陶亦舟 韋艷芳 高慶飛 董力耘?

1) (上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)理學(xué)院, 上海 201418)

2) (玉林師范學(xué)院物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院, 玉林 537000)

3) (上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院, 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所, 上海 200072)

4) (上海市力學(xué)在能源工程中的應(yīng)用重點實驗室, 上海 200072)

采用微觀離散模型研究信號交叉口的人-車相互干擾機理, 其中車輛運動描述基于細化NaSch模型并考慮了司機對交通燈信號切換的預(yù)期效應(yīng); 行人運動描述則基于多步格子氣模型并考慮了過街綠燈周期內(nèi)行人過街速度逐漸增加的特征.機動車與行人之間相互干擾表現(xiàn)為交通燈信號切換時由于車輛(行人)滯留沖突區(qū)而造成行人(車輛)運動的延誤.通過數(shù)值模擬得到了車輛運動的基本圖、行人等待時間以及相應(yīng)的相圖, 并給出行人(車輛)滯留沖突區(qū)內(nèi)造成車輛(行人)延遲的定量特征.模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)存在一個臨界綠信比.當(dāng)綠信比小于臨界值時, 隨著密度的增大, 車流出現(xiàn)自由流相、飽和流相和擁堵流相; 而當(dāng)綠信比大于臨界值, 則出現(xiàn)自由流相、共存相、飽和流相和擁堵流相.由人-車相互干擾所導(dǎo)致的延誤與車流和行人流的運行狀態(tài)密切相關(guān).當(dāng)行人到達率和綠信比都比較大時, 等待區(qū)內(nèi)的行人無法在行人綠燈周期內(nèi)一次清空.文中詳細地討論了人-車相互干擾的定性和定量特征.發(fā)現(xiàn)通過合理設(shè)置綠信比, 可以在保證車流運行效率的同時, 減少行人過街的等待時間.

1 引 言

交叉路口是城市道路網(wǎng)絡(luò)中的重要節(jié)點, 也是瓶頸所在.在流量較大的交叉路口通常都安裝了交通燈, 屬于信號交叉口.交叉口機動車與行人之間的沖突主要發(fā)生在人行橫道處.由于交通燈的調(diào)控作用, 行人過街的安全性顯著提高, 但仍然存在著機動車與行人的相互干擾.即使不考慮行人綠燈期間過街行人與右轉(zhuǎn)車輛之間的沖突, 當(dāng)直行車輛在綠閃期間越過停車線, 若交通燈由綠轉(zhuǎn)紅時車輛仍繼續(xù)通過路口則會導(dǎo)致行人運動延誤.另一方面,由于大城市中不少主干道的車道數(shù)偏多, 路面過寬致使人行橫道過長, 當(dāng)行人綠燈相位配時不足時,往往當(dāng)車輛綠燈亮起時, 行人還沒有走出人行橫道, 從而導(dǎo)致車輛運動的延誤.因此很有必要研究信號交叉口處車輛和行人之間的相互干擾.

交叉口處機動車和行人沖突不但會降低交叉口通行效率, 還會導(dǎo)致交通安全事故, 國內(nèi)外許多學(xué)者對此開展了多方面的研究：對人行橫道上人群過街行為進行觀測, 所得到的行人運動定量特征可用于行人流建模和模型參數(shù)的標(biāo)定[1-4]; 從安全的角度對行人過街的安全性進行評估[5,6]; 對人行橫道上的行人過街行為進行動力學(xué)建模和模擬[7-11];對信號交叉口的機動車流進行動力學(xué)建模和模擬[12-15].這些模型多從微觀角度描述機動車或行人個體的運動, 如行人流的社會力模型[16]、格子氣模型[17], 機動車的優(yōu)化速度模型[18]以及行人和機動車的元胞自動機模型[19-21], 它們可以細致地反映車輛之間、行人之間以及人-車之間的復(fù)雜相互作用.以往的研究中多以機動車流或行人流中的一種為主要研究對象.如Zeng等[10]基于行人心理,建立了考慮群體規(guī)避和個體規(guī)避、轉(zhuǎn)彎車輛避碰等典型交叉口行人行為的改進社會力模型; Belbasi和Foulaadvand[12]采用NaSch模型研究單個信號交叉口的機動車流特征, 并考慮了固定時長的交通燈和自適應(yīng)交通燈.

