福建省漳州市教育科學研究院(363000) 張兵源
福建省龍海第一中學新校區(qū)(363100) 蘇藝偉
圓錐曲線壓軸試題經(jīng)常出現(xiàn)在高三年綜合卷當中.這些試題雖然不具有高考試題的權(quán)威性,但同樣是命題老師智慧的結(jié)晶.此類試題往往具有豐富的命題背景,背景熟悉卻內(nèi)涵深厚.研究此類試題不僅能夠更好地把握解析幾何的本質(zhì),還能透過試題挖掘隱含的命題規(guī)律,更能將其推廣到一般情況,從而提升思維,鍛煉數(shù)學核心素養(yǎng).下面以華中師范大學考試研究院監(jiān)制的一道解幾聯(lián)考試題為例進行說明.
試題(2019屆湖北省8校高三第一次聯(lián)考第20題)已知點F(4,0),,ΔABC的兩頂點且點C滿足
(1)求動點的軌跡方程;
(3)過點F的動直線l與曲線C′交于不同兩點M,N,過點M作y軸垂線l′,試判斷直線l′與直線NH的交點是否恒在一條定直線上?若是,求該定直線的方程;若不是,請說明理由.
試題背景平和,取材于課本,但又高于課本.從知識層面上看,主要考查求動點的軌跡方程(阿氏圓,橢圓)以及證明交點在定直線上,均是解析幾何中的熱點難點問題.從能力層面上看,主要考查學生的推理論證能力,運算求解能力,側(cè)重考查邏輯推理,數(shù)學運算素養(yǎng).試題分為三步,梯度明顯,既能夠讓絕大多數(shù)考生有所收獲,又能夠區(qū)分出不同層次的考生.以下著重探討第三步.第三步要證明的是直線與直線的交點恒在一條定直線上,解決思路應該是聯(lián)立兩條直線的方程,求出交點坐標,證明交點的橫坐標或者縱坐標與參數(shù)無關(guān).
所以直線l′與直線NH的交點恒在一條定直線上.
推廣1如圖1,已知橢圓(a>b>0),點,F(c,0).過點F的動直線l與橢圓E交于不同兩點M,N,過點M作y軸垂線l′,則直線l′與直線NH的交點T恒在準線上.
圖1
下面,借助Geogebra軟件驗證上述結(jié)論.
第一步:點擊菜單欄中的滑動條,構(gòu)造兩個變量a,b;
第三步:在輸入框中輸入:焦點[c],得到橢圓的右焦點F;
第四步:過右焦點F作出直線l,利用交點工具作出與橢圓的交點M,N;
第五步:過點M作y軸垂線l′;
第六步:在輸入框中輸入:
H=((2a2-b2)/(2sqrt(a2-b2)),0),得到點H;
第七步:作出直線NH,并作出直線l′與直線NH的交點T;
第八步:用鼠標選中點T,單擊右鍵,選中跟蹤.然后拉動直線l,發(fā)現(xiàn)點T的軌跡為一條豎直的直線;
第九步:在輸入框中輸入:x=a∧2/sqrt(a∧2-b∧2),作出橢圓的準線,發(fā)現(xiàn)上述軌跡與該直線重合.
圖2
推廣3如圖3,已知拋物線E :y2= 2px,點過點F的動直線l與拋物線E交于不同兩點M,N,過點M作y軸垂線l′,則直線l′與直線NH的交點T恒在準線上.
圖3
推廣2和推廣3的證明以及它們的Geogebra演示均與推廣1的相應過程相仿,此處不再贅述.
波利亞指出,好問題同某種蘑菇有些相像,它們都成堆地生長,找到一個以后,你應當在周圍找找,很可能附近就有好幾個.典型試題好比蘑菇,教師如果能以這些典型試題為出發(fā)點開展蘑菇式的變化探究,可以達到解法思路打通后講一題,通一類,得一法的教學效果.