蘇 玖

一、真題展現

（2019全國Ⅱ卷第15題）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若b=6，a=2c，則△ABC的面積為_______．

二、思維延伸

本題考查了余弦定理和三角形的面積公式．利用余弦定理得到c2，然后根據面積公式就能求出結果．如果將條件“a=2c”去掉，則題目變?yōu)椋?/p>

（改編1）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若b=6，，則△ABC的

本題將余弦定理、三角形面積公式及基本不等式綜合在一起進行考查，這也是高考命題的重要題型．后面將給出兩種不同的解題策略，其中第一種策略較簡單．我們還可以求三角形的周長取值范圍，于是改編為：

（改編2）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若b=6，則△ABC的周長的取值范圍為_______．

以上三題中角B是給出的，如果隱藏在有關邊角等式中，可以改編為：

（改編3）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a=6，求△ABC的面積最大值．

本題將正弦定理、余弦定理、二倍角公式、誘導公式及基本不等式整合在一起，先利用相關公式求角，再利用余弦定理和基本不等式求三角形面積的最大值．如果增加一個條件，問題就可以改編為：

（改編4）銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b=8．記△ABC的面積為S，已知．求△ABC面積的取值范圍．

運用余弦定理，可求得角A的大小；再運用余弦定理求出a用c表示，由銳角△ABC的充要條件建立關于c的不等式，從而求出c的取值范圍，由三角形的面積公式，可得所求范圍．本題考查三角形的正弦定理和余弦定理、面積公式的運用，考查三角函數的恒等變換，以及化簡運算能力．本題是由2019全國Ⅲ卷第18題改編而成．

以上幾題都是利用三角形中三角函數知識求面積最值或取值范圍．我們也可以由三角形的面積的最大值求邊長，例如，

（改編5）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且邊長a=m為常數，△ABC的面積S的最大值為，求m的值．

其實本題是2019全國Ⅲ卷第18題與全國Ⅱ卷第15題整合并改編而成，考查三角函數的有關公式，這是由已知角和面積的最大值求邊長．當然也可以由定邊長和面積的最大值求定角的大?。谑歉木帪椋?/p>

（改編6）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=4，角A為定值，△ABC的面積S的最大值為4，求A的值．

上述幾道題都是研究三角形的角、邊與面積最值或范圍問題，他們之間存在內在聯系．從上述求解過程可以看出題目改編的歷程．也可以將邊替換為內角平分線長或中線長，再來研究相關最值問題，可以研究最小值嗎？于是改編為：

（改編7）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA=sin（B-C），角B的平分線BD的長為2，（1）求△ABC面積的最小值；（2）求三角形周長的最小值．

本題將兩角和差三角函數公式與三角形面積有機結合，同時又考查利用判別式法或者導數法或者基本不等式法等求最值，但基本不等式法較簡潔明了．本題也是由2018年江蘇卷第13題改編而成，也可以由最值求角平分線的長．

（改編8）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，其中S為△ABC的面積．（1）求A的大小；（2）若角A的平分線AD的長為定值，且△ABC面積的最小值2，求AD的長度．

已知最值反過來求線段長度，其基本思路是，先在定長線段情況下求出面積的最小值，然后再利用最小值建立方程，從而求出定長，也可以由最值求定角的大小或相關三角函數式的值．

（改編9）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，定角A的平分線為AD，且AD=2，△ABC的面積S的最小值為8，求的值．

本題通過三角形的面積找出相鄰兩邊b，c與角A的等式關系，利用基本不等式求出面積的最小值，從而求出角A（或某一三角函數值），再利用兩角和差三角公式求解．利用角平分線的大小還可以研究三角形周長的最小值．

圖1

（改編10）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知tanB，tanC是關于x的方程（常數m＞0）的兩個實數解．（1）求角A的大??；（2）若角A的平分線為，求△ABC的周長l的最小值．

三、點撥解析

真題解析：由余弦定理有b2=a2+c2-2accosB，因為b=6，a=2c，

所以，36=（2c）2+c2-4c2cos，即c2=12，所以，S△ABC=acsinB=c2sinB=6

改編1：由余弦定理得，當且僅當a=c時等號成立．又因為，故△ABC的面積最大值為

改編2：由正弦定理得，因此三角形的周長為又因為因此，所以，12＜l≤18，故三角形的周長取值范圍為（12，18］．

如果本題△ABC為銳角三角形，那么三角形的周長范圍又是什么呢？由于且故三角形周長的取值范圍為

改編3：因為，由正弦定理知，，再由二倍角公式及誘導公式得，又因為0＜A＜π，所以，所以再由余弦定理得36=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc，即bc≤12，當且僅當b=c時等號成立．又因為，故△ABC的面積最大值為