最近對機動車與行人之間干擾的建模和模擬越來越受到重視[22-30], 其中元胞自動機模型是近年來被廣泛用于交通流模擬的一類模型.由于在信號交叉口行人和機動車之間存在著相互干擾, 因此對機動車流和行人流同步模擬才能更好地反映人-車相互作用的機理.Xie等[24]采用元胞自動機模型研究了信號人行橫道的混合交通特性, 考慮了人-車之間的相互作用機制, 并引入謹慎、正常和冒險三種不同類型的行人, 發(fā)現(xiàn)三種類型的行人在頻率曲線上均存在兩個局部最大值, 這一現(xiàn)象與真實的交通狀況是一致的.Li等[25]提出了一種元胞自動機模型, 用于模擬信號交叉口行人和車輛的過馬路行為, 研究了不同行人信號周期和人行橫道寬度對人行橫道通行能力、行人與車輛之間的沖突數(shù)量以及沖突導(dǎo)致的行人延誤.孫澤和賈斌[26]通過引入行人和機動車的沖突干擾規(guī)則, 構(gòu)建了能夠描述人行橫道處機動車和行人相互干擾行為的元胞自動機模型, 并通過數(shù)值模擬研究了行人到達率、機動車到達率、行人冒險穿越機動車道的閾值以及行人對機動車敏感系數(shù)等因素對機動車和行人流量的影響.余艷等[27]基于 VDR (velocity-dependentrandomization)模型[21], 建立行人與機動車相互干擾的元胞自動機模型, 在開放邊界條件下研究有、無交通燈控制時車輛產(chǎn)生概率、消失概率和交通燈綠信比對車輛交通流和行人流的影響.此外, 學(xué)者們對無信號交叉口的人-車相互干擾也開展了大量的研究.值得一提的是, 近年來自動駕駛車輛的出現(xiàn)也進一步推動了人-車相互干擾的研究[31].

總體而言, 目前關(guān)于信號交叉口的人-車相互作用已經(jīng)有不少研究成果, 但對于間斷交通流的模擬, 雖然在模型中考慮了交通燈的影響, 然而未能充分考慮司機根據(jù)交通燈切換進行的速度調(diào)整, 往往出現(xiàn)加速度過大的情況, 因此如何準(zhǔn)確刻畫司機對交通燈的反應(yīng)仍然是一個值得研究的問題.此外, 行人過街的一個引人注意的特征是隨著行人綠燈時間的減少, 尚未過街的行人會加快速度, 因而在行人綠燈周期內(nèi)行人平均過街速度并非一個常數(shù), 而是越來越快[3].這一特征尚未在已有的工作中得到充分的展現(xiàn).基于上述分析, 本文根據(jù)信號交叉口的機動車和行人流運動特征, 分別建立了相應(yīng)的微觀離散模型, 對機動車和行人相互作用進行了細致的研究, 并深入分析人-車相互干擾的機理.

2 行人-車輛運動的微觀離散模型

在已有的機動車-行人微觀離散模型中, 從模擬效率的角度考慮, 常采用較為簡單的模型, 如Nagel和 Schreckenberg[19]提出的 NaSch模型以及Blue和Adler[20]提出的行人流元胞自動機模型.NaSch模型[19]原用于描述高速公路交通流(屬于連續(xù)交通流), 雖然目前已經(jīng)提出了很多機動車元胞自動機模型, 但由于NaSch模型規(guī)則簡單, 計算效率高, 因此得到廣泛應(yīng)用.盡管NaSch模型不能再現(xiàn)同步流, 但是由于城市地面道路通常較短, 受到交通燈的制約, 難以出現(xiàn)同步流等自組織現(xiàn)象.基于上述考慮, 本文所提出機動車運動模型仍是基于NaSch模型, 并充分考慮交通燈對司機駕駛行為的影響.本文假設(shè)人-車不能共存于沖突區(qū)(見圖1), 即在人行橫道內(nèi)車輛不會作為障礙物而出現(xiàn), 這種行人運動場景相對簡單, 因此行人過街可用較為簡單的格子氣模型來描述, 相比于元胞自動機模型, 其優(yōu)點是采用隨機串行更新規(guī)則, 避免了并行更新時發(fā)生的行人沖突[32,33].

2.1 研究場景和基本假設(shè)

圖1 信號交叉口人-車相互作用示意圖Fig.1.Schematic diagram for vehicle-pedestrian interaction at a signalized crossing.

將信號交叉口處行人過街和車輛通行的場景簡化如下：長為L的車道中間設(shè)有一個與其垂直的人行橫道.車道與人行橫道的重疊部分稱為沖突區(qū).在沖突區(qū)的下游邊緣設(shè)置一個交通燈, 如圖1所示.圖中位于停車線后的紫色矩形區(qū)域代表一輛車, 箭頭所示為其運動方向, 即車輛由左向右行駛;三角形代表向上運動的行人.停車線附近的車道可分為三部分：沖突區(qū)、沖突區(qū)上游和下游.在沖突區(qū)上游(即停車線左側(cè))設(shè)置了一個減速區(qū), 位于減速線和停車線之間, 其長度為LD.車輛由沖突區(qū)的下游離開.人行橫道包括兩個部分：沖突區(qū)和等待區(qū).沖突區(qū)長為WC, 寬為W(即車道的寬度).沖突區(qū)的上游為行人等待區(qū), 其長度為LW.

