■浙江省紹興市上虞區(qū)職教中心

縱觀近年來(lái)全國(guó)各地高考?jí)狠S試題,導(dǎo)數(shù)解答題以對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù),以及一次函數(shù)、二次函數(shù)、高次函數(shù)中的兩個(gè)或三個(gè)為背景,組成一個(gè)具有鮮明特征的超越函數(shù),研究該超越函數(shù)性質(zhì)離不開(kāi)其單調(diào)性,求導(dǎo)也自然成為同學(xué)們首要的操作步驟。實(shí)際上,我們遇到的函數(shù)比較復(fù)雜,同學(xué)們往往在求導(dǎo)后,不知所措? 下面介紹幾種通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求解單調(diào)區(qū)間的方法,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考。

一、分解因式

一般地,單調(diào)區(qū)間的求解過(guò)程：已知y=f(x),(1)分析y=f(x)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)y'=f'(x);(3)解不等式f'(x)＞0,解集在對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)的部分為增區(qū)間;(4)解不等式f'(x)＜0,解集在對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)的部分為減區(qū)間。顯然,分解因式是求解代數(shù)不等式的有力武器。因此,對(duì)導(dǎo)函數(shù)分解因式是解這類(lèi)題的首選。

例1(2019 年浙江省高考試題)已知實(shí)數(shù)a≠0,設(shè)函數(shù)x＞0,當(dāng)時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。

分析：所給函數(shù)比較復(fù)雜,可先求出導(dǎo)函數(shù),然后利用常規(guī)手段即分解因式解不等式f'(x)＞0或f'(x)＜0。

表1

所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+∞)。

點(diǎn)評(píng)：要順利求解復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,首先必須會(huì)準(zhǔn)確求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù),其次要會(huì)熟練求解各類(lèi)不等式：根式不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式。

二、分類(lèi)討論

一般地,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí),可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解含參不等式,需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論。

例2(2019 年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù))已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b。

(1)討論f(x)的單調(diào)性。

(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為-1且最大值為1? 若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說(shuō)明理由。

分析：對(duì)函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b求導(dǎo),即得f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a),要確定f'(x)＞0,需對(duì)a分類(lèi)討論。

解：(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3xa)。

令f'(x)=0,得x=0或

若a=0,f'(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增。

(2)滿(mǎn)足題設(shè)條件的a,b存在。

(i)當(dāng)a≤0時(shí),由(1)知,f'(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以f'(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b。此時(shí)a,b滿(mǎn)足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1。

(ii)當(dāng)a≥3時(shí),由(1)知,f'(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f'(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值為f(0)=b,最小值為f(1)=2-a+b。此時(shí)a,b滿(mǎn)足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1。

(iii)當(dāng)0＜a＜3 時(shí),由(1)知,f'(x)在[0,1]上的最小值為,最大值為b或2-a+b。

綜上,當(dāng)且僅當(dāng)a=0,b=-1 或a=4,b=1時(shí),f'(x)在[0,1]上的最小值為-1,最大值為1。

點(diǎn)評(píng)：分類(lèi)討論是一種邏輯方法,是一種重要的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)也是一種重要的解題策略,它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類(lèi)整理的方法。有關(guān)分類(lèi)討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性,能訓(xùn)練同學(xué)們思維的條理性和概括性。

三、零點(diǎn)法

當(dāng)不等式f'(x)＞0為超越不等式時(shí),可采用零點(diǎn)法即先觀察或求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性寫(xiě)出f'(x)＞0的解集即原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

例3已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)。設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn),求m的值,并討論f(x)的單調(diào)性。

分析：根據(jù)x=0是f(x)的極值點(diǎn)確定m值,但發(fā)覺(jué)不等式f'(x)＞0 是超越不等式,即無(wú)法求解該不等式,需探究新的方法處理。

解：f'(x)=,由x=0是的極值點(diǎn),得f'(0)=0,解得m=1。

于是f(x)=ex-ln(x+1),它的定義域?yàn)?/p>

點(diǎn)評(píng)：如果導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn),但令導(dǎo)函數(shù)為零后,出現(xiàn)超越方程,直接求解比較困難,此時(shí)可先用特殊值試探出方程的一個(gè)根,再通過(guò)研究其單調(diào)性說(shuō)明其是唯一的。一般地,當(dāng)導(dǎo)數(shù)式含有l(wèi)nx時(shí),可試根1,e或等,當(dāng)導(dǎo)數(shù)式含有ex時(shí),可試根1或0等。

四、二次求導(dǎo)

令導(dǎo)函數(shù)為零后,出現(xiàn)復(fù)雜超越方程,直接求解零點(diǎn)比較困難或能求出特殊零點(diǎn)但不清楚零點(diǎn)個(gè)數(shù)即確定不了導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,可實(shí)施二次求導(dǎo)。

例4(2018 年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)改編)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x。若a=0,證明：當(dāng)-1＜x＜0 時(shí),f(x)＜0;當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞0。

分析：求導(dǎo)后,f'(x)=ln(1+x)-顯然f'(x)＞0為超越不等式,雖然可以觀察到函數(shù)f'(x)的零點(diǎn),但函數(shù)f'(x)的單調(diào)性不確定,故需二次求導(dǎo)。

