邱春冬 楊玉志 王春云
南京大學(xué)醫(yī)學(xué)院附屬鼓樓醫(yī)院 臨床醫(yī)學(xué)工程處,江蘇南京 210008
在實際維修工作中,CT球管出現(xiàn)的故障次數(shù)較少,是典型的小子樣和貧信息系統(tǒng),因此考慮選用灰色模型來對CT球管的故障間隔期進行預(yù)測?;疑獹M(1,1)模型的預(yù)測數(shù)據(jù)比較平滑,在對服從指數(shù)分布的序列進行預(yù)測方面具有一定的優(yōu)勢,但是如果序列數(shù)據(jù)隨機波動比較大,那么用灰色GM(1,1)模型預(yù)測就不能保證預(yù)測的可信度[1-3]。因此,本文在灰色GM(1,1)模型的基礎(chǔ)上建立灰色馬爾科夫鏈模型來對CT球管的故障間隔期進行預(yù)測,灰色馬爾科夫鏈模型對兼具趨勢性和波動性的非平穩(wěn)隨機序列具有很好的擬合效果,能更好的表達數(shù)據(jù)的變化規(guī)律[4-6]。
灰色GM(1,1)模型是灰色預(yù)測理論體系中使用最廣泛的灰色預(yù)測模型,它是關(guān)于數(shù)據(jù)序列預(yù)測的一個變量的一階微分灰模型[7-9]。根據(jù)現(xiàn)有的原始數(shù)據(jù)序列,通過時序累加生成新的數(shù)據(jù)序列,新的序列呈現(xiàn)的規(guī)律可以用一階線性微分方程進行擬合,擬合后的數(shù)據(jù)序列可以揭示原始數(shù)據(jù)序列的變化規(guī)律。數(shù)字化放射設(shè)備的故障率數(shù)據(jù),多數(shù)屬于序列短、信息量少、規(guī)律性不強的數(shù)據(jù),符合貧信息系統(tǒng)特征,因此可以用灰色GM(1,1)模型對其故障率進行預(yù)測[10-13]。
灰色GM(1,1)模型預(yù)測值函數(shù):
公式(2)稱為Chapman-Kolmogorov方程,簡稱C-K方程。C-K方程說明對于步數(shù)較高的轉(zhuǎn)移概率矩陣可以用步數(shù)較低的轉(zhuǎn)移概率矩陣來表示。即可以用k步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(k)表示:Pk+l=Pk·Pl。令k=l=1,有Pk+l=P1·P1'=P2,利用數(shù)學(xué)歸納法逐漸遞推可得P(k)=Pk,即k步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(k)可以用一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P來表示。
2.1.1 狀態(tài)劃分 按照灰色GM(1,1)模型的預(yù)測原理,對已知的原始數(shù)據(jù)序列x(0)求出其預(yù)測值,由此可得殘差序列[14]:
其中:
誤差:
根據(jù)誤差大小進行狀態(tài)劃分,共劃分r個狀態(tài),每個狀態(tài)間隔相等,記為Eij=[Lij,Uij],j=1,2,…,r,此處Lij,Uij分別為殘差序列的第i步的第j個上下邊界:
2.1.2 計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為:
式中:Mij為狀態(tài)Ei經(jīng)m步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的原始數(shù)據(jù)樣本數(shù)。根據(jù)誤差大小將殘差序列e劃分為r個狀態(tài),構(gòu)成r*r階的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣,它反映了原始數(shù)據(jù)序列狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律[15]。
2.1.3 獲取預(yù)測值 確定系統(tǒng)的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣后,對矩陣的行向量進行分析,可以得到預(yù)測數(shù)據(jù)序列從當(dāng)前狀態(tài)轉(zhuǎn)移到下一狀態(tài)的概率,記為:Ei(t),i=1,2,…,r,t為轉(zhuǎn)移時間。區(qū)間的中點被視為每個區(qū)間可能的預(yù)測值[16],則將來狀態(tài)的預(yù)測值按下式計算:
這里:
這樣就計算出下一個預(yù)測數(shù)據(jù)處于何種狀態(tài),從而可以計算出預(yù)測值為
x線球管存在其特有的生命周期,以球管的總掃描時間來衡量,一旦達到其設(shè)計壽命上限,球管發(fā)生燈絲斷裂或旋轉(zhuǎn)陽極損壞的概率將大大增加。以某型號CT球管總使用時間為例。對實際工作中收集的數(shù)據(jù)進行整合分析,得到某型號CT每一個球管的發(fā)生故障時已掃描的時間,見表1。
表1 某CT球管故障時掃描時間(單位:萬秒)
利用表1中前9次數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)序列,對第10次數(shù)據(jù)做預(yù)測,得到球管故障間隔期原始序列為:
