王全來

(天津師范大學(xué)計算機(jī)與信息工程學(xué)院,天津 300387)

1 引言

波利亞在三角積分零點實性上的工作散見于一些數(shù)學(xué)理論著作中,如萊文 (J.Levin)的“整函數(shù)零點分布”[1](1964).目前見到的涉及波利亞此方面工作的重要文獻(xiàn),國外有兩篇,國內(nèi)尚未見到.一篇是迪米夫 (K.Dimitrov),魯塞夫 (P.Rusev)的“整傅立葉變換的零點”[2](2011).但由于該文不是針對波利亞的工作進(jìn)行研究,因而對波利亞的文章未能全部且系統(tǒng)解讀,只涉及了波利亞的6篇文章,對他的思想演變過程和影響也未能深入探討.由于作者的著作目的和時間所限,只引用了4篇2000年之后的文獻(xiàn),且相關(guān)文獻(xiàn)引述不夠全面,如沃克 (P.L.Walker)的“某些三角積分的零點”[3](1988)就未在此列.另一篇是約拉托(G.Iurato)的“黎曼Zeta函數(shù)理論的一些歷史概況”[4](2013),該文只涉及了波利亞的4篇文章.他更未能對波利亞的工作進(jìn)行系統(tǒng)研究.本文在前人工作的基礎(chǔ)上,對波利亞的工作進(jìn)行深入探討,補(bǔ)充了一些重要文獻(xiàn),較為系統(tǒng)地研究波利亞的工作和蘊(yùn)含的重要思想,藉此梳理與波利亞工作有關(guān)的三角積分零點實性理論的發(fā)展脈絡(luò).

2 波利亞工作的研究背景

三角積分零點實性問題是古老方程理論問題的一個現(xiàn)代變形,其產(chǎn)生于對黎曼猜想的研究.1859年,黎曼發(fā)表“在給定大小之下的素數(shù)個數(shù)”的論文.該文內(nèi)容深刻,文筆簡練,忽略了許多證明.在20世紀(jì)初這導(dǎo)致蘭道,哈代的批評.他們評論道,黎曼只會做猜想,對于證明幾乎不問津.這種論點在1932年由賽格爾(C.L.Siegel)改變.賽格爾在哥廷根大學(xué)花了兩年的時間研究黎曼遺留的數(shù)學(xué)筆記,發(fā)表了相關(guān)論文,澄清了有關(guān)事實[5].

黎曼將素數(shù)分布問題歸結(jié)為函數(shù)問題,現(xiàn)稱為黎曼ζ(s)函數(shù).ζ(s)作為實變量函數(shù)由歐拉引入,而作為復(fù)變量函數(shù)由黎曼引入.黎曼簡要地斷言了該函數(shù)的一些重要性質(zhì),其中有一斷言至今未決,現(xiàn)稱為黎曼猜想.黎曼猜想是指ζ(s)的所有非實根位于臨界線上.黎曼給出

從整函數(shù)理論出發(fā)考慮關(guān)于(s?1)ζ(s)或類似函數(shù)的研究由阿達(dá)瑪在皮卡的指導(dǎo)下于1892年完成的博士論文中創(chuàng)立.阿達(dá)瑪?shù)哪康氖前颜瘮?shù)理論應(yīng)用于ζ(s)的研究,并為此完成三篇論文.胡爾維茲研究了阿達(dá)瑪?shù)倪@些論文,深受影響,并把有關(guān)研究結(jié)果第一個告知波利亞.波利亞和胡爾維茲關(guān)系很好,在1918年論文中稱他是可尊敬的學(xué)者.他整理其數(shù)學(xué)遺稿,并在1933年出版了全集.波利亞受他在ζ(s)上工作影響很大,并繼承他的有關(guān)思想.

延森(J.Jensen)在1911年的第二屆數(shù)學(xué)家大會上許諾將發(fā)表關(guān)于將代數(shù)函數(shù)理論方法用于黎曼函數(shù)的論文.這一點可從其論“方程理論研究”[6](1913)的簡短前言中得到證實.延森計劃發(fā)表5篇包含他在復(fù)分析和代數(shù)方面的研究結(jié)果.延森在第188至189頁上給出了計劃論文第五篇題為“階是1的函數(shù)類,特別是黎曼函數(shù)”的摘要,處理

在C的每個邊界子集上有

延森指出,這類函數(shù)的重要性歸于黎曼ξ函數(shù)有一個上述形式的表示.他得到如下結(jié)果,F(z)只有實根,當(dāng)且僅當(dāng)

只有實根,p=1,2,3,···.很遺憾,未發(fā)表.

除受胡爾維茲、延森的思想影響外,波利亞也受到外爾和蘭道的影響.外爾在1911-1914年間發(fā)表了一系列關(guān)于在某緊致域中拉普拉斯特征值的漸近分布的文章,激勵波利亞提出用物理方法解決黎曼猜想的思想.阿文達(dá)尼奧(A.C.Avenda?o)在2014年的論文中指出,波利亞在哥廷根向蘭道學(xué)習(xí)解析函數(shù)論期間,在1914年的一天,蘭道問波利亞“你知道黎曼猜想是對的物理原因嗎?”波利亞的回答是,“若(z)的非實根和物理問題有關(guān),黎曼猜想等價于物理問題的特征值為實的”[7].這個想法稱為希爾伯特-波利亞猜想,盡管他們并未發(fā)表任何與該想法相關(guān)的成果.但在當(dāng)時沒有證據(jù)能夠支持這種思想.塞爾伯格(A.Selberg)在“調(diào)和分析”(1956)中對此有所論及,但支持希爾伯特-波利亞猜想的第一個例子出現(xiàn)在蒙哥馬利(H.L.Montgomery)的工作中.1971年秋,他在假設(shè)黎曼猜想正確的情況下,證明關(guān)于黎曼函數(shù)零點間距的統(tǒng)計性定理[8].希爾伯特和波利亞猜想已在量子域理論中有重要應(yīng)用.