本文模型的基本假設(shè)如下：

1) 行人從固定位置(即人行橫道)過街, 行人的運動限制在人行橫道(包括沖突區(qū))內(nèi), 且行人是從下到上單向運動, 即不考慮雙向的人群運動;

2) 僅考慮單車道的情況, 車輛從左到右運動;

3) 行人和車輛在沖突區(qū)內(nèi)是分離的, 即行人和車輛不允許同時出現(xiàn)在沖突區(qū)內(nèi);

4) 交通燈周期分為兩個相位, 車輛綠燈相位時, 車輛可以通行, 行人需在路邊等待, 其周期為TG; 車輛紅燈相位即行人綠燈相位, 其周期為TR,此時行人可以過街, 車輛則需在停車線后等待.

2.2 行人運動模型

本文僅考慮同向行人過街的情況.由于人行橫道內(nèi)沒有障礙物, 且行人運動區(qū)域的幾何形狀簡單, 因此行人的期望運動方向明確, 這里我們采用最基本的格子氣模型來描述行人的運動.格子氣模型可以視為一種特殊的元胞自動機模型, 通常采取隨機串行更新規(guī)則.將人行橫道離散成由正方形元胞組成的二維網(wǎng)格.一個元胞的大小就是典型行人所占的面積, 即 0.4 m × 0.4 m.

李文勇等[2]的觀測表明行人步行速度在過街綠燈周期的不同階段會有所變化：當(dāng)行人綠燈信號啟亮, 平均步行速度為 1.00—1.35 m/s; 當(dāng)行人綠燈時間過半, 平均步行速度為 1.28—1.56 m/s; 當(dāng)行人綠燈閃爍, 平均步行速度為1.56—2.12 m/s.可見行人在過街綠燈周期內(nèi)的平均步行速度是隨著時間的增加而逐步增大, 并非恒定不變.此結(jié)果與日常經(jīng)驗相符, 應(yīng)當(dāng)在行人流模型中有所體現(xiàn).由上述實測數(shù)據(jù)可知, 行人最大速度Umax可 達2 m/s左右, 即每秒運動 5 個元胞.本文采用多步模型來實現(xiàn), 即將 1 s分為 5個子時間步, 每個子時間步行人最多移動1個元胞.

行人運動規(guī)則如下.

1)根據(jù)交通燈周期確定行人的運動概率

a) 在車輛綠燈周期, 設(shè)行人直行概率p=p0,起動概率q=q0, 且 0＜p0＜1 , 0＜q0＜1 .如果行人尚在沖突區(qū)內(nèi), 則直接設(shè)p=1 ,q=1 , 即行人將會用確定性的方式以最快速度離開沖突區(qū).如果行人尚未進入沖突區(qū), 則到達路邊(即等待區(qū)上邊界)后, 將會停下等待.其中, 行人直行概率p反映了行人選擇出行目的方向(即下游出口方向)概率的權(quán)重, 起動概率q則反映行人運動過程中可能出現(xiàn)的延遲, 與VDR模型[21]中車輛的慢啟動類似.

b)在行人綠燈周期, 行人可以穿越人行橫道.為反映行人在過街周期內(nèi)的運動特征, 假設(shè)行人直行概率p和起動概率q隨時間t線性增加：

其中TR為行人綠燈周期長度; 時間t∈[0,TR] , 當(dāng)行人綠燈啟亮瞬間, 有t=0 .

表1 各種情況下行人向鄰近元胞的行走概率Table 1.Probabilities for a pedestrian to move towards his/her neighboring cells.

2)行人根據(jù)相鄰元胞的狀態(tài)確定目標(biāo)元胞

對于行人而言, 當(dāng)r＜q時才可以運動.其中r是在 [0 ,1] 之間均勻分布的隨機數(shù).如不特別說明,后文中出現(xiàn)的r總是指這種類型的隨機數(shù).

如果行人i可以運動, 則有四種可能選擇, 即向前、向左或向右運動, 還可以停在原地不動.行人i左側(cè)、前方和右側(cè)元胞的狀態(tài)Si用一個數(shù)組表示 (sL,sF,sR) , 其中每個分量可取 0 或 1, 表示對應(yīng)的元胞為空或被占據(jù), 如 (0 ,1,0) 表示行人左右兩側(cè)元胞無人, 而其前方的元胞被占據(jù).行人根據(jù)概率 (pL,pF,pR) 隨機選擇目標(biāo)元胞, 然后進入該元胞或停留在原位, 如表1 所列.其中pL,pF和pR分別表示行人向左、向前和向右運動的概率.

采用隨機串行更新方式逐一更新行人的位置,即在每一子時間步, 都會對所有行人進行隨機排序.然后依次逐一確定行人的運動并更新.注意在1 s內(nèi)行人運動要更新5次.人行橫道采用開放邊界條件.假設(shè)行人的到達率λ滿足泊松分布.行人等待區(qū)最多可以容納LW×WC個人, 每隔 1 s會在等待區(qū)的下邊界隨機產(chǎn)生一些新的行人, 并向上游運動.本文取λmax=2 , 相當(dāng)于 1 h 內(nèi)有 7200 人通過路口(對于一般路口而言, 這已是足夠大的行人流量).行人在邊界以一定概率γ消失.為簡單起見,本文中取γ=1 , 即行人達到?jīng)_突區(qū)的上邊界處可自由離開.

