廣東技術(shù)師范大學(xué)(510665) 梁海華

華南師范大學(xué)附屬中學(xué)(510630) 馬騰冰

一、引言

眾所周知,基本初等函數(shù)是指冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和常值函數(shù)這六類函數(shù).掌握這六類函數(shù)的性質(zhì),熟悉其相關(guān)理論,是學(xué)習(xí)和研究函數(shù)理論的基礎(chǔ).六類函數(shù)中,對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)亦然.高中數(shù)學(xué)教材對指數(shù)和對數(shù)函數(shù)有較為系統(tǒng)的介紹,是高考的重點(diǎn);但對反三角函數(shù)則不作明確的要求.然而,學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后,無論是學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》還是《數(shù)學(xué)分析》課程,均會遇到反三角函數(shù),而這些教材默認(rèn)學(xué)生已經(jīng)掌握了反三角函數(shù)的基本知識.因此,在高中階段掌握反三角函數(shù)的基本概念和性質(zhì)無疑大有裨益.

反函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重點(diǎn)和難點(diǎn).學(xué)習(xí)反函數(shù)的意義,不僅在于它是構(gòu)建對數(shù)和指數(shù)函數(shù)、三角和反三角函數(shù)的橋梁,還在于通過研究反函數(shù)可以更好地理解原函數(shù)的性質(zhì).在國內(nèi),很多教師和學(xué)者很早就對高中數(shù)學(xué)的反函數(shù)的教學(xué)展開了探討,發(fā)表了很多具有真知灼見的論文,見[1-4].

但是,關(guān)于反三角函數(shù)的教學(xué)討論,目前國內(nèi)中學(xué)老師在這方面發(fā)表的研究成果仍然較少,而且所發(fā)表的論文大多著眼于具體知識的教學(xué)設(shè)計(jì)或解題策略,見[5-9].此外,高中數(shù)學(xué)教材對反函數(shù)理論的闡述幾為空白,不利于感興趣的學(xué)生甚至部分教師掌握反三角函數(shù)的概念和性質(zhì).針對這種現(xiàn)狀,本文將針對反三角函數(shù)中若干最基本的、最重要卻又容易產(chǎn)生誤解的問題展開討論,以期為感興趣的讀者提供簡明的研習(xí)材料.

二、關(guān)于反三角函數(shù)概念和性質(zhì)的幾點(diǎn)說明

下面以反正弦和反余弦函數(shù)為例闡述反三角函數(shù)的基本概念和性質(zhì),其余反三角函數(shù)的相關(guān)理論可觸類旁通.對于反正弦函數(shù),初學(xué)者往往被以下幾個問題困擾:y=arcsinx是不是正弦函數(shù)y=sinx的反函數(shù)?如不是,那它是哪個函數(shù)的反函數(shù)?除了它,正弦函數(shù)還有其他反函數(shù)嗎?如果有,不同反函數(shù)之間的關(guān)系如何?下面將逐一解釋這些問題.

釋疑1y=sinx和y=cosx均沒有反函數(shù).

眾所周知,y=sinx和y=cosx都是定義在實(shí)數(shù)域上的周期函數(shù),它們不是單調(diào)函數(shù),換言之,由它們確定的實(shí)數(shù)集到區(qū)間[-1,1]上的對應(yīng)法則都不是一一對應(yīng)的.因此,這兩個函數(shù)不存在反函數(shù).

釋疑2y=arcsinx和y=arccosx分別是如下函數(shù)的反函數(shù):

和

以反正弦函數(shù)為例.把y=sinx中自變量的取值范圍限制到區(qū)間得到由(1)表示的一個單調(diào)函數(shù)(以下稱之為函數(shù)(1)).請注意,這個函數(shù)和正弦函數(shù)y=sinx(定義域默認(rèn)為存在域,即實(shí)數(shù)集)的定義域不同,因此,它是一個不同于y=sinx的函數(shù).函數(shù)(1)是嚴(yán)格單調(diào)的,因此它有反函數(shù),按慣例記該反函數(shù)為y=arcsinx,其定義域?yàn)閇-1,1],值域?yàn)?/p>

釋疑3y=arcsinx和y=arccosx都是專用符號,不能用來表示把y=sinx或y=cosx限制在其他單調(diào)區(qū)間上得到的函數(shù)的反函數(shù).

顯然,這些函數(shù)也有反函數(shù).必須注意,它們的反函數(shù)不能用y=arcsinx來表示,這是因?yàn)閥=arcsinx是用來表示函數(shù)(1)的反函數(shù),是專用符號.