麥凱(R.S.Mackay)在2017年指出,黎曼猜想的策略是證明ξ的零點對應(yīng)于某個哈密頓算子的特征值,其原因為任意哈密頓算子的頻譜是實的.這個策略歸功于希爾伯特和波利亞[9].很奇怪,波利亞在他1926年的論文中沒有提到譜策略,也沒有使用譜策略證明相關(guān)問題.麥凱在該文中的目的是尋找一個哈密頓算子,其特征函數(shù)是(z),但此目標(biāo)沒有實現(xiàn).他通過不同的方法得到波利亞使用的函數(shù)2?(iw/2;π).

波利亞在“某類整函數(shù)的零點”(1918)和“具有實根的三角積分”(1927)中強(qiáng)調(diào),他在三角積分零點實性的工作來自于黎曼函數(shù)可以用三角積分表示,進(jìn)而可通過三角積分的研究探討黎曼猜想.基雅科瓦(V.Kiryakova)“關(guān)于魯塞夫的一些貢獻(xiàn)”(2012)中指出,波利亞開創(chuàng)了由傅里葉變換定義的整函數(shù)零點分布問題研究的主題,并成為系統(tǒng)研究三角積分零點實性的最大貢獻(xiàn)者.

3 波利亞的重要工作

波利亞在三角積分定義的整函數(shù)的零點實性方面的論文有 “某類整函數(shù)的零點”(1918),“某類超越整函數(shù)零點分布的幾何學(xué)”(1920),“由傅里葉積分表示的整函數(shù)的零點”(1923),“某類三角積分的零點”(1926),“黎曼zeta函數(shù)積分表示的注釋”(1926),“歐拉的超越方程的注記”(1926),“具有實根的三角積分”(1927),“延森的代數(shù)函數(shù)理論研究”(1927)等8篇文章.本文對這8篇文章進(jìn)行深入解讀,較為系統(tǒng)地揭示波利亞的重要思想和方法.

的零點分布,其中f(t)在[0,1]內(nèi)是非負(fù)非遞減函數(shù).在該文前言中,波利亞給出了只有實根的的例子,其中J0(z),J1(z)為貝塞爾函數(shù).波利亞在這些事實的激發(fā)下研究f(t)的性質(zhì),使U(z),V(z)只有實根.

為了形式化和證明相關(guān)定理,他在該文中引入實函數(shù)f(t)的類P[0,1),t∈[0,1].若f([0,1))是一個有限集,對這個集合的子集C,f?1(C)為[0,1)內(nèi)以有理數(shù)為端點的子集,則稱該函數(shù)f(t)∈P[0,1)為例外情況,否則為一般情況.關(guān)于U(z),V(z)的主要結(jié)果是:若f(t)∈P[0,1)為一般情況,則U(z),V(z)只有單重實根,且規(guī)律分布.若f(t)為例外情況,則U(z),V(z)只有實根,且有無窮多個是相同的,每個這樣的根對V(z)是二重的,U(z)是單重的.若f(t)是遞增的凸函數(shù),則V(z)只有實根;若f(t)是遞增的凸函數(shù),右導(dǎo)數(shù)不屬于例外情況,則U(z)在((2k?1)π/2,kπ),k∈N只有一個根,沒有虛根.若f(t)是遞減的凸函數(shù),f′(t)為右導(dǎo)數(shù),?f′(t)屬于一般情況,則U(z)只有實根.f(t)是遞增的凸函數(shù),f(α)=0,α∈(0,1),若則U(z)只有實根.若則U(z)只有兩個非實根.只有實根且有無窮多個相同根,比U(z),V(z)更大的函數(shù)類在魯塞夫的1974年的文章中給出[10].卡薩多瓦(I.M.Kasandrova)在“只有實根的一類整函數(shù)的一些結(jié)果”(1977)中給出了保證這些相同根的充分條件為U(z),V(z)只有實根,且每個函數(shù)的兩個相鄰根的距離不大于π.一個類似問題在卡薩多瓦的“一類整函數(shù)零點的分布”(1984)中再次討論[11].賽勒斯基(A.M.Sedletski)在2000年考慮了一般情況,刪掉了他證明,若f(t)是正的非遞減凸的非常值函數(shù),則V(z)只有單重實根,0≤t≤1[12].基(H.Ki),金姆(Y.Kim)在“實整函數(shù)非實根數(shù)和傅里葉-波利亞猜想”(2000)中在假設(shè)f(t)∈P[0,1)的一般情況下,探討U(z),V(z)的非實根情況.

則F只有實根,且在區(qū)間 ((2n?1)π/2σ,(2n+1)π/2σ)內(nèi)只有一個根[13].