2.3 車輛運動模型

為了準(zhǔn)確描述車輛的起動和剎車過程, 本文在網(wǎng)格細化的NaSch模型上考慮交通燈的影響.為與行人流模型匹配, 車道也離散成長度為0.4 m的元胞.根據(jù)假設(shè)3), 暫不考慮車輛的橫向運動, 因此沖突區(qū)以外的車道不必離散成二維的網(wǎng)格.當(dāng)交通燈切換時, 需要考慮司機的預(yù)期反應(yīng), 為此在停車線上游設(shè)置長為LD的減速區(qū).當(dāng)交通燈由綠轉(zhuǎn)紅時, 減速區(qū)內(nèi)的車輛會采取相應(yīng)的減速措施, 避免出現(xiàn)交通事故.

對于車輛i而言, 在t時刻它的位置為xi(t) , 速度為vi(t) , 車長均為lc.其運動規(guī)則如下.

1)加速

其中a+為車輛加速時的加速度值.

2)出于安全考慮對于車速的限制

其中di(t) 為車輛i與前車的間距,

這意味著在本模型中相鄰兩輛車的最小間距為1.

3)減速

a) 對于車輛綠燈周期的車輛或車輛紅燈周期內(nèi)但不在減速區(qū)內(nèi)的車輛i, 考慮司機駕駛行為中的不確定因素而導(dǎo)致的隨機減速：

其中pd為隨機減速概率,a-為隨機減速時的加速度值.

b)對于車輛紅燈周期內(nèi)處于減速區(qū)內(nèi)的車輛i：

其中?i=xS-xi(t) 是車輛i到停車線的距離, 且?i≤LD,xS是停車線的位置,是正常減速時允許的最大加速度值.

c)當(dāng)交通燈由綠轉(zhuǎn)紅時, 對于停車線后的第一輛車j, 如果它即將到達停車線, 則根據(jù)當(dāng)前速度預(yù)測該車是否可以順利在停車線前減速停下.如果

則車輛j將會在停車線后停下, 否則它將繼續(xù)駛過路口.

4)運動

車輛運動采用并行更新方式, 而車道采用周期性邊界條件.

2.4 人-車相互作用

由于交通燈的調(diào)控, 直行車輛和過街行人的運動基本分離, 而當(dāng)交通燈切換時, 車輛與行人之間將發(fā)生相互干擾.

1)當(dāng)交通燈由綠轉(zhuǎn)紅時, 即將駛過停車線的車輛如果來不及減速, 會在紅燈期開始后繼續(xù)駛過沖突區(qū), 此時行人會預(yù)判車輛的行為(在模擬中雖然已是紅燈, 沖突區(qū)仍將設(shè)置為行人不可通行), 因此并不會立即進入沖突區(qū), 只有當(dāng)車輛駛出沖突區(qū)后, 行人才可以過街, 因此會造成行人運動的延誤.此外, 如果車輛滯留在沖突區(qū)也會導(dǎo)致行人運動的延誤.每小時內(nèi)由車輛導(dǎo)致的行人平均時間延誤用表示.

2)當(dāng)交通燈由紅轉(zhuǎn)綠時, 尚未進入沖突區(qū)的行人將停在路邊等待, 而在沖突區(qū)內(nèi)尚未過街的行人將繼續(xù)前行, 直到?jīng)_突區(qū)內(nèi)無人時, 車輛才可以通行(在模擬中雖然已是綠燈, 沖突區(qū)仍將設(shè)置為車輛不可通行).這種情況下, 由于行人滯留在沖突區(qū)而造成車輛運動的延誤.每小時內(nèi)由行人導(dǎo)致的車輛平均時間延誤用表示.

3 數(shù)值模擬與分析

3.1 參數(shù)設(shè)置

模擬時車道長度L=3000 , 車道寬度W=10 ,減速區(qū)長度LD=120 , 人行橫道寬度WC=W, 等待區(qū)長度LW=20 .假設(shè)所有車輛都是同樣的轎車,車長lc=10 , 最大速度Vmax=40 , 加速時的加速度值a+=4 , 減速時的最大加速度值這樣車輛可以在10 s加速到最大速度, 并可以在4 s以內(nèi)減速到零, 可以較好地反映車輛的實際運動情況.車輛的隨機減速概率pd=0.3 .

假設(shè)每個行人都只占據(jù)人行橫道上的一個元胞.行人到達符合泊松分布, 到達率為λ, 且0＜ λ≤2.設(shè)p0=0.8 ,q0=0.6 , 據(jù) 此可以估 算,在行人綠燈周期開始時行人平均速度約為1.2 m/s,即將結(jié)束時約為2.0 m/s.

設(shè)交通信號燈周期時長T= 100 s, 即車輛綠燈周期TG與行人綠燈周期TR之和：T=TG+TR.綠信比μ定義為車輛綠燈周期TG與交通燈周期時長T的比值, 即

可知TR=(1-μ)T.本文中設(shè)μ≥0.5 .

車輛密度k定義為

其中Nc為車輛總數(shù).

