馮桂群

“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心問(wèn)題是適度抽象，謀求兒童思維的形象性與數(shù)學(xué)抽象性的協(xié)調(diào)統(tǒng)一?！盵1]而在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師往往比較重視借助動(dòng)作表征和形象表征培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)作思維和形象思維，但在如何借助言語(yǔ)和符號(hào)表征發(fā)展學(xué)生的抽象邏輯思維方面，還重視不夠、研究不夠，導(dǎo)致在實(shí)際學(xué)習(xí)中，兒童的思維總是難以及時(shí)地由感性層面提升到理性層面，或是快速地由抽象層面穿梭到形象或是具象的層面，進(jìn)而影響學(xué)習(xí)效果的達(dá)成和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

那么，如何借助言語(yǔ)表征和符號(hào)表征，有效提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，滲透抽象、推理、建模等數(shù)學(xué)思想呢？下面就結(jié)合相關(guān)教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约旱囊恍┳龇ㄅc想法。

一、言語(yǔ)與符號(hào)表征讓數(shù)學(xué)思維的“提升”事半功倍

我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)“建模”活動(dòng)時(shí)，首先要通過(guò)實(shí)物操作或手勢(shì)操作經(jīng)歷動(dòng)作表征過(guò)程（已有相關(guān)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的，此步可省略），之后通過(guò)想圖、畫(huà)圖、看圖等操作經(jīng)歷形象表征過(guò)程，其間要適時(shí)插入言語(yǔ)表述，以及之后的標(biāo)注符號(hào)或列表，書(shū)寫(xiě)關(guān)系式、公式、算式等數(shù)學(xué)符號(hào)的表征活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)表征過(guò)程，使實(shí)物、手勢(shì)、圖形、言語(yǔ)和符號(hào)等直觀、半直觀、半抽象、抽象的多元表征，有序地成為學(xué)生思維的腳手架，使學(xué)生的思維順暢地由動(dòng)作水平上升到表象水平直至抽象水平，使思維斷層自然消失，使思維的提升“事半功倍”。

1.讓數(shù)量關(guān)系的梳理唾手可得

數(shù)學(xué)是研究客觀數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué)，具有高度概括性、邏輯嚴(yán)密性、應(yīng)用廣泛性等特點(diǎn)。要想讓學(xué)生準(zhǔn)確理解某個(gè)具體問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，借助擺弄學(xué)具或畫(huà)圖呈現(xiàn)，學(xué)生可能一下子就明白了，但要由此遷移到解決一類(lèi)問(wèn)題，尤其是當(dāng)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)很大，不可能通過(guò)擺一擺或畫(huà)一畫(huà)解決時(shí)，言語(yǔ)與符號(hào)表征就顯得特別重要了。

如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)的“假設(shè)策略”例2：在一個(gè)大盒和5個(gè)同樣的小盒里裝滿球，正好是80個(gè)。每個(gè)大盒比每個(gè)小盒多裝8個(gè)，大盒里裝了多少個(gè)球？每個(gè)小盒呢？學(xué)生借助書(shū)上的示意圖和小組合作，很快找到了以下幾種方法：將1大盒看作1小盒，總量少8個(gè)，每小盒個(gè)數(shù)是（80—8）÷（5+1）=12（個(gè)）;將5小盒看作5大盒，球總數(shù)會(huì)多出5個(gè)8，每大盒個(gè)數(shù)用（80+5×8）÷（5+1）=20（個(gè)）;設(shè)每小盒有X個(gè)，每大盒有（X+8）個(gè)，方程是X+8+5X=80，同樣能算出結(jié)果。此時(shí)，筆者沒(méi)有讓學(xué)生就題論題、淺嘗輒止，而是引導(dǎo)學(xué)生深入反思：這3種解法都是緊緊抓住大盒和小盒間的什么關(guān)系來(lái)列方程或列算式的？于是在師生互動(dòng)中，抓“總和句”列等式、抓“相差句”來(lái)假設(shè)的思路就形成了：