設(shè)f(t)在[a,b]內(nèi)為連續(xù)正的實整函數(shù),除有限個點外可導(dǎo),

不恒為常數(shù),波利亞證明

的所有零點都位于α1內(nèi).波利亞考慮函數(shù)f(t),t∈(0,α),

的零點總是位于?1

值得一提的是,格洛莫(J.Grommer)在希爾伯特指導(dǎo)下完成博士論文“具有實根的超越整函數(shù)”(1914).波利亞在該博士論文中發(fā)現(xiàn)了胡爾維茲關(guān)于只具有實根的整函數(shù)未出版的定理之一的一種改進(jìn),這在關(guān)于胡爾維茲的遺文評論中有詳細(xì)介紹.胡爾維茲和波利亞一直在討論這個問題,在胡爾維茲的日記中有“波利亞定理”的記載.在該日記中,記有關(guān)于拉蓋爾(E.Laguerre)定理的注記及貝赫爾(C.Biehler)關(guān)于整函數(shù)實根的定理應(yīng)用與評論.在1914年2月26日,波利亞發(fā)表了與之有關(guān)的一篇文章“整函數(shù)的一個問題”.貝赫爾在“全部實根的代數(shù)方程類”(1880)中涉及該問題.胡爾維茲在該日記中提到“貝赫爾定理漂亮的應(yīng)用昨晚進(jìn)入我的腦?！?

在該文第六部分“零點的區(qū)分”中,波利亞探討

的零點分布問題,其中α≥?1.他得到,當(dāng)α>1時,該函數(shù)無實根.當(dāng)α=1時,該函數(shù)只有二重實根.當(dāng)?1≤α<1時,該函數(shù)只有單重實根.該例后來在 “歐拉的超越方程的注記”(1926)中重新探討.波利亞在該注記的注腳處指出,在前段時間討論過Fα(z)的實根問題.現(xiàn)在所用方法有些不同.該例其實歐拉早先處理過 1?z2/α(α+1)+z4/α(α+1)(α+2)(α+3)?z6/α(α+1)(α+2)···(α+5)+···=0,其中α>0.波利亞指出,“他不知道歐拉的日記,該函數(shù)是在 1791年發(fā)表的一篇歐拉筆記的文章中提到,鮮為人知,但非常有意義,它是關(guān)于z的整函數(shù)的第一個例子,由Fα(z)表示.歐拉注意到α=1,2,3,4時的根的情況后,令人欽佩的斷言道,當(dāng) 0<α≤3時,Fα(z)只有實根;當(dāng)α>3時,Fα(z)無實根.歐拉近似計算了α=1/2,1/3,1/4時的根.歐拉沒有證明該斷言.這是一個非常幸運的斷言,該斷言可以在不訴諸復(fù)雜運算和推理過程下完成”.波利亞用關(guān)于多項式的有關(guān)理論推導(dǎo)了該斷言.在“只有實根的三角積分”(1927)中給出更一般結(jié)果.

在這篇文章里,另一有興趣的注釋是波利亞用維格特定理代替最小模定理確定了對于有限階的整函數(shù)的阿達(dá)瑪乘積表示.波利亞在“有限階的超越整函數(shù)乘積的新證明”(1921)中以完全不同的方法證明了該定理.

在該文第七部分“收斂指數(shù)的確定”中,波利亞只假設(shè)f是可積時,處理了

的具有收斂指數(shù)1的零點列問題.當(dāng)F(z)為指數(shù)可和時,類似情況在波利亞的“某類超越整函數(shù)零點分布的幾何學(xué)”(1920)中討論.這篇論文的目的是對指數(shù)多項式零點分布從幾何角度研究,給出一般性定理,但沒有證明.詳細(xì)和進(jìn)一步的結(jié)果出現(xiàn)在其學(xué)生施溫格勒(E.Schwengeler)的博士論文中[14](1925).蒂奇馬什(E.T.Titchmarsh)在“某類整函數(shù)的零點”(1926)中對此也有進(jìn)一步的闡述.波利亞的這個工作開創(chuàng)了指數(shù)類型的整函數(shù)零點分布的現(xiàn)代理論.波利亞除在“第105個問題解的注釋”(1933)及“整函數(shù)和多重傅里葉積分”(1937)中有所涉及外,他沒有對這個主題做太多貢獻(xiàn).中國學(xué)者李文清在20世紀(jì)50年代末期也對此問題有深入研究.

在該文中,波利亞隱含地給出了給定一個函數(shù)為特征函數(shù)的充分條件:f是在R上的實值連續(xù)函數(shù),f(0)=1,f(t)=f(?t),f是凸的,對于該結(jié)果被波利亞在“函數(shù)方程的高斯誤差定理分析”(1923)中使用.他在1949年加州大學(xué)伯克利分校學(xué)術(shù)會議上宣讀的論文“特征函數(shù)的注釋”中再次闡述并給出一些有意義的例子.

波利亞在1918年的論文中指出這種通過研究傅里葉變換零點實性的方法不能順利得到黎曼猜想的完整證明.蒙哥馬利在1973年提出的“對相關(guān)猜想”支持了波利亞的這一論斷.

有無窮多個實根.當(dāng)α=2時,Gα(z)對于實變量值恒正.據(jù)此,他猜測

也如此,但事實相反.他的想法受到龍格和波利亞關(guān)于積分方程實可積性問題的影響.波利亞在“關(guān)于龍格處理的積分方程”(1914)中曾論及.