國際上沒有對函數(shù)(3)的反函數(shù)給定專用符號,這是因?yàn)樗鼈兊姆春瘮?shù)可以通過y=arcsinx的簡單運(yùn)算表示出來.事實(shí)上,當(dāng)x∈[-1,1]時,(3)的反函數(shù)的值與y=arcsinx+2kπ是相等的.

對于反余弦函數(shù),也有類似的結(jié)論,自不贅述.

釋疑4sin(arcsinx)≡x,cos(arccosx)x.但一般情況下

對于sin(arcsinx),如果令y=arcsinx,則y表示正弦值為x的那個值,從而siny=x,即sin(arcsinx)≡x.對于(4)的第一個式子,注意到左邊函數(shù)的值域是y=arcsinx的值域:而右邊的取值范圍為全體實(shí)數(shù),故一般情況下左邊不等于右邊.例如,取x=2π,則arcsin(sinx)=arcsin0=0/x.

那么,arcsin(sinx)和x有何關(guān)系?對于任一實(shí)數(shù)x,取正整數(shù)k使于是記u=x-kπ,易見

上述第二個等式成立是因?yàn)榉凑液瘮?shù)是奇函數(shù).

同樣地,cos(arccosx)≡x.而對于任一實(shí)數(shù)x,取正整數(shù)k使x∈[kπ,(k+1)π],利用“y=arccosx為奇函數(shù)”這一結(jié)論(見下面的”釋疑5”)不難證明:

釋疑5y=arcsinx是奇函數(shù),而y=arccosx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

這一點(diǎn),從以下事實(shí)可以直接推斷出來:反函數(shù)與原函數(shù)具有相同的奇偶性,即,若原函數(shù)為奇函數(shù),則其反函數(shù)也是奇函數(shù);若原函數(shù)為非奇非偶函數(shù),則其反函數(shù)亦然.當(dāng)然,偶函數(shù)沒有反函數(shù).

盡管y=arccosx不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),但其圖像平移后仍具有對稱性.具體而言,y=arccos為奇函數(shù).事實(shí)上,令g(x)=arccosx及f(x)=arccos對g(x)=arccosx及g(-x)=arccos(-x)兩個式子的兩邊均取余弦值,得cosg(x)=x,cosg(-x)=-x.故cosg(x)+cosg(-x)=0.注意到g(-x),g(x)是[0,π]內(nèi)的兩個角,它們的余弦值之和為0意味著兩個角互余,即g(x)+g(-x)=π.換言之,或f(-x)=-f(x).所以,為奇函數(shù).

三、反三角函數(shù)在平面幾何中的應(yīng)用

反三角函數(shù)的應(yīng)用非常廣泛,下面給出一個有趣的例子.我們從中不難看出,在中學(xué)階段了解反函數(shù)的基本知識,可以解決許多初等數(shù)學(xué)中的問題.

例(華師附中高三數(shù)學(xué)測試題)一個邊長為4的正方形廣場,被一個半徑為2的半圓和一個半徑為4的四分之一圓分成四部分,如圖1所示.現(xiàn)在,廣場的管理者打算在半圓和四分之一圓重疊的部分(圖中陰影部分)種植草皮.問該草地的面積S為多少?

圖1

圖2

下面給出解決本問題的思路.如圖2,設(shè)正方形四個頂點(diǎn)分別為A,B,C,D,設(shè)DC的中點(diǎn)為O(它也是半圓的圓心),兩弧在正方形內(nèi)部的交點(diǎn)為G.連結(jié)OG,GB,GC,OB.

第二步:記四邊形BGOC與扇形ODG的面積和為S′.令∠DOG=α,易證∠GBC=α.所以S′=SBGOC+S△BOC=8+2α,這里采用了弧度制來計(jì)算扇形面積.故

四、結(jié)語

三角函數(shù)是一種重要的基本初等函數(shù),也是最常用最簡單的周期函數(shù).盡管反三角函數(shù)不是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,但理解和掌握反三角函數(shù)具有重要的意義.一方面,可以加深對反函數(shù)概念的理解,澄清函數(shù)之間的一些似是而非的關(guān)系;另一方面,反函數(shù)可以看作是原函數(shù)的一面鏡子,通過對反三角函數(shù)的學(xué)習(xí)和研究,有助于學(xué)生更深刻地理解三角函數(shù)的性質(zhì).因此,本文以反正弦和反余弦函數(shù)為例,探討了反三角函數(shù)的一些重要性質(zhì),目的是澄清一些常見的誤區(qū),便于感興趣的廣大師生更好地理解三角函數(shù)和反三角函數(shù)的理論.另外,本文最后所舉的例子也充分說明了掌握反三角函數(shù)的基本知識,可以解決更多幾何問題.