借助列關(guān)系式和標(biāo)注符號(hào)，假設(shè)的思路清晰而深刻。之后引導(dǎo)學(xué)生看著“可視化”的符號(hào)導(dǎo)圖，用簡(jiǎn)潔的言語(yǔ)表述假設(shè)的兩種思路（略）。有了言語(yǔ)表征、符號(hào)表征的及時(shí)介入，學(xué)生在直觀理解的基礎(chǔ)上將數(shù)量分析符號(hào)化、可視化和流程化，使解題方法結(jié)構(gòu)化，并最終甩掉對(duì)“直觀圖示和小數(shù)目”的依賴(lài)，實(shí)現(xiàn)對(duì)深藏的和差關(guān)系的精準(zhǔn)把握和形式化表達(dá)。

2.讓算理算法的理解易如反掌

在教學(xué)乘法或除法的初步認(rèn)識(shí)時(shí)，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行擺小棒或做手勢(shì)的動(dòng)作表征，之后借助看圖、想圖和畫(huà)圖等圖形表征來(lái)理解乘法或除法的具體含義，最后實(shí)現(xiàn)概念的內(nèi)化和符號(hào)化的表達(dá)。而當(dāng)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)積累到一定程度后，對(duì)算理和算法的理解與建構(gòu)就完全擺脫了現(xiàn)實(shí)模型和圖形表征，僅靠數(shù)學(xué)世界里的概念、判斷和推理來(lái)實(shí)現(xiàn)。此時(shí)，讓學(xué)生借助言語(yǔ)和符號(hào)表征來(lái)進(jìn)行抽象思維和演繹推理，就顯得尤為重要。

如筆者引導(dǎo)學(xué)生借助符號(hào)表征和言語(yǔ)表征，巧妙地“視聽(tīng)”小數(shù)除法的算法和算理。在計(jì)算0.196÷0.56時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)2組弧線和點(diǎn)3個(gè)小數(shù)點(diǎn)，清晰地表征小數(shù)點(diǎn)的處理過(guò)程，同時(shí)有條理地進(jìn)行言語(yǔ)表述：除數(shù)是小數(shù)，先將除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)2位，使它變?yōu)檎麛?shù);要使商不變，被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也要向右移動(dòng)相同的位數(shù);商的小數(shù)點(diǎn)和被除數(shù)移動(dòng)后的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。同時(shí)追問(wèn)：為什么除數(shù)和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)都要向右移動(dòng)2位？為什么商的小數(shù)點(diǎn)只能跟被除數(shù)移動(dòng)后的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊？最后，引導(dǎo)學(xué)生用言語(yǔ)概括出小數(shù)除法的一般算法。至此，學(xué)生不僅掌握了小數(shù)除法的算法和算理，還感悟了滲透其中的轉(zhuǎn)化思想，提高了語(yǔ)言概括能力和有序思考能力，增強(qiáng)了用數(shù)學(xué)表征來(lái)思考數(shù)學(xué)的信心與技巧。

3.讓數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)水到渠成

在由實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型的建模過(guò)程中，借助實(shí)物或手勢(shì)進(jìn)行的動(dòng)作表征，以及借助想圖、看圖、畫(huà)圖來(lái)進(jìn)行的形象表征固然重要，但之后借助言語(yǔ)表述、符號(hào)標(biāo)注、列表列式等進(jìn)行的抽象表征更為重要。它甚至是建模成敗的關(guān)鍵，是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的重要抓手。

如蘇教版《數(shù)學(xué)》i年級(jí)下冊(cè)的“長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算”，由于教材中只安排學(xué)生被動(dòng)地用l平方厘米的方格擺、量、算3個(gè)較小的長(zhǎng)方形面積，學(xué)生的操作活動(dòng)一直在低層次打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，做得多想得少，學(xué)生的動(dòng)作思維跟形象思維、抽象思維間出現(xiàn)了斷層，教學(xué)效果欠佳。為此，我們引導(dǎo)學(xué)生按選方格、擺方格、算方格的步驟，分別去測(cè)量郵票、作業(yè)封面、教室地面的面積。測(cè)量中，引導(dǎo)學(xué)生由擺滿方格到只擺部分方格，再到用一個(gè)方格去擺，直至在頭腦中擺方格，思維難度逐步加大。而每次操作活動(dòng)中，都引導(dǎo)學(xué)生邊看實(shí)物或圖形，邊有序進(jìn)行言語(yǔ)表述與符號(hào)填寫(xiě)——“選面積l平方（）的方格去測(cè)量，每行擺（）個(gè)方格，擺（）行，一共是（ ）×（）方格，面積是（ ）”，從而強(qiáng)化了“求長(zhǎng)方形面積，就是看一共包含多少個(gè)面積單位”的知識(shí)內(nèi)核，使面積計(jì)算模型的建構(gòu)水到渠成。借助與實(shí)物或圖形相對(duì)應(yīng)的言語(yǔ)與符號(hào)的及時(shí)抽象，數(shù)學(xué)思維的斷層瞬間彌合，學(xué)生的空間觀念真正實(shí)現(xiàn)由“一維”到“二維”的飛躍，并為以后學(xué)習(xí)用立方格去測(cè)量三維空間的物體體積，埋下了思維生長(zhǎng)的種子，培育了結(jié)構(gòu)化認(rèn)知、系統(tǒng)性思維。