波利亞在“由傅里葉積分表示的整函數(shù)的零點”(1923)中開頭提到,“我們不具備一般方法討論由傅里葉積分表示的整函數(shù)的零點的實性(這樣的方法對黎曼zeta函數(shù)可以應(yīng)用).我在這闡述一種特殊情況,在其中的討論不僅瑣碎,而且可在已知結(jié)果的幫助下進(jìn)行”.波利亞考慮

的零點分布,α取正實值,證得以下結(jié)果:若α=2,則Gα(z)無根.若α=4,6,···,則Gα(z)有無窮多個實根,無復(fù)根.若α>1不是偶整數(shù),則Gα(z)有無窮多個復(fù)根,實根數(shù)不超過 2[α/2].這個結(jié)果的一般化由布魯因 (de Bruijn)在 1950年給出[16].卡米牟特(J.Kamimoto)在1998年證明該函數(shù)除了有限個零點外都是單重的,并猜想α=4,6,···時,該函數(shù)的所有零點都是單重的.卡米牟特,基,金姆在 1999年把該猜想一般化,證明這個函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的零點都是單重的[17].哈勒姆(M.Hallum)在2014年排除了α<1的情況,對波利亞的結(jié)果給出了詳細(xì)證明,方法略有不同[18].

柯西在 1853年,萊維在 1923年證明Gα(z)≥0,0<α≤2,x∈R.伯韋爾 (R.Burwell)在 “廣義超幾何函數(shù)的漸近展開”(1924)中對α=3,4,5,···討論了Gα(z)的漸近展開,證明α=4,6,···時,Gα(z)的復(fù)根數(shù)是有限的.

波利亞的 “某個三角積分的零點”(1926)專攻黎曼猜想,由下面的評論開始,“函數(shù)F(u)具有何種性質(zhì)才能充分保證積分

則G(z)為黎曼ξ(z)函數(shù)”.“我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些準(zhǔn)則回答提出的問題,但在這不能給出,因為他們相當(dāng)不系統(tǒng),且有試探性的特征.我舉一些例子,證明G(z)為具有實根的整函數(shù)”.波利亞給出整函數(shù)G(z)只有實根的一些具體情況.

(1)F(u)=(1?u2n)α?1,0≤u<1,α>0,F(u)=0,1≤u<∞;

(2)F(u)=exp(?u2n?αu4n)α?1,α>0;

(3)F(u)=exp(?2αcoshu),α>0;

(4)F(u)=8π2exp(?cosh(2u))cosh(9u/2);

(5)F(u)=(8π2cosh(9u/2)?12πcosh(5u/2))exp(?2πcosh(2u)).

這5種情況的傅里葉變換的零點實性在該文中未證明.波利亞利用哈代的方法得到下面簡單的準(zhǔn)則:對于實值u,設(shè)F(u)是一個偶的解析實值函數(shù),且有

若G(z)只有有限多個實根,則存在一個整數(shù)N,使得 |F(n)(it)|是t的增函數(shù),若n>N,0

情況(1)是貝塞爾函數(shù)Jα?1/2(z),其零點都是實的,在 1918年論文中出現(xiàn),一般形式為“只有實根的三角積分”(1927)定理II的例子,情況(2)為“只有實根的三角積分”(1927)中定理 I的例子,情況 (3)在 “黎曼 zeta函數(shù)積分表示的注釋”(1926)中證明,在 “只有實根的三角積分”(1927)中再次證明.蒂奇馬什在 “黎曼 zeta函數(shù)理論”(1951)中詳細(xì)討論了情況(4)和(5).在討論(4)時,在指數(shù)處漏掉2π.

在“黎曼Zeta函數(shù)表示的注釋”(1926)中,波利亞討論了余弦變換零點的分布問題.蘭道在 1913年與他的一次交談中提到當(dāng) Φ(u)由 4π2exp(9u/2?πexp(2u))代替時,是否只有實根.這導(dǎo)致波利亞定義

證明它只有純虛根.通過ξ?(z)=2π2?(iz/2?9/4;π)+?(iz/2+9/4;π),證明ξ?(z) 只有實根.比恩(P.Biane)在2009年主要考慮?(iz/2;π)為ξ的另一種近似.他定義函數(shù)

麥克唐納函數(shù)零點的譜解釋在當(dāng)時已眾所周知,但波利亞沒有提到.波利亞利用 (2μ/x)Kμ(x)=Kμ+1(x)?Kμ?1(x)以非常聰明的方法證明?(z;x)的零點為純虛根，而比恩利用Kiμ(x)的積分表示及固定相位法得到同樣的結(jié)果.卡茨(M.Kac)在評論波利亞的這篇文章時指出ξ?(z)的結(jié)果可以通過伊辛模型中的李-楊定理推導(dǎo)得到.卡茨評論到:“盡管這篇美麗的文章把人帶到了與黎曼猜想極短的距離,但它似乎不能激發(fā)出更多進(jìn)一步工作,且在后來數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中參考它的是相當(dāng)缺少的”.比恩在該文中指出“由波利亞考慮的函數(shù)以一種非常巧妙的方式與黎曼ξ函數(shù)有關(guān),而不是一眼見到它立即就能體現(xiàn)出來的,進(jìn)一步講,這種關(guān)系的本質(zhì)是概率的,應(yīng)以這種觀點看待波利亞的論文”.

布魯因深受波利亞的影響,在1950年的論文中使用一個非標(biāo)準(zhǔn)積分表示

只有實根.他也給出第二個近似

證明該變換只有實根.Ξ(2z)的積分形式后來在索達(dá)斯 (G.Csordas),諾米柯 (S.Norfolk),瓦爾加(S.Varga)的“對于布魯因-紐曼常數(shù)Λ的下界”(1988)中使用.海哈爾(D.Hejhal)在1990年證明,當(dāng)

加斯珀(G.Gasper)在1994年“利用平方和證明某類整函數(shù)只有實根”論文的基礎(chǔ)上,在2008年給出利用某個實值特殊函數(shù)的平方的積分給出ξ?(z),Kiz(a),Fa,c(z)等函數(shù)零點實性的新證明,并用于證明海哈爾的有關(guān)結(jié)果[22].波利亞在“只有實根的三角積分”中指出G(z)=K1/2iz(a),并證得

只有實根.史把ξ?表示為 4π2(K(iw/2)+9/4(2π)+K(iw/2)?9/4(2π)).孔泰 (A.Comtet)在1993年進(jìn)行研究,麥凱在1997年曾暗示貝里(M.Berry).以此為據(jù),貝里和基廷(P.Keating)在 “黎曼零點和特征值近似”(1999)中用譜方法證明黎曼猜想,得到較好結(jié)果[23].