解：當(dāng)a=0時(shí),f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-

設(shè)函數(shù)g(x)=f'(x)=ln(1+x)-

當(dāng)-1＜x＜0時(shí),g'(x)＜0;

當(dāng)x＞0時(shí),g'(x)＞0。

故當(dāng)x＞-1時(shí),g(x)≥g(0)=0,從而f'(x)≥0,且僅當(dāng)x=0時(shí),f'(x)=0。所以f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增。

又f(0)=0,故當(dāng)-1＜x＜0時(shí),f(x)＜0;當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞0。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)無(wú)法采用零點(diǎn)法時(shí),可對(duì)導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)再次求導(dǎo),以期求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)及判斷單調(diào)性。此時(shí),一定要清楚求導(dǎo)的目的,即利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào),判斷原函數(shù)的單調(diào)性。

五、設(shè)而不求

在解決解析幾何問(wèn)題時(shí),我們常常把題目中某些相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)先設(shè)出來(lái),但在解題中并不求出它的具體值,只把它作為解題過(guò)程中的“橋梁”,使問(wèn)題快速獲解,這便是我們常說(shuō)的“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想。在導(dǎo)函數(shù)中,我們?nèi)绻艽_定其零點(diǎn)存在,但又無(wú)法用顯性的代數(shù)式進(jìn)行表達(dá),即所謂的“隱零點(diǎn)”,則可采用形式上虛設(shè),運(yùn)算上代換的方法。

例5已知函數(shù)f(x)=x+xlnx。

(1)求函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程;

(2)若k∈Z,且k(x-1)＜f(x)對(duì)任意x＞1恒成立,求k的最大值。

分析：對(duì)于(1)直接按切線(xiàn)定義可得。對(duì)于(2),恒成立問(wèn)題首先考慮分離參數(shù),即則只需借助導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)的最小值,但求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn),其導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程為超越方程,無(wú)法求得極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間,解題陷入困境。此時(shí),若果斷設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn),則可“柳暗花明”,豁然開(kāi)朗。

解：(1)因?yàn)閒'(x)=lnx+2,所以f'(1)=2。

函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程y=2x-1。

(2)由(1)知,f(x)=x+xlnx,所以k(x-1)＜f(x)對(duì)任意x＞1恒成立,即k＜對(duì)任意x＞1恒成立。

因?yàn)閔(3)=1-ln 3＜0,h(4)=2-2ln 2＞0,所以方程h(x)=0 在(1,+∞)上存在唯一實(shí)根x0,且滿(mǎn)足x0∈(3,4)。

當(dāng)1＜x＜x0時(shí),h(x)＜0,即g'(x)＜0;當(dāng)x＞x0時(shí),h(x)＞0,即g'(x)＞0。所以函數(shù)在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增。

因此,k＜[g(x)]min=x0∈(3,4),整數(shù)k的最大值是3。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn),但零點(diǎn)式子非常煩瑣或無(wú)法求解時(shí),可考慮虛設(shè)零點(diǎn)x0,再對(duì)f'(x0)=0 進(jìn)行合理的變形與代換,將超越式化為普通式,從而達(dá)到化簡(jiǎn)f(x0)的目的。

六、不等式放縮

眾所周知,如果能順利求解不等式f'(x)＞0(＜0),那么導(dǎo)函數(shù)的問(wèn)題都可迎刃而解。因此,將復(fù)雜的超越不等式放縮為普通的代數(shù)不等式的方法應(yīng)運(yùn)而生。

例6設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2。

(1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0,求a的取值范圍。

分析：對(duì)于(1)直接求導(dǎo)可順利解得。對(duì)于(2),根據(jù)ex≥x+1 可得不等式f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x,從而可知1-2a≥0,即時(shí),f'(x)≥0,判斷出函數(shù)f(x)的單調(diào)性,得到答案。

解：(1)a=0 時(shí),f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1。當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f'(x)＜0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)＞0。故f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增。

(2)f'(x)=ex-1-2ax,由(1)可知ex≥1+x當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立。

故f'(x)=ex-1-2ax≥x-2ax=(1-2a)x,從而當(dāng)1-2a≥0,即時(shí),f'(x)≥0(x≥0)。而f(0)=0,于是當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0。由ex＞1+x(x≠0)可得e-x＞1-x(x≠0),從而當(dāng)1-2a＜0,即時(shí),f'(x)=ex-1-2ax＜ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a)。

故當(dāng)x∈(0,ln 2a)時(shí),f'(x)＜0。而f(0)=0,于是當(dāng)x∈(0,ln 2a)時(shí),f(x)＜0。

綜上可得a的取值范圍為

點(diǎn)評(píng)：由于放縮過(guò)程并非等價(jià)變換,因此要注意放縮求解的格式。常用的放縮公式有：(1)放縮成一次函數(shù)：

lnx≤x-1,lnx＜x,ln (1+x)≤x,ex≥x+1,ex＞x,ex≥ex;

(2)放縮成二次函數(shù)：