所有車輛的平均速度V定義為

其中T0是系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)的時間,T1是計算速度平均值所用的總時間步長.

平均車流量Jc定義為

3.2 典型參數(shù)下模型的基本性質(zhì)

首先研究不同綠信比μ時車輛運動的基本圖.模擬結(jié)果顯示, 存在一個臨界綠信比μc≈ 0.8 .當(dāng)μ≤μc時, 可以觀察到兩個臨界密度k1和k2, 見圖2(a).當(dāng)k＜k1時, 車流處于自由流相, 其特征為車流量Jc隨密度k的增大而線性增加, 平均車速為常數(shù),見圖2(b); 當(dāng)k1≤k≤k2時, 車流處于飽和流相, 在流密曲線中出現(xiàn)一個流量平臺, 此時車流量Jc約為一常數(shù)J0, 表明綠燈期間通過的車輛數(shù)大致相等.這是交通燈控制下間斷交通流的普遍特征; 當(dāng)k＞k2時, 是擁堵流相, 此時流量隨密度增大而線性減少, 這是由于上游路段的剩余空間限制了綠燈期間可以通過的數(shù)量.當(dāng)k＞k1時, 平均速度隨密度的增加而單調(diào)減少.由圖2可見, 不同行人到達率λ對車輛運動基本圖的影響并不明顯, 表明車輛的運動主要取決于綠信比, 與實際情況相符.隨著綠信比μ的增大, 車輛通行時間相應(yīng)增加, 飽和流量值J0隨之增大, 同時k1逐漸增大, 而k2逐漸減小, 即流量平臺出現(xiàn)的密度范圍逐漸減小, 見圖2(c).這表明, 當(dāng)μ較大時, 雖然車流量更大, 但也更容易發(fā)生交通擁堵.值得注意的是, 在圖2(d) 中, 當(dāng)μ=0.9＞ μc時, 此時未飽和流相可以分為兩段, 當(dāng)k＜k0時, 車流量隨密度線性增加, 且V≈Vmax=40 , 為自由流相;當(dāng)k＞k0時, 平均速度隨密度的增加而單調(diào)減小,但當(dāng)k0≤k＜k1時, 車流量仍隨密度線性增加, 見圖2(c).

圖2 不同綠信比下車輛運動基本圖 (a)流量-密度曲線 (μ = 0.5); (b)速度-密度曲線 (μ = 0.5); (c)流量-密度曲線 (μ = 0.9);(d)速度-密度曲線 (μ = 0.9)Fig.2.Fundamental diagrams for vehicles under different splits：(a) Flux-density relation (μ = 0.5); (b) speed-density relation (μ =0.5); (c) flux-density relation (μ = 0.9); (d) speed-density relation (μ = 0.9).

圖3給出了典型密度下的車輛運行時空斑圖,是模擬 1 h 后取兩個交通燈周期、處于 [xS— 600,xS+ 600]范圍內(nèi)的車輛運動軌跡, 其中每個點代表一輛車, 綠色和紅色豎線分別表示處于車輛綠燈和紅燈周期內(nèi).圖3(a)為自由流相, 車輛在紅燈周期結(jié)束前開始在停車線后排隊, 在綠燈周期結(jié)束前全部通過路口.這表明車輛不會直接影響行人過街.從圖中可以觀察到明顯的剎車波和起動波, 小尺度的交通擁堵向上游傳播并消散.圖3(b)為飽和流相, 紅燈期間出現(xiàn)車輛排隊, 由于此時排隊的車輛足夠多, 在綠燈期間通過路口的車輛數(shù)主要取決于綠燈周期的長度.在飽和流相, 綠燈期間通過路口的車輛數(shù)基本不變.圖3(c)為擁堵流相, 可以發(fā)現(xiàn)飽和流與擁堵流之間的差別.擁堵流相時下游車輛的擁堵不但會向上游傳播, 還會影響到上游路口車輛的通行.圖3(d)給出了k= 0.15 (k0＜k＜k1)時的車輛運動斑圖.可以發(fā)現(xiàn)既有車輛自由通過路口, 也有紅燈期間形成小尺度擁堵的消散過程, 因此本文將圖2(c)和圖2(d)中k0＜k＜k1范圍內(nèi)的交通流相稱之為共存相, 其平均車速隨著車輛密度增加而減小, 見圖2(d).當(dāng)k＜k0時, 車輛均可自由通過路口, 因此V≈Vmax.

