張春香　　龔加安

【摘要】數學教學是數學思維活動的教學，除了掌握基本知識、基本技能外，還要培養(yǎng)學生的思維能力。不同的推導方法，可以培養(yǎng)學生不同的思維方式。本文通過高數學中兩個重要極限的推導方法來培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新精神，開闊解題思路，從而提高學生分析問題和解決問題的能力。

【關鍵詞】高等數學? 重要極限? 發(fā)散思維

【基金項目】陜西省教育廳科學研究項目（17JK0962）;商洛職業(yè)技術學院2017 年度重大課題（2017JXKT06）。

【中圖分類號】O13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）49-0133-01

極限是微積分中的基礎概念，它指的是變量在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩(wěn)定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值。極限的概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴格闡述。在現代的高等數學教科書中，幾乎所有基本概念（連續(xù)、微分、積分）都是建立在極限概念的基礎之上。在求極限的多種方法中，利用兩個重要極限來求極限是非常重要的一種求極限的方法。關于兩個極限的推導幾乎所有的教材都是利用夾逼定理證明第一個重要極限，用單調有界數列必有極限和二項式定理證明第二個重要極限。對兩個重要極限除了這些方法外，還可以換一個角度給出另外的證明。下面歸納總結出兩個重要極限的一些推導方法。

1.重要極限=1

證法1：該極限的證明，關鍵是證不等式：sinx

如圖，設單位圓⊙O的漸開線為.若記∠TOA=x，并過T作TH⊥X軸于H，TBC切⊙O且交 及X軸分別于B、C，則sinx =TH

因扇形面積OAT=x的求得，一般是n等分∠AOT成n個等腰△AiOAi-1（i=1，2，…，n，A=A0，T=An），則

∑△AiOAi-1=∑sin（x/n）=nsin（x/n）

此時，扇形面積OAT=∑△AiOAi-1=∑sin（x/n）=x [sin（x/n）/（x/n）]

顯然當[sin（x/n）/（x/n）]=1時，扇形面積OAT=x，但令t=x/n，則該極限為要證明的重要極限。

證法2（用洛必達法則）：==cosx=1

2.重要極限（1+）x=e

證法1：當x=n（正整數）時，設數列un=（1+）n只需證該數列是單調有界的即可。為此計算：

un=（1+）n=1+n+++…+=1+1+（1-）+（1-）（1-）+…+（1-）（1-）+…+（1-）

類似地可計算

un+1=（1+）n+1=1+1+（1-）+（1-）（1-）+…+（1-）（1-）+…+（1-）+（1-）（1-）…（1-）

比較un與un+1的展開式，可知除前兩項外，un中的每一項都小于un+1中的對應項，且un+1比un多了最后的正數項。所以un

即數列un是單調增的。

把un中每個括號內用1代替，則

un≤1+1+++…+≤1+1++++…+=1+<1+=3

即數列un有界。從而知，當n→∞時，數列un=（1+）n的極限存在，其極限用e表示。

證法2：

（1+）x=e=e=e=e=e=e=e

高等數學中，能利用多種方法證明推導的例子有很多，在平時教學中，教師要積極引導學生進行這方面的訓練，不僅能鞏固基本知識，掌握基本技能技巧，而且有助于培養(yǎng)全面分析問題的能力，培養(yǎng)具有靈活性和多向思維能力。

參考文獻：

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[2]崔宏志.高等數學[M].北京：機械出版社，2013.

[3]黃煒.經濟學[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]崔宏志.高等數學[M].北京：北京師范大學出版社，2016.