吳江盛澤中學(xué) 孫四周

問(wèn)：“圓心是圓的一部分嗎？”

答：“不，圓心不是圓的一部分．”

問(wèn)：“準(zhǔn)線(xiàn)是拋物線(xiàn)的一部分嗎？”

答：“不，準(zhǔn)線(xiàn)不是拋物線(xiàn)的一部分．”

雖然圓心是圓所固有的要素，但是它不能算是圓上的點(diǎn)，因?yàn)樗环蠄A的定義，圓心到它自身的距離不等于半徑長(zhǎng)（它等于0）．

類(lèi)似地，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)是其固有的一個(gè)要素．拋物線(xiàn)是用準(zhǔn)線(xiàn)和焦點(diǎn)來(lái)定義的，可以說(shuō)它一刻也離不開(kāi)準(zhǔn)線(xiàn)和焦點(diǎn)，但準(zhǔn)線(xiàn)（以及焦點(diǎn)）不算是拋物線(xiàn)的一部分．

那么準(zhǔn)線(xiàn)“有實(shí)際意義”嗎？

一、拋物線(xiàn)與“拋物”的關(guān)系

畫(huà)出一條拋物線(xiàn)比畫(huà)出一個(gè)圓容易得多．撿起一塊小石頭斜向上拋出，它在空中翩然飛過(guò)又在不遠(yuǎn)處回歸地面，這條美麗的弧線(xiàn)就是拋物線(xiàn)．這個(gè)做法非常簡(jiǎn)單，這個(gè)說(shuō)法非常直接，數(shù)學(xué)上為什么不用它來(lái)做拋物線(xiàn)的定義（即“斜拋物體所形成的軌跡叫做拋物線(xiàn)”）呢？因?yàn)檫@里要用到“斜”“拋”“物體”“（運(yùn)動(dòng)）軌跡”等字眼，而物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還要考慮地球的引力、空氣阻力以及初速度大小等等，初速度過(guò)小和過(guò)大都不能形成拋物線(xiàn)（過(guò)小是橢圓，過(guò)大是雙曲線(xiàn)）．?dāng)?shù)學(xué)需要抽象化，就像物理上抽象出“理想氣體”“理想彈簧”“理想真空”“理想電阻”一樣．“理想的斜拋運(yùn)動(dòng)”中，地球是無(wú)限大的（物體所受引力平行向下）、空氣是不存在的（沒(méi)有阻力），這在自然界中根本不可能存在，而其表述反而不如“平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線(xiàn)l（F?l）距離相等的點(diǎn)的集合”更容易、更明確，所以數(shù)學(xué)上的定義采用了后者．

斜拋物體的軌跡“真的”是拋物線(xiàn)嗎？

設(shè)以仰角α，速率v0斜向上拋出一個(gè)物體，則該運(yùn)動(dòng)可以分解為兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，一是豎直方向的勻減速運(yùn)動(dòng)，二是水平方向的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（豎直方向受地球引力，水平方向不受力）．建立坐標(biāo)系如圖1，設(shè)在t時(shí)刻物體的坐標(biāo)為P（x，y），則

圖1

這是一個(gè)參數(shù)方程，消去參數(shù)t即得物體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為：

這是一個(gè)二次函數(shù)，其圖象我們稱(chēng)之為拋物線(xiàn)．

這里所說(shuō)的“拋物線(xiàn)”是實(shí)際斜拋物體的軌跡嗎？可以說(shuō)是的．只不過(guò)我們忽略了空氣阻力，而且認(rèn)為地球引力始終是向下的（也就是把地球想象成無(wú)窮大，地面是無(wú)限的水平平面），這就是高中教材的處理方法．

它與解析幾何上所說(shuō)的拋物線(xiàn)是同一個(gè)概念嗎？是的．只要我們重新建立一個(gè)坐標(biāo)系，把坐標(biāo)原點(diǎn)選在拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，一條坐標(biāo)軸是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸所在的直線(xiàn)，就可以得到解析幾何上的“拋物線(xiàn)”標(biāo)準(zhǔn)方程．所有二次函數(shù)均可如此處理，因此二次函數(shù)的圖象與解析幾何中的拋物線(xiàn)確實(shí)是等價(jià)的．

二、拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的實(shí)際意義

注意，這里不含有傾斜角α，只含有初速度v0（g是常數(shù)），是不是很神奇？拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與斜拋的角度無(wú)關(guān)，只與初速度有關(guān)．也就是說(shuō)，初速度相同的一系列的拋物線(xiàn)，其最大高度以及水平跨度互不相同，但是它們有共同的準(zhǔn)線(xiàn)（圖2），這是我們當(dāng)初所沒(méi)有想到的．

圖2

三、特別的愛(ài)給特別的你

①中α≠90°，當(dāng)α=90°時(shí)，正好是豎直上拋運(yùn)動(dòng)，此時(shí)有：

此式不是關(guān)于x的二次函數(shù)，此過(guò)程中物體一直在y軸上，先上后下，軌跡是折線(xiàn)而不是拋物線(xiàn)．方程②描述的，是該物體的高度隨時(shí)間而變化的規(guī)律，由此很自然地想到計(jì)算它的最大高度．根據(jù)二次函數(shù)最大值公式，

也就是說(shuō)，如果以初速度v0把物體豎直上拋，它所能達(dá)到的最大高度恰好是準(zhǔn)線(xiàn)所在的位置．這就揭示了一個(gè)永恒的、也是冷酷的自然規(guī)律：調(diào)整斜拋的方向，固然可以使物體達(dá)到不同的高度，然而大自然為你設(shè)立了一個(gè)天花板，你永遠(yuǎn)突破不了．但是大自然同時(shí)給了我們希望，那就是：要想達(dá)到更大的高度，只要增加初速度就行了．有在，沒(méi)有什么不可以！這就是拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的實(shí)際意義，它在限制我們的同時(shí)也給我們無(wú)盡的自由！橢圓和雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，是否也有其特別的實(shí)際意義呢？應(yīng)該有吧．用《詩(shī)經(jīng)》中的一段結(jié)束本文：“蒹葭蒼蒼，白露為霜．所謂伊人，在水一方．溯洄從之，道阻且長(zhǎng)．溯游從之，宛在水中央．”