在該文中還包括下面的命題：a>0,G(z)為0類或1類整函數(shù),對于實值z取實值,沒有虛根,且至少有一個實根,則G(z?ia)+G(z+ia)只有實根.波利亞用該命題研究函數(shù)ξ?(z),證明ξ?(z)和ξ(z)在臨界線上有相同的零點數(shù).他在文末注腳處指出對于最佳估計 (2π2cosh(9u/2)?3πcosh(5u/2))exp(?2πcosh 2u)可有同樣的結(jié)果.布魯因已把該定理以不同的方式一般化,不同于后來的卡登(A.Cardon).卡登在2000年推廣為 ∑G(±ia1±ia2±···±ian)exp(±ib1±ib2±···±ibn),其中ai>0,bi為實數(shù).

(1)F(?t)=F?(t),?表示共軛運算;

(2)F(t)是局部可積的;

(3)存在正常數(shù)A和α,當(dāng) |t|充分大時,|F(t)|≤Aexp(?|t|2+α).波利亞討論了F(t)在何條件下只具實根.為了形式化和證明他的結(jié)果,他引入了保證根的實性的廣義因子概念.φ(t)為廣義因子,若對任意具有實根的整函數(shù)

也只有實根.他證明實解析函數(shù)φ(t)是一個廣義因子,當(dāng)且僅當(dāng)在C內(nèi)φ(iz)為第二類整函數(shù).他推導(dǎo)出一個傅里葉變換的零點和廣義因子定理,利用“波利亞-舒爾函數(shù)”把先前有關(guān)論文的結(jié)論一般化.

設(shè)實函數(shù)f(t)是絕對局部可積的,且存在正常數(shù)B,β,使得

假設(shè)f(t)在原點的鄰域內(nèi)可解析開拓,波利亞證明復(fù)函數(shù)

只有實根.若P(z)為只有負(fù)根的實代數(shù)多項式,l,q為正整數(shù),則

也只有實根.令P(t)=(1+t)k+l?1,波利亞得到

也只有實根.魯塞夫在“一類整函數(shù)零點的分布”(1961)中把

的零點分布推廣到黎曼-斯特靈積分意義下的整函數(shù)的零點分布.設(shè)f(t)和Ψ(t)是實函數(shù)使得是遞增凸函數(shù),則

只有實根，其中0≤t≤1.

布里奧因(L.Brillouin)在1916年,伯韋爾在1924年利用漸近展開法研究

的零點分布,更為準(zhǔn)確的結(jié)果由塞努夫(D.Senouf)在1996年得到[24].波利亞在1927年研究了

則φ1(z)無根.對于n≥2,φn(z)有無窮多個實根.巴霍姆(N.G.Bakhoom)在1935年有論及[25].這些結(jié)果的一般化由布魯因在1950年得到,卡米牟特,基,金姆在“拉蓋爾-波利亞函數(shù)零點的重數(shù)”(1999),卡登在“只具實根的傅里葉變換”(2004),基,金姆在“傅里葉積分的零點分布和近似行為”(2007)中有進(jìn)一步的研究.帕里斯(B.Paris)在“關(guān)于一類傅里葉積分的近似性和零點”(2012)中通過使用萊特函數(shù)的近似理論得到它們的漸近展開,并考慮這些積分的實根和復(fù)根情況.這一方法不同于前人使用最速降線法.這些結(jié)果后被推廣到類似結(jié)構(gòu)的p維傅里葉積分.

胡斯諾夫(H.Huseynov)在2009年證明了一個定理使得波利亞論文中的函數(shù)F(λ)只有實根,其中

這些結(jié)果波利亞通過使用拉蓋爾定理得到,而胡斯諾夫利用自己證明的定理完成[26].

很可能受對胡爾維茲遺稿研究的激勵,波利亞研究延森的遺文,使他完成一篇關(guān)于黎曼Zeta函數(shù)積分表示的全面考察的論文“延森的代數(shù)函數(shù)理論研究”(1927).文章主要部分是“某個三角積分零點的實性”,在其中討論exp(?λz2)H(z)的零點問題,其中函數(shù)H(z)的階小于2,λ為非負(fù)實數(shù).他特別研究

情況,Ψ(t)滿足下面性質(zhì):

(1)Ψ(t)是不恒等于0的非負(fù)實函數(shù);

(2)Ψ(t)任意階可導(dǎo);

(4)F(z)的階小于2.

黎曼ξ函數(shù)為該函數(shù)特例.波利亞指出當(dāng)t→±∞時,Φ(t)近似于

波利亞在延森遺稿中發(fā)現(xiàn)一些關(guān)于F(z)零點分布的結(jié)果,并形式化.

(1)若 Ψ′(t)≤0,t≥0,則F(z)沒有實根;

(2)若F(z)在?k≤Im(z)≤k內(nèi)有無窮多個根(k>0),則

(3)若F(z)只有實根,且F(z)=b0?b1z2/1!+b2z4/2!+···,則b0,b1,b2,···符號相同.