二、言語(yǔ)與符號(hào)表征讓數(shù)學(xué)思維的“穿越”靈動(dòng)自如

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幫助學(xué)生及時(shí)實(shí)現(xiàn)由動(dòng)作思維到形象思維再到抽象思維的提升，是數(shù)學(xué)建模能否順利達(dá)成的關(guān)鍵;而在應(yīng)用模型過(guò)程中，則要著重引導(dǎo)學(xué)生借助動(dòng)作表征、形象表征，尤其是借助言語(yǔ)表征和符號(hào)表征，將實(shí)際問(wèn)題由抽象變?yōu)樾蜗蟆⒂煞彪s變?yōu)楹?jiǎn)單，將解題思路由模糊變?yōu)榍逦?、由?nèi)隱變?yōu)橥怙@、由艱澀變?yōu)榱鲿?，讓思維在具象、形象和抽象間順逆穿梭、自由跳躍、靈活轉(zhuǎn)換，進(jìn)而讓學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用中更好地提升數(shù)學(xué)理解力和執(zhí)行力、培養(yǎng)實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。

1.讓解題思路的呈現(xiàn)一目了然

蘇教版數(shù)學(xué)教材中安排了解題策略的教學(xué)，目的是引導(dǎo)學(xué)生借助畫(huà)圖、列舉、列表等策略成為思考的高手。其實(shí)，在解答一些老大難問(wèn)題時(shí)，我們還可以引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上，用共同約定的符號(hào)或言語(yǔ)來(lái)“固化”解題流程，讓解題思路的呈現(xiàn)一目了然、耳熟能詳。

比如，在解答“小強(qiáng)用5米長(zhǎng)的鐵絲做了8個(gè)完全一樣的‘九連環(huán)。做一個(gè)‘九連環(huán)需要鐵絲（）/（）米，1米長(zhǎng)的鐵絲可以做（）/（）個(gè)？”等有關(guān)分?jǐn)?shù)除法的

實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生一開(kāi)始很容易出錯(cuò)。因?yàn)樗麄儗⑦@類(lèi)問(wèn)題跟“求A是B的幾分之幾”的問(wèn)題混為一談，常用問(wèn)題中先出現(xiàn)的量，去除以后出現(xiàn)的量。為此，我們先以學(xué)生幼兒園時(shí)就會(huì)解答的問(wèn)題“平均每人分得幾塊糖”為例，讓他們明確：最終求的是每份幾塊糖，不是每份幾個(gè)人，所以要將“糖的總塊數(shù)”平均分，關(guān)系式是“總塊數(shù)÷總?cè)藬?shù)”;同時(shí)讓學(xué)生用畫(huà)圈來(lái)關(guān)注問(wèn)題中的計(jì)量單位，用交叉的箭頭進(jìn)行符號(hào)標(biāo)注（如圖3中的標(biāo)注），提醒自己是用后面的總數(shù)量去除以前面的總份數(shù);同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用言語(yǔ)表述：做一個(gè)‘九連環(huán)要鐵絲多少米，關(guān)鍵的單位名稱(chēng)是“個(gè)”和“米”，要求每份是多少米，要用“總米數(shù)÷總個(gè)數(shù)”;1 米長(zhǎng)的鐵絲可以做多少 ，關(guān)鍵的單位名稱(chēng)是“個(gè)”和“米”，要求每份是多少個(gè)，要用“總個(gè)數(shù)÷總米數(shù)”。有了以上的符號(hào)標(biāo)注與言語(yǔ)表述，學(xué)生頓時(shí)醒悟，再想出錯(cuò)也不可能了。

