陳耀陽(yáng)

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想充分運(yùn)用了數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、知識(shí)關(guān)系借助形象直觀的圖形、位置進(jìn)行轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)解題難度的降低、復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)化.本文從高中生視角出發(fā)，分析了數(shù)形結(jié)合的解題方法與解題思路，從集合問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題、幾何問(wèn)題等三個(gè)層面入手，探討了數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用，以供參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;解題思路;因數(shù)變形;以形轉(zhuǎn)數(shù)

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求我們掌握數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)規(guī)律，樹(shù)立數(shù)學(xué)思維模式，而數(shù)形結(jié)合便是將數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件與結(jié)論進(jìn)行相互連接，在探討題目中涵蓋的代數(shù)意義的同時(shí)，也試圖揭示其幾何意義，從而將數(shù)量關(guān)系的代數(shù)數(shù)據(jù)與圖像形象緊密結(jié)合，促使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，進(jìn)一步幫助我們把握解題的脈絡(luò)與方法，尋求不同知識(shí)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

一、數(shù)形結(jié)合的解題方法與解題思路分析

（一）因數(shù)變形法

因數(shù)變形法又稱(chēng)由數(shù)變形法，當(dāng)某些具有一定抽象難度的數(shù)量關(guān)系難以運(yùn)用代數(shù)方法直接解決時(shí)，便可以嘗試從數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系入手進(jìn)行把握，將數(shù)量問(wèn)題以圖形的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的具象化、簡(jiǎn)明化轉(zhuǎn)變，通?？梢赃\(yùn)用平面幾何、立體幾何以及解析幾何的知識(shí)進(jìn)行推理與分析.其解題思路主要包含以下三點(diǎn)：其一，應(yīng)當(dāng)確保將題目進(jìn)行充分解讀，明確題目中涵蓋的每一個(gè)要求，并判斷該題目所要求得的結(jié)果;其二，應(yīng)當(dāng)將題目中的已知條件或所給出的結(jié)論進(jìn)行詳細(xì)分析，判斷能否運(yùn)用基本公式或表達(dá)式針對(duì)其進(jìn)行類(lèi)別的劃分;其三，應(yīng)嘗試構(gòu)造與所給條件相符的圖形，并明確圖形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件、所給要求進(jìn)行目標(biāo)的求解.

（二）以形轉(zhuǎn)數(shù)法

以形轉(zhuǎn)數(shù)法又稱(chēng)以形變數(shù)法，主要對(duì)復(fù)雜圖形問(wèn)題或定量圖形問(wèn)題進(jìn)行解決，通過(guò)仔細(xì)觀察把握?qǐng)D形特點(diǎn)，在分析已知條件的基礎(chǔ)上深度查找隱含條件，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解.其解題思路主要包含以下四點(diǎn)：其一，應(yīng)當(dāng)針對(duì)題目所給要求進(jìn)行詳細(xì)分析，明確所需求得的目標(biāo)，再探尋題目的特點(diǎn)與性質(zhì);其二，進(jìn)一步分析所給條件與解題目的，解析其中滲透出的幾何意義;其三，嘗試用代數(shù)式表示題目中所給的圖形;其四，調(diào)動(dòng)腦海中的知識(shí)儲(chǔ)備，運(yùn)用所學(xué)公式、定理進(jìn)行結(jié)果計(jì)算.

（三）數(shù)形互換法

數(shù)形互換法將因數(shù)變形法和以形轉(zhuǎn)數(shù)法進(jìn)行了有機(jī)結(jié)合、相互轉(zhuǎn)化，以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜數(shù)學(xué)題目的解決.需要注意的是，我們?cè)诮忸}的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)著重把握因數(shù)變形法的直觀特性，也要把握以形轉(zhuǎn)數(shù)法的嚴(yán)謹(jǐn)性，在解答題目時(shí)詳細(xì)判斷數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，深度探尋其中蘊(yùn)含的隱性條件，從而進(jìn)一步養(yǎng)成見(jiàn)形思數(shù)、見(jiàn)數(shù)變形的良好解題習(xí)慣與能力[1].