波利亞指出F(z)零點實性的必要條件為該族不等式構(gòu)成了黎曼猜想正確性的必要條件,因為任何一個失敗,則該猜想都不能證明.關(guān)于這個問題的第一個進(jìn)步由格勞斯瓦爾德(E.Grosswald)在1966年邁出.索達(dá)斯,諾夫柯,瓦爾加在“黎曼假設(shè)和圖蘭不等式”(1986)中繼續(xù)研究,把直接計算轉(zhuǎn)化為核Φ(t)的矩不等式,對充分大的n進(jìn)行證明.索達(dá)斯和瓦爾加在1988年對更一般核進(jìn)行研究.遺憾的是,該不等式對黎曼ξ函數(shù)不滿足.

波利亞在該文中研究了F(z)不具有形式 exp(αz)P(z)的情況,其中α為常數(shù),P(z)為代數(shù)多項式.令

則F(z)只有實根當(dāng)且僅當(dāng)x為實數(shù),n=1,2,···.波利亞探討

當(dāng)01時,F(z)無實根.

伯爾(H.Bohr),蘭道在1914年證明ζ(s)的大部分復(fù)根位于1/2?δ<σ<1/2+δ,δ>0.受他們影響,哈代在1914年證明在ζ(s)的零點中,有無窮多個位于直線σ=1/2.蘭道在 1915年曾評價道:“對于數(shù)學(xué)最大的進(jìn)步最近一段時間屬于哈代關(guān)于黎曼ζ(s)零點的注記”.在胡爾維茲的數(shù)學(xué)遺稿中可以找到哈代證明的梗概.波利亞在該文中利用上述判斷準(zhǔn)則改進(jìn)了哈代的證明.蘭道在“數(shù)論講義”(1927)中也給出一個簡單證明.哈代證明較簡略,查迫靈(R.Chapling)在“哈代定理的哈代證明”(2014)中增補(bǔ)了哈代證明的細(xì)節(jié).桑格爾(U.K.Sangale)在“關(guān)于哈代定理的注記”(2016)中給出哈代關(guān)于黎曼ζ(s)的簡單證明.

4 波利亞思想的影響

受波利亞 1918年和 1920年相關(guān)工作的影響,蒂奇馬什在 “某類整函數(shù)的零點”(1926)中研究

的零點分布,其中f(t)為實可積函數(shù),或f(t)=f1(t)+if2(t),f1(t),f2(t)在相同區(qū)間內(nèi)是實可積函數(shù).他把∫化為

的形式進(jìn)行研究,并探討當(dāng)f(t)滿足由波利亞1918年論文中的條件時,F(z)的零點分布情況.

謝卡洛夫(L.Tschakalo ff)受波利亞工作影響,在1927年致力于研究這樣一類整函數(shù),記為類(A),其零點在上半平面內(nèi)的代數(shù)多項式或這類多項式的極限構(gòu)成的函數(shù),主要結(jié)果可看作是埃爾米特-比勒定理的推廣.他證明

有無窮多個單重實根,α∈R,σ≥1/2.設(shè)f(t)是在(-1,1)內(nèi)非負(fù)非遞減的有界實函數(shù),若α是實數(shù),則

有無窮多個實根.若f(t)是波利亞意義下的一般情況,則Hα(z)的全部根是單重的;當(dāng)α?β不是π的倍數(shù)時,則Hα(z)的每兩個相鄰根之間存在唯一Hβ(z)的根.在此基礎(chǔ)上,他證得

只有實根.

設(shè)f(t)是在[?1,1]內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的實函數(shù),若

至少有一個不等于0,則Hα(z)有無窮多個實根,有有限多個非實根.Hα(z)有有限多個重根,且相鄰的實根之差在無窮處收斂于π[27].謝卡洛夫在1949年討論在p(z)是有任意復(fù)系數(shù)代數(shù)多項式情況下,

的非實根數(shù)問題,特別指出,若p(z)是一個m次的實多項式,則至多有m個非實根[28].

受波利亞工作影響,奧布雷克夫 (N.Obrechko ff)在1941年得到奧布雷克夫h-定理[29].設(shè)f(t)在 (0,1)內(nèi)是正的非遞減函數(shù),實多項式h(z)的零點位于半平面 Rz≤1/2內(nèi),則只有實根.奧布雷克夫通過代數(shù)多項式零點結(jié)果獲得只有實根,其中λ>0,R(z)為只有實根的多項式,φ(t)和ψ(t)在 (0,λ)內(nèi)是非負(fù)函數(shù),φ(t)是非增的,ψ(t)是非減的,φ(0)≤ψ(0),f(t)=φ(t)+ψ(t),0≤t≤λ,f(t)=f(?t),?λ≤t≤0.

在研究具有相應(yīng)積分表示的復(fù)多項式類零點分布中代數(shù)傳統(tǒng)出現(xiàn)于博約羅夫 (E.Bojoro ff)的 1949年論文中[30].令實函數(shù)f(t)和φ(t)滿足條件f(t)>0,φ(t)>0,t∈(0,a),a>0;f(t)是遞增的,φ(t)是遞減的,定義

只有實根.迪米夫在1960年推廣了博約羅夫的結(jié)果[31].令R(z)為具有實根的多項式,則

只有實根.若 |λ|≤1,則

只有實根.