2.讓分率含義的解讀一清二楚

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，分?jǐn)?shù)常常被認(rèn)為是最復(fù)雜的數(shù)。有研究者認(rèn)為，分?jǐn)?shù)是一些小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)困難的實(shí)際起點(diǎn)，并由此在小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)了兩極分化[2]。為了幫助學(xué)生攻破這一學(xué)習(xí)堡壘，尤其是幫助學(xué)生精準(zhǔn)解讀表示關(guān)系的分?jǐn)?shù)——分率的含義，除了做手勢(shì)、畫(huà)圖形等方法外，筆者引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地用符號(hào)標(biāo)注和言語(yǔ)表述來(lái)理解分?jǐn)?shù)的含義，使學(xué)生在“守本分、抓份數(shù)“中思路澄澈、心如明鏡。

如在解答蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)的分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題：吳大伯家去年收白果520千克，收的核桃比白果多2/5。收的核桃比白果多多少千克？收核桃多少千

克？筆者引導(dǎo)學(xué)生借助符號(hào)清晰解讀分率2/5的含義，

即：（ ） ;言語(yǔ)表述：2/5是把白果的千克數(shù)看作“單位1”的量，平均分成5份，核桃多這樣的2份，共7份。之后讓學(xué)生以白果的千克數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，寫(xiě)出多個(gè)乘法或加法的關(guān)系式。在獨(dú)立思考與全員互動(dòng)的基礎(chǔ)上，學(xué)生找到了4個(gè)關(guān)系式：白果千克數(shù)×2：多的千克數(shù)，白果千克數(shù)×（1+2/5）：核桃的千克數(shù)，白果千克數(shù)+多的千克數(shù)=核桃千克數(shù)，白果千克數(shù)×（1+1+2/5）：它們一共的千克數(shù)。有了這

樣的深刻解讀，之后的問(wèn)題解答就輕松多了。

3.讓數(shù)學(xué)推理的展開(kāi)順暢自如

人們?cè)诘巧綍r(shí)，總要借助石階、扶手，甚至是套在身上的繩索。同樣，解答復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，言語(yǔ)與符號(hào)表征尤如救命的繩索，會(huì)讓學(xué)生的抽象思維和邏輯推理安全行進(jìn)，進(jìn)而成功地培育他們的抽象思維與理性精神。

解答蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)的雞兔同籠問(wèn)題，教材上的方法一般有畫(huà)圖調(diào)整法、列表調(diào)整法、列方程解答法和直接列式解答法。筆者教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中想圖的同時(shí)，借助符號(hào)標(biāo)注與言語(yǔ)表述，及時(shí)地進(jìn)行合情推理與逆向推理，讓學(xué)生在符號(hào)世界里成功地完成理性推演，獲得難題的破解和理性思維的提升。圖4是一位學(xué)生上臺(tái)板演的解題過(guò)程（題目：雞兔同籠，共有頭35只，腳94只。求雞、兔各幾只？）。板演后，向全班交流了他的思路：將其中的兔全部假設(shè)為雞，那1兔看成l雞，腳數(shù)就會(huì)少2只，那么腳數(shù)一共會(huì)少24只;24里有12個(gè)2，所以兔的只數(shù)就是12只，雞的只數(shù)是23只。以上過(guò)程中的標(biāo)注和列式，直擊知識(shí)內(nèi)核和思維要害，幾乎被所有學(xué)生內(nèi)化與活用;同時(shí)還無(wú)痕地滲透了抽象、推理、建模等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了理性化、結(jié)構(gòu)化的思維方式和認(rèn)知圖式。

總之，我們要?jiǎng)?chuàng)造性地借助言語(yǔ)表征和符號(hào)表征，使學(xué)生的動(dòng)作思維、形象思維和抽象思維得以生動(dòng)、和諧、全面地獲得發(fā)展，讓學(xué)生的思維在具象、形象和抽象間自如提升、自由穿梭，從而培養(yǎng)學(xué)生的多元思維和理性精神，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育落地生根。

參考文獻(xiàn)

[1]曹培英.“抽象”能否成為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)[J]小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（ Z1）.

[2]鄭毓信.分?jǐn)?shù)的教學(xué)與數(shù)學(xué)思維[J].小學(xué)教學(xué)：數(shù)學(xué)版，2010 （05）.

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]