改編4：因為，由余弦定理及面積公式得因此，又因為0＜A＜π，所以又因為b=8，因此

于是問題轉化為求c的取值范圍．由余弦定理得a2=64+c2-8c，再利用銳角三角形的充要條件a2+b2＞c2且b2+c2＞a2且a2+c2＞b2建立關于c的不等式，即c2-8c+64+c2＞64且c2-8c+64+64＞c2且64+c2＞c2-8c+64，解之得4＜c＜16，所以故△ABC面積的取值范圍為

改編5：因為，即為，由正弦定理得于是所以又因為A，B∈（0，π），因此，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc，再結合基本不等式知m2≥2bc+bc=3bc，所以，即．又因為，所以，解之得，m=6．

改編6：由余弦定理及基本不等式得16=b2+c2-2bccosA≥2bc-2bccosA，所以bc≤因此因為角A為定值，所以，即4=得sinA=1-cosA，由二倍角公式得又因為所以

改編7：（1）在△ABC中，因為sinA=sin［π-（B+C）］，于是sin（B+C）=sin（BC），展開化簡整理得cosBsinC=0．又因為0＜sinC≤1，因此cosB=0，所以又因為S△ABC=S△BCD+S△ABD，因此即ac=2（a+c）．由基本不等式得即ac≥16，因此，當且僅當a=c=4時等號成立，所以△ABC面積的最小值為8．

另法：因為ac=2（a+c），所以因為所以利用判別式法求解，方程a2-Sa+2S=0有解，因此Δ=S2-8S≥0，即S≥8（S≤0），所以S的最小值為8，此時a=4，c=4．

改編8：（1）因為，由數量積定義知即，而0＜A＜π，于是

（2）因為S△ABC=S△ABD+S△ACD，因此設AD=p，即p（b+c）=bc，由基本不等式得，所以bc≥4p2．又因為于是，即S的最小值為．由題意知即p=所以AD的長度為

改編9：因為S△ABC=S△ABD+S△ACD，因此即由基本不等式知

改編10：首先求出m的取值范圍，其次利用根與系數關系和兩角和與差的正切公式求出B+C，即得角A的大小，再利用面積代換尋找b，c的等式關系，從而求出b+c的取值范圍，最后利用余弦定理找出周長與b+c的函數關系，再利用導數求出最小值．

（1）因為tanB，tanC是關于x的方程（常數m＞0）的兩個實數解，因此Δ=3m2-4m-4＞0，解得m＞2．又tanB+tanC=，tanBtanC=m+1，于是即，所以

（2）由面積公式有，S△ABC=S△ABD+S△ACD，化簡整理得即2（b+c）=bc，由基本不等式知，，即b+c≥8．再由余弦定理得，a2=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，所以周長，再將2（b+c）=bc代入，令x=b+c得．求導得，因此f（x）在［8，+∞）上單調遞增，所以f（x）的最小值f（8）=12．故三角形的周長的最小值為12．

四、回顧悟道

這組高考改編題，是通過對一道全國高考填空題的條件進行減弱或加強使其形成新的考題，如改編1在原題中減少一個條件下，改求三角形面積的最大值；改編3～6變更原題條件，由面積的最大值求邊或角，從而找出一般結論．一般地，△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=m為常數，角A為定值，研究△ABC的面積S的最大值．事實上，因為由余弦定理得m2=b2+c2-2bccosA，結合基本不等式有，m2≥2bc-2bccosA，因此bc≤故面積最大值為其實，我們借助平面幾何知識，不難理解，當BC和角A為定值時，點A的軌跡是圓上弦BC所對的一段弧，顯然AB=AC，即△ABC為等腰三角形時，A到BC的距離最大，從而面積有最大值．改編7～10四題可以研究一般情況，即△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，定角A的平分線為AD，且AD=p，研究△ABC的面積S（或者周長）的最小值與A，p的關系式．以面積為例，一般地，若定角A的平分線為AD，且AD=p，由面積公式有，S△ABC=S△ABD+S△ACD，因此即