伊利夫(L.Ilie ff)在“某類多項式和整函數(shù)的零點”(1940)中給出一個波利亞關(guān)于

的零點實性的初等證明.他證得

等只有實根,推廣了波利亞的結(jié)果.在“一類整函數(shù)零點的分布”(1948)中,伊利夫給出了產(chǎn)生一類整函數(shù)類的方法,該整函數(shù)定義為只具實根的有限的余弦變換.這篇文章中的結(jié)果在“只具實根的整函數(shù)”[32](1949)中發(fā)表.令函數(shù)ψ(t)在(0,1)內(nèi)正可積,

在(0,1)內(nèi)非負(fù)增加可積,

在1955年,伊利夫?qū)φ道锶~變換零點分布進(jìn)一步研究,得到更為一般的結(jié)果[33].令p(z)為實偶多項式,或?qū)嵟颊瘮?shù)使 (1)p(a)=0,a>0;(2)p′(iz)在類 LP中.A(a)表示滿足條件(1)和條件(2)的實偶函數(shù)p(z)的集合,z∈C.若p(z)∈A(a),p(0)>0,λ>?1,則只有實根.波利亞的只有實根,是實偶函數(shù) 1?z2q在 A(1)中的結(jié)果,q為正整數(shù),λ>?1.若p′(iz)只有實根,正整數(shù)n>p(0),則存在一個唯一的正實數(shù)列an,使則只有實根,n充分大.令f(z)為非常值實偶函數(shù),使f′(iz)在類LP中,若f(t)≥0,t∈(0,∞),則只有實根,推廣了波利亞的有關(guān)結(jié)果.雷尼(A.Rényi)在1950年推廣了伊利夫的研究結(jié)果.令n和m表示非負(fù)整數(shù),實函數(shù)f(t)∈Cn(0,1),滿足條件:

(1)f(k)(1)=0,k=1,2,3,···,n?1;

(2)g(t)=t?mf(n)(t)是(0,1)內(nèi)非負(fù)非遞減的可積函數(shù);

(3)若n+m為奇數(shù),f(2k+1)(0)=0,1≤2k+1

只有實根.若n+m為偶數(shù),f(2k)(0)=0,2≤2k

只有實根.設(shè)p(x)為非常值實代數(shù)多項式,0作為p(x)根的重數(shù)為k,1的重數(shù)為q.若k≤q,則存在正數(shù)a0使得只有實根.若k>q,對每個a,上述函數(shù)不只有實根.托多里諾夫(S.Todorinov)在1957年基于埃爾米特-比勒定理證得[34].

布魯因通過利用轉(zhuǎn)移因子代替微分因子法,利用余弦變換建立了一個多項式導(dǎo)數(shù)非實根分布的延森定理的一個類似定理.當(dāng)由更一般的超越整函數(shù)代替余弦函數(shù)時,是否有類似定理.這個問題在格雷文(T.Graven),索達(dá)斯在1994年提出,但未解決.該問題其實在阿蒂亞(M.F.Atiyah),博特(R.Bott),嘉定(L.Garding)“具有常系數(shù)的雙曲微分算子的缺項Ι”(1970)中已見端倪.之后,格雷文,索達(dá)斯,史密斯(W.Smith)在“整函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點和波利亞-威曼猜想”(1987)中也有所論及.

在該文中,布魯因提出如下問題:設(shè)F(t)為一個定義在實軸上的復(fù)值可積函數(shù),F(t)=O(exp(?|t|b))(|t|→∞),對某常數(shù)b>2,F(?t)=F?(t),ε>0,除有限個F(t)的傅里葉變換零點外都位于Im(z)≤ε內(nèi).在這些假設(shè)下,對λ>0,exp(λt2)F(t)的傅里葉變換是否只有有限個復(fù)根.基,金姆在2003年對該問題給出肯定回答[35].

波利亞第一個考慮了在 [0,1]上實黎曼可積函數(shù)的傅里葉變換零點實性與多項式零點分布之關(guān)系.借此他成功證明U(z),V(z)只有實根.在 “一類整函數(shù)零點分布”(1961)中,魯塞夫研究了多項式零點的漸近性和U(z),V(z)零點分布之關(guān)系,推廣伊利夫定理,其結(jié)果在 K.Do?cev 1962的文章中得到加強(qiáng)[36].Do?cev引入函數(shù)類Lα(λ),α,λ>0,即在[0,1]上復(fù)值黎曼可積函數(shù)f(t)具有性質(zhì),對任意δ>0,當(dāng)n充分大時,多項式∑f(k/n)zk,n=1,2,3,···的全部零點位于圓|z|<1+(λ+δ)n?α內(nèi).若f(t)∈L1(λ),則的零點位于Im(z)≥?λ內(nèi).若f(t)∈L(λ),α>1,則的零點位于 Im(z)≥0內(nèi).卡薩多瓦在“一類指數(shù)類型的整函數(shù)零點分布”(1975)中指出,若令f(t)在[0,1]上是實勒貝格可積函數(shù),若

則U(z)的零點位于平行于實軸的線條上;若

則V(z)的零點位于平行于實軸的線條上.他在1976年進(jìn)一步完善Do?cev有關(guān)結(jié)果.當(dāng)α=1時,研究的零點分布情況.

魯塞夫在1973年通過運用博約羅夫在1955年的論文中引入的函數(shù)類F及伯恩斯坦多項式理論證明

只有實根,其中F(t)∈B∩F,F(1)0是有界的實函數(shù),f(t)∈ε是實黎曼可積函數(shù).B表示由

的函數(shù)F(t)構(gòu)成的集合,F表示由

一個給定的代數(shù)多項式的零點在單位圓內(nèi)的算法出現(xiàn)在舒爾“只具負(fù)實根的代數(shù)方程”(1921)中,并在科斯托瓦 (M.Kostova)“類ε函數(shù) II”(1973)和 “舒爾定理的應(yīng)用”(1973)中應(yīng)用.他在 “類ε函數(shù) II”中指出,若f(t)∈ε,則只有實根.在“舒爾定理的應(yīng)用”中,他提供了給定一個類ε函數(shù)產(chǎn)生同類函數(shù)序列的方法.

