南京市大廠高級(jí)中學(xué) 余建國

基本不等式的應(yīng)用是高考的“必考點(diǎn)”．由于不斷地改編和創(chuàng)新，這類問題看上去越來越復(fù)雜，但條件和目標(biāo)的本質(zhì)結(jié)構(gòu)沒有變化．本文通過一個(gè)問題的多角度求解，幫助同學(xué)們從結(jié)構(gòu)的角度尋找解題的入口，掌握這類問題本質(zhì)和求解的通法．

若干高考試題或模擬試題的“創(chuàng)作”思路都是源于下列問題：

題根已知x＞0，y＞0，x+y=1，求的最小值．

這道題是一個(gè)“題根”，對(duì)應(yīng)的“乘1法”是眾多方法中用起來比較利索的方法，只要條件和目標(biāo)的結(jié)構(gòu)符合這樣的要求，就可以“套用”，系數(shù)不為1也是如此．

例已知正數(shù)x，y滿足的最小值為_______．

分析一注意到互為倒數(shù)關(guān)系，湊一湊的倒數(shù)以及它們的關(guān)系，將條件向目標(biāo)方向配湊．

解法一由題意得

分析二反過來想，將目標(biāo)向條件看齊，對(duì)這種形式分離常數(shù)，出現(xiàn)后，對(duì)化整式后因式分解，形成基本模式．

解法二由題設(shè)可得（x-1）（y-1）=1．

分析三由，得這樣目標(biāo)就可以簡化為4y+9x了，故問題轉(zhuǎn)化為：已知正數(shù)x，y滿足，則4y+9x的最小值為______．利用條件對(duì)目標(biāo)變形，轉(zhuǎn)化到最原始、最基本的題型上來了．由此可見，解題時(shí)不能隔離條件和目標(biāo)，“用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題”是一種哲學(xué)高度．

分析四對(duì)照題根，令則已知條件為a+b=1，目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為：已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，則的最小值為_______．試試換元！通過換元，可以化陌生為熟悉．換個(gè)角度說，命題老師就是在題根的基礎(chǔ)上將字母換復(fù)雜而已．另外，對(duì)照分析三，可知分析四與分析三的結(jié)構(gòu)是一樣的．

分析五由于，所以y可以用x表示，即將目標(biāo)消去y，化為關(guān)于x的一元函數(shù)求解，這種方法體現(xiàn)了函數(shù)思想，是以不變應(yīng)萬變的通法．

解法五由已知得

分析六除基本不等式外，如果我們掌握更多的重要不等式，如柯西不等式，那么解決這類問題時(shí)渠道就更多，過程更簡單明了．如解法一用柯西不等式證明為：

又如：已知a，b是正數(shù)，x，y是任意實(shí)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”．其證明：左邊-右邊=注意到它的結(jié)構(gòu)，利用這個(gè)結(jié)論，可有如下解法．

解法六令則a+b=1，

這是將分析四證了，但不是題根中的“乘1法”．類似地，如解法七．

解法七因?yàn)?/p>

總之，基本不等式結(jié)構(gòu)簡單，均勻?qū)ΨQ，兩個(gè)正數(shù)通過加法、乘法、除法和開方四種運(yùn)算，產(chǎn)生了它們算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的內(nèi)在規(guī)律．這種內(nèi)在規(guī)律有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)，解題的入口就是分析結(jié)構(gòu)，對(duì)條件、目標(biāo)作適當(dāng)變形、換元和轉(zhuǎn)化．