高慧明

一、函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題

例1 已知函數(shù)f（x） =lnx+a（1-x）。

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)f（x）有最大值，且最大值大于2a一2時(shí)，求a的取值范圍。

評注：利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖像、極值點(diǎn)、最值、零點(diǎn)等性質(zhì)，常用到的方法為：

（1）對于確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，先求定義域，然后解不等式f'（x）>O，再分定義域求交集得單調(diào)遞增區(qū)間;解不等式f'（z）<0，與定義域求交集得單調(diào)遞減區(qū)間。

（2）對于求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，可結(jié)合函數(shù)圖像判斷。

（3）求函數(shù)的極值，先求f'（x）=O的根x0，再和函數(shù)的定義域比較，如果落在定義域外或者落在定義域端點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)，無極值;當(dāng)落在定義域內(nèi)時(shí)，將定義域分段，分別考慮兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)，從而判斷是否有極值。

（4）求函數(shù)的最值和極值類問題，先求f'（x）=0的根x0，如果落在定義域外或者落在定義域端點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)，利用單調(diào)性求最值;當(dāng)落在定義域內(nèi)時(shí)，將定義域分段，分別考慮兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號(hào)，從而判斷函數(shù)的大致圖像，進(jìn)而求得最值。

答題模板：第一步，先確定函數(shù)的定義域，再求f'（x）。

第二步，根據(jù)f'（x）的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

第三步，一般將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。

第四步，通過函數(shù)單調(diào)性探求函數(shù)最值，對于最值可能在兩點(diǎn)取到的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為不等式組恒成立。

第五步，查看是否注意了定義域、區(qū)間的寫法，以及最值點(diǎn)的探求是否合理等。

評分細(xì)則：（1）求出導(dǎo)數(shù)給1分。

（2）討論時(shí)漏掉m=0扣1分;兩種情況只有一種討論正確給2分。

（3）確定f'（x）符號(hào)時(shí)只有結(jié)論無中間過程扣1分。

（4）寫出f（x）在x=0處取得最小值給1分。

（5）無最后結(jié)論扣1分。

（6）用其他方法構(gòu)造函數(shù)同樣給分。

評注：證明不等式f（x）≥g（x）成立，可以構(gòu)造函數(shù)H（x）=f（x）一g（x），通過證明函數(shù)H（x）的最小值大于等于零即可。有時(shí)候利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值比較麻煩，則可以通過特例法，即證明f（x）的最小值大于等于g（x）的最大值即可。

模擬訓(xùn)練3.已知函數(shù)f（x）=Inx，g（x）=（a-e）x+2b（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）。

（l）若函數(shù)f（x）的圖像與函數(shù)g（x）的圖像相切于x=1/e處，求a，b的值;

（2）當(dāng)2b=e-a時(shí)，若不等式f（x）≤

評注：將已知恒成立的不等式由等價(jià)原理把參數(shù)和變量分離開，轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知函數(shù)的最值問題處理，關(guān)鍵是搞清楚哪個(gè)是變量，哪個(gè)是參數(shù)，一般遵循“知道誰的范圍，誰是變量;求誰的范圍，誰是參數(shù)”的原則。常用方法有參變分離法和構(gòu)造函數(shù)法。