從“公倍數(shù)”到“最小公倍數(shù)”概念的構造。從倍數(shù)到公倍數(shù)，再到最小公倍數(shù)，學生在有序的認識活動中獲得了完整、清晰的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的概念。

（二）以體悟概念之間的“關聯(lián)性”為基礎

直覺主義認為數(shù)學概念來自“心靈的構造”，一個概念總是在原有概念的基礎上被構造出來，這也直接表明直覺主義認為數(shù)學對象之間密切聯(lián)系的直覺主義邏輯觀。在直覺主義哲學觀指導下的數(shù)學概念教學，必須讓學生充分體會概念的關聯(lián)性。

1.概念的意義關聯(lián)性

概念在意義上的關聯(lián)性是指盡管兩個概念包含的對象的數(shù)量不同，但它們在意義上是有聯(lián)系的。以公倍數(shù)和最小公倍數(shù)為例，教學中教師要讓學生體會到：公倍數(shù)和最小公倍數(shù)都是倍數(shù)，它們都表示兩個數(shù)倍數(shù)中重疊的部分。

2.概念的生長關聯(lián)性

概念的生長關聯(lián)性是指一個概念在另一個概念的基礎上發(fā)展、變化而來，有時，這兩個概念是包含關系，如：最小公倍數(shù)和公倍數(shù)、方程和等式，有時，還指一個概念是另一個概念產生的“副產品”，如：最簡分數(shù)之于約分、互質數(shù)之于公因數(shù)等等。以“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”為例，教學中教師讓學生體會到：（1）公倍數(shù)和最小公倍數(shù)都建立在倍數(shù)概念基礎上;（2）最小公倍數(shù)建立在公倍數(shù)概念基礎上，是概念從一般走向了特殊。怎樣把這樣枯燥復雜的關系生動有趣地呈現(xiàn)給學生，讓學生接受，甚而至于“喜歡”上它們呢？孩子是天生的游戲者，教學中可以通過設計目標明確的游戲活動，讓學生充分體會公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的特征。比如，初次游戲，觀察圈出的數(shù)的特點，喚醒倍數(shù)關系;再次游戲，找兩個棋盤里相同的數(shù)，感悟公倍數(shù)的“共性”;第三次游戲，通過猜學生所說的公倍數(shù)一詞“該怎么寫”，采訪“你怎么想到起這個名字”等等，促使學生把公因數(shù)和最大公因數(shù)的學習經驗主動地遷移過來，讓學生體會知識方法結構的關聯(lián)性;最后，觀察一列有序排列的公倍數(shù)，體會公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的倍數(shù)關系，讓學生體會到公倍數(shù)的敏感易變。通過這樣的數(shù)學活動，公倍數(shù)和最小公倍數(shù)就從一個個冰冷的數(shù)變成了有溫度、有生命活力的學生的“伙伴”了。

（三）以體悟概念外延的“無限性”為關鍵

讓我們先來看下面兩個教學片段：

片斷1：教師把兩份作業(yè)投影對比，如下圖

教師提出問題：

（1）比較這兩份作業(yè)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）公倍數(shù)的后面寫上省略號，什么意思？

（3）你怎么知道公倍數(shù)的個數(shù)是無限的？你能找出下一個嗎？

（4）假如兩個數(shù)的公倍數(shù)里有一個是10，你能寫出它們其他的公倍數(shù)嗎？

片斷2：出示一個由若干個完全相同的小長方形拼成的正方形棋盤，組織學生找正方形并交流：

（1）你怎么知道正方形的邊長是6厘米？你還能找出多大的正方形？

（2）這么多的正方形，我們說不完，看不盡，但是我們可以想得到。誰幫了我們的忙？

數(shù)學在很大程度上被定義為“無限的科學”。小學數(shù)學教學的一個重要目標，即是幫助學生逐步發(fā)展起無限的觀念。無限性是直覺的場所，直覺在學生建立對數(shù)學的潛無限認識的過程中發(fā)揮著巨大的作用。上述教學片段中，呈現(xiàn)兩份對比性作業(yè)，通過討論“省略號能不能加”的問題，讓學生體會公倍數(shù)有無數(shù)個;接著，通過“找正方形”的活動，在數(shù)形結合的思辨活動中充分發(fā)展了學生的想象力，讓他們在可重復的學習行為中“看到”并相信了無限。

（四）以體悟概念本體的“有用性”為目標

直覺主義盡管認為數(shù)學是心靈的創(chuàng)造，但它不否認新的數(shù)學概念的建立于人們進一步認識數(shù)學的積極作用。因此，教學中讓學生在觀察比較中體會數(shù)的“有用性”就是我們的課堂教學必須關注的目標之一。還以公倍數(shù)和最小公倍數(shù)為例，學習公倍數(shù)和最小公倍數(shù)到底有什么用？教學中，教師可以多組織充分的觀察、比較、思辨活動，讓學生體會公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的作用。比如，知道兩個數(shù)有公倍數(shù)10，讓學生猜其他的公倍數(shù)，討論會不會出現(xiàn)公倍數(shù)5，讓學生深刻體會認識學習最小公倍數(shù)的價值;再如，讓學生觀察“棋盤中有什么圖形？正方形的邊長為什么是6厘米？你看不到但能想得到的正方形還有哪些？比較公倍數(shù)和最小公倍數(shù)，你喜歡哪一個？為什么？……”讓學生充分體會公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的作用和價值。在此過程中，數(shù)形結合、極限等數(shù)學思想得到了滲透，還幫助學生充分體會到了“數(shù)學的自由創(chuàng)造和想象”，感受到了數(shù)學思維的力量。

在直覺主義哲學觀的指導下，通過豐富多樣的直觀體驗活動讓學生去構造概念，幫助學生實現(xiàn)對概念內涵的真理解，并在此過程中讓學生體會數(shù)學活動、領會數(shù)學思維、增強學習興趣、培育理性精神，是小學數(shù)學課堂教學的應有之義。

參考文獻：

[1]張景中.數(shù)學與哲學（典藏版）[M].北京：中國少年兒童出版社， 2011：82.

[2]馮棉.論數(shù)學哲學中的直覺主義思想[J].華東師范大學學報（哲學社會科學版）， 2002，34（7）：35.

[3]DR. L. E. J. Brouwer. Intuitionism and formalism[J]. Bulletin of the American Mathematical Society， 1999，37（1）：55.

[4]高劍，黃祖賓.數(shù)學哲學中的直覺主義[J].自然辯證法研究， 2013，29（12）：10.

[5]曹培英.跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學課程標準”核心詞的實踐解讀之八——模型思想（下）[J].小學數(shù)學教師， 2015（2）：6.

責任編輯：丁偉紅

Intuitive Perception： A New Path to Acquiring Concepts

ZHANG Xiaoxia

（Yancheng Tinghuxinqu Experimental Primary School， Yancheng 224001，China）

Abstract： ?The mathematical concept is the abstract entity of humans thinking creation. Intuitive philosophy particularly emphasizes the role of humans intuition in mathematic concepts and holds that pure intuition is the basic ground for the generation of mathematical concepts. Taking the teaching of common multiple and minimum common multiple as examples， teachers should help students construct the concepts in the process of perception with accurate regression of multiples and factors as the identity of “numbers”. Meanwhile， teachers should implement teaching by grasping the relationship between representative numbers and numbers， which is key in promoting students understanding， mastering and applying mathematical concepts.

Key words： ?intuitive perception; mathematical concept; primary school mathematics teaching