確定一個傅里葉變換是否只有實根的起源問題,除數(shù)論中的黎曼猜想外,另一個與數(shù)學(xué)物理中的李-楊定理和量子域理論有關(guān).紐曼作為數(shù)學(xué)物理方面的專家較早涉及該問題.他在1976年引入他指出,若b≤?1/8,則b(z)只有實根[38].這些結(jié)果來自于某些量子域理論問題研究,但出于教學(xué)方法考慮,以黎曼猜想背景呈現(xiàn).受其影響,舒馬赫(D.Schumayer),胡爾欽森 (D.A.W.Hulchinson)在2011年也從物理角度論述此問題.在該文中出現(xiàn)了現(xiàn)今稱為的布魯金-紐曼常數(shù).該常數(shù)由索達(dá)斯,諾夫柯,瓦爾加在1988年引入.黎曼假設(shè)等于說該常數(shù)小于等于0.奧德林克(A.M.Odlyzko),基等進(jìn)一步加強(qiáng)紐曼結(jié)果.

波利亞,斯?jié)晒旁?“分析學(xué)中的問題和定理”(1978)中指出若f(t)在 [0,1]上為正的可積遞增函數(shù),則的零點為實的.沃克在 “某些三角積分的零點”(1988)中指出,當(dāng)弱化可積性條件時,結(jié)論仍有效,如的根為實的,b>0,0

索達(dá)斯,瓦爾加在1990年研究

的零點,Φ(t)為雅可比theta函數(shù).當(dāng)00.11時,HR(x)是否具有一些非實根未知?基,金姆在“關(guān)于傅里葉變換的零點的紐曼結(jié)果的一般化”(2004)中再次研究,并以乘積序列術(shù)語闡述.

卡登在“卷積運算和整函數(shù)零點”(2000)中令G(z)是階小于2的具有實根的實整函數(shù),存在分布函數(shù)F(z)使卷積

只有實根.他在 “卷積運算和整函數(shù)的零點”(2002),“卷積運算和具有單重零點的整函數(shù)”(2002)等文章中把某些分布函數(shù)μ(t)進(jìn)行分類,使只有實根.他在 “只有實根的指數(shù)函數(shù)的和”(2004)中運用波利亞的輔助定理和證明過程,得到只有實根.他在 2005年特征化某些μ(t),使傅里葉變換只有實根[42].卡登的工作得益于皮利斯(I.Pinelis)在1994年論證的概率問題.亞當(dāng)斯(R.Adams),卡登在2007年證明埃爾米特-比勒類整函數(shù)的乘積和只有實根,推廣了卡登結(jié)果[43].應(yīng)用這些結(jié)果構(gòu)造只有實根的指數(shù)函數(shù)和的函數(shù).

賽勒斯基(A.M.Sedletskii)在2009年在波利亞1918年論文及其2000年論文的基礎(chǔ)上,在附加條件不是很大,且f(+0)>0下,討論了U(z),V(z)小數(shù)目零點分布.對米塔格-萊弗勒函數(shù)的小數(shù)目零點分布也進(jìn)行了討論.

索達(dá)斯在“正定核的傅里葉變換和黎曼ξ函數(shù)”(2014)中開篇指出,直到現(xiàn)在也無已知的充要條件使一個好的核K(t)滿足傅里葉變換只有實根.索達(dá)斯在該文中考察整函數(shù)可表示為某些可接受核的傅里葉變換的零點分布,主要結(jié)果揭示正定核的博赫納-卡欣奇-馬賽厄斯理論和廣義實拉蓋爾不等式之間的緊密聯(lián)系,雅可比theta函數(shù)的凹凸性在整個工作中起著重要作用.

在最近的研究中,寇百雅士 (H.Kobayashi)在 “與黎曼ζ(s)函數(shù)關(guān)聯(lián)的ξ(s)和(t)的結(jié)果”(2016)中,采用對核S(t)進(jìn)行分解的方法研究的零點分布.波爾森(G.Polson)更是提出了利用整函數(shù)的阿達(dá)瑪因子法,研究核Φ(t)滿足何種性質(zhì)以充分保證傅里葉變換只有實根的問題[44].

5 結(jié)語

使某一函數(shù)K(t)的傅里葉變換是一個只有實根的整函數(shù)問題是一個未決問題.索達(dá)斯,楊在“有限傅里葉變換和黎曼ξ函數(shù)的零點”(2005)中指出“無已知的充要條件使一個好的核K(t)的傅里葉變換只有實根.正是這個基本問題激發(fā)了處理實整函數(shù)由傅里葉變換表示的零點分布的一些結(jié)果和問題”.

波利亞和許多其他的數(shù)學(xué)家都做了一些重要的工作,并提供了關(guān)于傅里葉變換的零點分布有興趣和挑戰(zhàn)性問題,使得這個主題不斷創(chuàng)新且有各種現(xiàn)代成果出版.波利亞是系統(tǒng)研究三角積分零點實性的最大貢獻(xiàn)者,他不僅提出了廣義因子法和近似方法,奠定了其后三角積分零點實性研究的基礎(chǔ),而且其思想和方法一直影響到現(xiàn)在,其工作成為當(dāng)今三角積分零點介紹和研究不可忽視的內(nèi)容.