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

（一）應(yīng)用于集合問(wèn)題

集合問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)中屬于基礎(chǔ)問(wèn)題，在此知識(shí)點(diǎn)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，可以幫助我們?cè)谌腴T(mén)階段便在腦海中形成一定的數(shù)學(xué)思維模式，以此來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.以下題為例：已知某班級(jí)共有40人，其中15人報(bào)考A競(jìng)賽，30人報(bào)考B競(jìng)賽，求有多少人同時(shí)報(bào)考A，B兩個(gè)競(jìng)賽.我們可以嘗試運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答此問(wèn)題，先針對(duì)題目中所給的條件進(jìn)行分析，提煉出“報(bào)考A競(jìng)賽的學(xué)生”并設(shè)置為A，設(shè)B={報(bào)考B競(jìng)賽的學(xué)生}，設(shè)同時(shí)報(bào)考A，B競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)為x人，進(jìn)行繪制出該集合問(wèn)題的文氏圖，得出card（A∩B）=5，由此可判斷同時(shí)報(bào)考A，B競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)為5人.

（二）應(yīng)用于函數(shù)問(wèn)題

通常我們會(huì)在函數(shù)取值問(wèn)題中存在一定的困惑，由于函數(shù)自身存在變量問(wèn)題，且范圍往往難以確定，對(duì)解答者的空間思維能力有著較為嚴(yán)格的要求，因此，我們可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜?wèn)題，調(diào)動(dòng)知識(shí)儲(chǔ)備進(jìn)行問(wèn)題的順利解答.以下題為例，設(shè)方程lg（-x2+3x-a）=lg（3-x）在x∈（0，3）內(nèi)存在唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.在解答此題時(shí)，我們可以嘗試將該函數(shù)方程向一元二次方程轉(zhuǎn)化，將此題轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)求解問(wèn)題，即3-x>0，-x2+3x-a=3-x， 進(jìn)而得出3-x>0，（x-2）2=1-a. 接下來(lái)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，設(shè)曲線z1=（x-2）2且x∈（0，3），直線z2=1-a，并畫(huà)出該二次函數(shù)的圖像.經(jīng)觀察圖像可以發(fā)現(xiàn)，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：① 當(dāng)1-a=0時(shí)存在唯一解，a=1;② 當(dāng)1≤1-a<4時(shí)存在唯一解，即-3

（三）應(yīng)用于幾何問(wèn)題

數(shù)形結(jié)合思想同樣適用于幾何問(wèn)題的解答，能夠?qū)崿F(xiàn)幾何問(wèn)題的數(shù)量化轉(zhuǎn)變，借助數(shù)值的計(jì)算實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題的簡(jiǎn)化.以下題為例，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)有一傾斜角為60°的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且|FM|=2|FN|，求該橢圓的離心率.我們應(yīng)當(dāng)先仔細(xì)觀察橢圓的圖像，進(jìn)而建立方程組x2a2+y2b2=1，y=3（x+c）， 依據(jù)題目條件|FM|=2|FN|可以得出FP=NN′+13（MM′-BB′）=13（MM′+2NN′）=13MFe+2NFe.接下來(lái)，在Rt△NL′F中，依據(jù)題目已知條件∠NFL′=60°，可得出NF=2FL′，由此可得出FP=FL′+L′P=NFe+NF2，結(jié)合題目所給條件|FM|=2|FN|，最終求得e=23，即該橢圓的離心率為23.

三、結(jié) 論

總而言之，高中階段學(xué)生的思維認(rèn)知正由成長(zhǎng)階段向成熟階段過(guò)渡，數(shù)形結(jié)合思想建立在高中生一定的學(xué)習(xí)與思考模式的基礎(chǔ)上，力圖將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與具象的圖形進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，推動(dòng)幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題之間的相互轉(zhuǎn)化，從而幫助我們更好地把握數(shù)學(xué)的規(guī)律、鍛煉思維建構(gòu)能力，促使解題效率得到顯著提高.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陸一冰.試論數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中國(guó)培訓(xùn)，2016（22）：204.

[2]張藝璇.關(guān)于高中數(shù)學(xué)幾何解題技巧之“數(shù)”“形”結(jié)合策略[J].亞太教育，2015（34）：73.