3.3 行人等待時間的影響

行人等待時間TW定義為從行人進入等待區(qū)到行人離開等待區(qū)(即進入沖突區(qū))的時間之差的平均值.圖4反映了四種典型行人到達率下車輛運動對于行人等待時間的影響, 可以觀察到車輛運動基本圖(參考圖2)與行人等待時間兩者之間的相關(guān)性.當(dāng)μ≤μc時, 發(fā)現(xiàn)車流處于自由流相(k＜k1)時,TW可以視為不隨車輛密度而變化的常數(shù), 從圖3(a)可知, 這是由于車輛綠燈周期結(jié)束之前, 所有車輛已經(jīng)通過路口, 因而不會影響行人過街.當(dāng)車流是飽和流狀態(tài) (k1≤k≤k2)時, 車隊在綠燈期間的消散過程類似, 對行人過街的影響大致相同, 可以預(yù)期會出現(xiàn)一個等待時間平臺,TW也近似為一個常數(shù).由于行人綠燈周期足夠長, 在車輛綠燈期間集聚的行人基本可以一次通過, 但是若交通燈由綠轉(zhuǎn)紅時仍有車輛通過路口, 行人只能等其離開沖突區(qū)再過街, 因而導(dǎo)致TW略有增大.當(dāng)k＞k2時, 車輛處于擁堵流狀態(tài)時, 車輛可能滯留在沖突區(qū), 因而導(dǎo)致TW明顯增加, 特別是行人到達率λ很大時, 見圖4(b).當(dāng)μ=0.9＞ μc時, 由于行人綠燈周期過短, 即使車輛密度很小, 當(dāng)行人到達率λ=2時因為等待過街行人很多而無法一次清空, 因此行人等待時間很長, 見圖4(c).隨著μ的增加,TW也相應(yīng)增大.當(dāng)行人到達率λ還不夠大時(如λ=1),此時可將人行橫道視為十車道情形, 行人以最大速度Umax=5 運動, 因此在較短時間內(nèi), 可以通過相當(dāng)多的行人.在車輛綠燈期間積累的人群在行人綠燈周期都可以清空(不考慮在車輛綠燈周期即將結(jié)束時剛進入等待區(qū)的行人).當(dāng)λ=2 時, 行人綠燈啟亮?xí)r, 等待區(qū)已經(jīng)充滿了行人.當(dāng)紅轉(zhuǎn)綠時, 仍有不少行人滯留在等待區(qū).這也使得在車輛綠燈周期內(nèi), 等待區(qū)很容易被人群充滿.

圖3 車輛運動時空演化斑圖 (λ =1.0) (a) k = 0.08, μ =0.5; (b) k = 0.40, μ = 0.5; (c) k = 0.70, μ = 0.5; (d) k =0.15, μ = 0.9Fig.3.Temporal-spatial patterns of vehicles in motion(λ =1.0)：(a) k = 0.08, μ = 0.5; (b) k = 0.40, μ = 0.5;(c) k = 0.70, μ = 0.5; (d) k = 0.15, μ = 0.9.

圖4 不同綠信比下行人等待時間隨車輛密度的變化(a) μ = 0.5; (b) μ = 0.8; (c) μ = 0.9Fig.4.Waiting time of pedestrian varies with vehicle density under different splits：(a) μ = 0.5; (b) μ = 0.8; (c) μ =0.9.

圖5 不同綠信比下行人等待時間隨行人到達率的變化(a) μ = 0.5; (b) μ = 0.8; (c) μ = 0.9Fig.5.Waiting time of pedestrians varies with the arrival rate of pedestrian under different splits：(a) μ = 0.5; (b) μ =0.8; (c) μ = 0.9.

圖5給出了四種典型車輛密度下行人等待時間TW隨行人到達率λ的變化趨勢.由圖5 可見, 對于給定的車輛密度k, 隨著行人到達率λ的增加,行人等待時間TW相應(yīng)增大.對于同一綠信比和行人到達率, 車輛密度越大, 行人等待時間越長.當(dāng)μ=0.5,0.6 時, 車輛處于自由流與飽和流(k=0.1,0.3,0.5＜k2, 參考圖2(a)), 由于車輛運動對行人過街的干擾很少, 且行人綠燈周期夠長, 因此TW隨λ的增加而緩慢增大.對于擁擠流狀態(tài)k=0.7＞k2, 由于車輛會暫時滯留在沖突區(qū), 對行人過街影響很大, 但是因為紅燈周期足夠長, 行人仍可順利過街.當(dāng)μ=0.7,0.8 時, 對于k= 0.1, 0.3 ＜k2, 車流尚未超出飽和流相范圍,TW隨λ緩慢增長.但由于車輛綠燈周期長, 行人的等待時間明顯增加.k=0.5,0.7＞k2時車流處于擁擠流相.當(dāng)λ ＜ λc時,TW隨λ緩慢增長, 由于此時人數(shù)較少,雖然行人綠燈周期較短, 仍可基本一次清空.λc依賴于μ和k.當(dāng)λ(λ ＞ λc≈ 1.0) 足夠大時,TW會較快增長, 如圖5(b) 所示.當(dāng)λ足夠大時,TW＞T(明顯大于交通燈周期), 這表明有些行人在一個交通燈周期內(nèi)沒能過街.值得注意的是,μ=0.9 時,由于行人綠燈周期很短, 即使車輛密度很小(如k=0.1) 時, 當(dāng)λ足夠大時,TW會快速增長, 見圖5(c),這是由于車輛綠燈周期過長, 在等待區(qū)積累的大量行人無法在很短的行人綠燈周期內(nèi)通過人行橫道,而滯留的行人又容易導(dǎo)致等待區(qū)滿員, 但與高車輛密度情況相比, 仍有明顯的差別, 這表明滯留在沖突區(qū)的車輛對行人過街影響很大.此外, 當(dāng)λ較小時, 不同車輛密度下TW隨λ變化曲線基本重合.這表明當(dāng)行人來流較小時, 絕大部分行人還可以順利過街, 即使行人綠燈周期很短.