代入公式,利用Matlab軟件,計算B和Y的值,并代入公式計算得到發(fā)展系數(shù)a和灰作用量b的值為:a=0.0729,b=585.7142?;疑獹M(1,1)模型的預(yù)測值函數(shù)為:
灰色GM(1,1)模型的預(yù)測數(shù)據(jù)序列:
將預(yù)測值和實際值進行擬合,如圖1所示。從圖中可以看出CT球管的故障間隔期總體呈下降趨勢,說明隨著CT使用年限的增加,電子部件的老化以及其他因素的影響,球管發(fā)生故障的間隔期越來越小,比較符合CT設(shè)備運行的一般規(guī)律。
圖1 某 CT球管使用時間實際值與灰色GM(1,1)模型預(yù)測值比較
3.2.1 狀態(tài)劃分 表2為球管掃描時間實際值和灰色GM(1,1)模型預(yù)測值的比較,分析相對誤差狀態(tài),可劃分為四個狀態(tài)區(qū)間,狀態(tài)1:E1=(-49,-30];狀態(tài)2:E2=(-30,-12];狀態(tài)3:E3=(-12,7];狀態(tài)4:E4=(7,24]。
表2 某CT球管掃描時間實際值和灰色GM(1,1)模型預(yù)測值比較
由此可計算每個狀態(tài)的中間值為M1=-39.5%,M2=-21%,M3=-2.5%,M4=15.5%。
3.2.2 故障間隔期的預(yù)測 由表2可以得到每次故障所在的狀態(tài)區(qū)間,利用殘差相對值公式,可得到預(yù)測值為:
得到灰色馬爾科夫鏈模型的預(yù)測數(shù)據(jù)序列為:
3.2.3 誤差分析 一個模型能否用于預(yù)測,預(yù)測的效果好壞,需要用模型評定指標來進行衡量。在統(tǒng)計學(xué)預(yù)測方法中,平均絕對百分誤差(MAPE)是最常用誤差標準之一,可作為預(yù)測模型的評價指標:
其值越小越好,它反映了原始數(shù)據(jù)序列和預(yù)測數(shù)據(jù)序列的差異程度,可以為預(yù)測結(jié)果的可靠性提供客觀的依據(jù)。
灰色GM(1,1)模型與灰色馬爾科夫鏈模型的實際值與預(yù)測值的誤差見表3。
表3 兩種模型預(yù)測誤差分析
分析表3中的數(shù)據(jù)可知,灰色GM(1,1)模型的MAPE為17.118%,灰色馬爾科夫鏈模型的MAPE為5.635%,說明灰色馬爾科夫鏈模型的預(yù)測數(shù)據(jù)更加契合原始數(shù)據(jù)序列,也表明將灰色GM(1,1)模型與馬爾科夫鏈理論相結(jié)合可以有效地預(yù)測CT球管的故障間隔期。如圖2為兩種預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果與實際值的比較圖。
圖2 某CT球管故障間隔期原始值與兩種模型預(yù)測結(jié)果比較圖
3.3.1 確定轉(zhuǎn)移概率矩陣 由表3所知,共有CT球管故障間隔期原始數(shù)據(jù)序列具有8個數(shù)據(jù)點,由于最后一個點的轉(zhuǎn)移方向不明,因此只考慮前7個點,根據(jù)實際數(shù)據(jù)的情況和狀態(tài)劃分情況,共有3個點處于第一狀態(tài),其中有2個點處于第二狀態(tài),有2個點處于第三狀態(tài),故可以確定一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P1為:
3.3.2 預(yù)測下次故障間隔期 由預(yù)測數(shù)據(jù)的狀態(tài)劃分結(jié)果可知,CT球管第9次發(fā)生故障時,它所處的狀態(tài)為狀態(tài)3,那么CT球管下一次發(fā)生故障時,它所處的狀態(tài)可以由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P1確定。因此,可知經(jīng)一步轉(zhuǎn)移后,CT球管第10次發(fā)生故障時它處于狀態(tài)4的位置。利用公式得到灰色GM(1,1)模型預(yù)測CT球管第10次發(fā)生故障時,球管已使用的時間為:
根據(jù)灰色馬爾科夫鏈模型的預(yù)測公式,可以計算得到CT球管第10次發(fā)生故障時,球管的使用時間所處的區(qū)間為(23.341,28.562),最終獲得灰色馬爾科夫鏈模型的預(yù)測值為:
實際上,第十次更換球管時,球管的使用時間為26.335萬秒,在此區(qū)間內(nèi),與預(yù)測值的誤差為2.453%。
通過CT球管故障間隔期預(yù)測的實例分析,表明在少數(shù)據(jù),貧信息,不確定的情況下利用該灰色馬爾可夫鏈模型預(yù)測CT球管故障間隔期的有效性,可綜合體現(xiàn)灰色預(yù)測和馬爾科夫鏈預(yù)測的優(yōu)點,它可以有效降低預(yù)測誤差,提高預(yù)測精度。用灰色馬爾可夫鏈模型預(yù)測CT球管故障間隔期還只是初步探索,期望為設(shè)備管理部門制定預(yù)防性維修間隔期提供依據(jù),能夠指導(dǎo)設(shè)備使用科室和管理部門做出良好的設(shè)備管理決策,但是由于CT設(shè)備運行時隨機性和波動性很大,該方法還需進一步深入研究。