3.4 人-車相互作用

下面研究人-車相互干擾所導(dǎo)致的延誤, 即由于車輛紅燈(綠燈)期間車輛(行人)占據(jù)沖突區(qū)所導(dǎo)致的行人(車輛)的延誤.首先研究車輛對行人的影響, 包括車輛紅燈周期內(nèi)滯留在沖突區(qū)的車輛或者交通燈剛由綠轉(zhuǎn)紅時才進入沖突區(qū)的車輛.出于安全考慮, 即使行人綠燈已經(jīng)啟亮, 此時行人也不會進入沖突區(qū), 因此這兩種情況下車輛都會占用行人過街時間.

圖6 不同綠信比時車輛所導(dǎo)致的行人延誤 (a) μ = 0.5;(b) μ = 0.8; (c) μ = 0.9Fig.6.Pedestrian delay time caused by vehicles under different splits：(a) μ = 0.5; (b) μ = 0.8; (c) μ = 0.9.

下面研究由于行人未能過街而滯留對車輛通行造成的影響.從圖7可以看出, 當(dāng)行人到達率較小時(或者行人綠燈周期長), 行人對于車輛的影響主要是陸續(xù)到達的行人直接通過路口(車輛綠燈周期在路口累積的等待過街行人已經(jīng)在行人綠燈亮起后率先過街了), 當(dāng)車輛紅燈已轉(zhuǎn)綠, 此時尚未完全通過路口的行人會造成車輛運動的延誤, 因而隨行人到達率的增加而增大.圖7(b)中較高車輛密度時, 由于上游車輛擁堵延伸到路口, 阻礙了行人過街, 加上紅燈周期時間不夠長, 在路口聚集的大量行人在較少的通行時間內(nèi)集中過街而導(dǎo)致車輛的延誤明顯增大.

由圖7(a)可知, 當(dāng)μ較小時, 行人有足夠的時間過馬路, 影響車輛通行的主要因素是行人綠燈周期內(nèi)滯留在沖突區(qū)內(nèi)的行人.隨著行人到達率λ增加,也相應(yīng)增大, 但增速逐漸減緩.當(dāng)車流處于擁堵流狀態(tài)(k=0.7)時, 行人對車輛的影響也略有增大.由圖7(b) 可知, 當(dāng)?shù)竭_率較大時, 雖然行人較多, 過街時間還足夠, 當(dāng)k＜k2時, 行人對車輛的影響與μ=0.5 時基本一致.由于此時車輛不會占據(jù)沖突區(qū), 行人可以順利過街(雖然行人綠燈周期已經(jīng)明顯變短).當(dāng)k＞k2時(車輛處于擁堵狀態(tài)), 由于車輛擠占行人過街時間, 會造成密集人群集中過街, 因此交通燈紅轉(zhuǎn)綠時, 行人滯留沖突區(qū)的概率增大, 對車輛產(chǎn)生更大的影響.當(dāng)行人達到率λ較大時, 圖中出現(xiàn)一個平臺.由于等待區(qū)容量有限, 此λ區(qū)間內(nèi)行人都將充滿等待區(qū), 人群的消散過程類似, 對車輛的影響基本相同, 表現(xiàn)為圖中的平臺.由圖7(c)可知, 當(dāng)交通燈由紅轉(zhuǎn)綠時, 仍有大批行人集中進入沖突區(qū).當(dāng)達到率相當(dāng)大時,上游來流可以認為近似不變.即使車輛密度很小,由于行人來流足夠大時, 聚集的人群也無法在很短的行人綠燈周期內(nèi)清空.在等待區(qū)存在需要二次清空的人群, 當(dāng)行人入流較大(λ＞1), 等待區(qū)幾乎總是處于滿員狀態(tài), 因此出現(xiàn)了一個的平臺.如果繼續(xù)擴大等待區(qū)的范圍, 由行人滯留沖突區(qū)所造成的車輛延誤還會有所增大.

圖7 不同綠信比時行人造成車輛的延誤 (a) μ = 0.5;(b) μ = 0.8; (c) μ = 0.9Fig.7.Vehicle delay time caused by pedestrians under different splits：(a) μ = 0.5; (b) μ = 0.8; (c) μ = 0.9.

3.5 相 圖

下面研究人-車相互作用系統(tǒng)的全局性質(zhì).圖8和圖9分別給出了車流量Jc和行人等待時間TW隨車輛密度k和行人到達率λ的三維分布圖.從圖8可見, 在不同λ下車流量隨k的變化曲線具有類似的特征.當(dāng)μ＜ μc時, 車流都可以分為三種狀態(tài),即自由流相、飽和流相和擁堵流相, 見圖8(a).當(dāng)μ＞μc時, 車流都可以分為四種狀態(tài), 即自由流相、共存相、飽和流相和擁堵流相, 見圖8(b).值得說明的是, 當(dāng)μ＞ μc時, 從流量上看, 自由流相和共存相的區(qū)分不太明顯, 可以參考圖2(d).隨著綠信比μ的增加, 臨界密度k1增大,k2減小, 飽和流量值相應(yīng)增大.由圖9可見, 行人等待時間呈現(xiàn)出復(fù)雜的空間分布情況.在μ＜ μc的情況下, 當(dāng)k＜k2時, 行人的等待時間較短, 通常等待時間不會超過TG/2 , 行人綠燈開啟后已經(jīng)在等待區(qū)的行人可以一次過街; 而當(dāng)k＞k2且行人到達率較大時, 等待區(qū)內(nèi)行人很多, 且因過街時間被車輛占用較多, 因此行人綠燈開啟后已經(jīng)在等待區(qū)的人群無法清空, 當(dāng)μ＞ μc時尤為明顯, 由于行人綠燈周期很短, 即使車輛密度不大, 當(dāng)行人來流很大時, 也不可能一次清空等待過街的人群, 見圖9(b).

圖8 車流量隨車輛密度和行人到達率的變化 (a) μ =0.5; (b) μ = 0.9Fig.8.Flux as a function of vehicle density and pedestrian arrival rate：(a) μ = 0.5; (b) μ = 0.9.

綜合考慮圖9和圖10, 可以繪制出在 (λ,k) 空間的相圖.當(dāng)μ＜ μc時相圖可以分為 4 個區(qū)：I區(qū)內(nèi)車輛運動屬于自由流, 行人可順利過街(一次清空); II區(qū)內(nèi)車輛運動屬于飽和流, 行人可順利過街(一次清空); III區(qū)內(nèi)車輛運動屬于擁堵流, 行人仍可順利過街(一次清空); IV區(qū)內(nèi)車輛運動屬于擁堵流, 部分行人需要二次清空.隨著綠信比的增大, II區(qū)減小, 而 I, III和 IV 區(qū)則相應(yīng)增大.當(dāng)μ＞μc時相圖可以分為8個區(qū)：I區(qū)—IV區(qū)內(nèi)車輛運動分別屬于自由流相、共存相、飽和流相和擁堵流相, 行人可一次清空; V區(qū)—VIII區(qū)車輛運動分別屬于自由流相、共存相、飽和流相和擁堵流相,而行人需二次清空.隨著綠信比的增大, 相圖中行人需二次清空所占的區(qū)域也會相應(yīng)增大.值得說明的是, 上述相圖是在信號周期T= 100 s時給出的.根據(jù)本文所采用的道路長度, 當(dāng)綠信比較大時,自由流時車輛可以在其綠燈周期內(nèi)進入該路段并通過, 而當(dāng)綠信比較小時, 則在綠燈周期開始進入該路段的車輛無法在綠燈結(jié)束時通過該路段.如果采取滿足上述條件的信號周期, 可以預(yù)期將會得到與圖10類似的相圖.如果信號周期過短或者過長時, 則相圖會有較大的變化.本文所采用的信號周期長度屬于真實交通最常見的一種情形.

圖9 行人等待時間隨車輛密度和行人到達率的變化(a) μ = 0.5; (b) μ = 0.9Fig.9.Waiting time of pedestrian as a function of vehicle density and pedestrian arrival rate：(a) μ = 0.5; (b) μ =0.9.

圖10 (λ, k)空間中的相圖 (a) μ = 0.5; (b) μ = 0.9Fig.10.Phase diagram in (λ, k) space：(a) μ = 0.5, (b) μ =0.9.

4 結(jié) 論

基于信號交叉口司機對交通燈切換的預(yù)期效應(yīng)以及行人過街時平均速度隨著行人綠燈時間減少而增大的特征, 建立了描述機動車和行人運動的精細模型.當(dāng)車輛在遇到紅燈時的剎車過程更加平滑, 其加速度控制在合理的范圍內(nèi), 而對行人過街的刻畫也更接近于實際.人-車相互干擾主要體現(xiàn)在當(dāng)交通燈切換時, 由于車輛或行人滯留在沖突區(qū)內(nèi)對行人過街或車輛通行所造成的延誤, 我們定義了相應(yīng)的延誤時間.通過數(shù)值模擬, 給出了人-車相互干擾的定量特征, 并對其機理進行了詳細的討論, 可為提高交叉口的通行效率提供參考.作為人-車相互作用的一種簡化描述, 本文尚未考慮機動車和行人混雜出現(xiàn)在沖突區(qū)內(nèi)的情況.在現(xiàn)實交通中, 即使信號交叉口發(fā)生車輛擁堵甚至溢流的情況, 當(dāng)行人綠燈啟亮?xí)r, 行人仍可穿過車輛的間隙而過街.這種類型的人-車相互干擾將在下一步的工作中繼續(xù)研究.