【摘 要】在課程改革的背景下，教師作為教材的解讀者與組織者，應(yīng)將教材轉(zhuǎn)化為有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)材，以學(xué)材觀審讀與研析教材，在文本轉(zhuǎn)換中實(shí)施學(xué)材重構(gòu)。研究者通過研究教材內(nèi)容的重組與學(xué)材觀的建立、學(xué)材視域下學(xué)生主體性的認(rèn)識(shí)以及整體觀下的學(xué)材重構(gòu)，并以基本不等式為例，闡釋學(xué)材重構(gòu)的教學(xué)意義，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。

【關(guān)鍵詞】學(xué)材重構(gòu);文本轉(zhuǎn)換;基本不等式

【作者簡(jiǎn)介】丁益民，高級(jí)教師，新青年數(shù)學(xué)教師工作室創(chuàng)始成員，主要研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué)。

【基金項(xiàng)目】江蘇省教研室第13期重點(diǎn)課題“基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)中觀教學(xué)設(shè)計(jì)的研究”（2019JK13-ZB34）

隨著學(xué)習(xí)心理學(xué)新成果地不斷涌現(xiàn)，人本主義的理念得到普遍認(rèn)可，主體意識(shí)的覺醒讓個(gè)性化學(xué)習(xí)成為當(dāng)代教育的必然。學(xué)校教育已經(jīng)從知識(shí)轉(zhuǎn)向素養(yǎng)，知識(shí)已成為培育學(xué)生數(shù)學(xué)能力和核心素養(yǎng)的載體，學(xué)生在獲取知識(shí)的過程中提升各種核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)教育已從知識(shí)與技能的傳授轉(zhuǎn)變成培養(yǎng)學(xué)生的“四基”“四能”。在這樣的新背景下，教材也發(fā)生了較大變化，教材的編寫更加關(guān)注學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)，如整體性設(shè)計(jì)單元知識(shí)，大背景、大觀念的引領(lǐng)示范教學(xué)等，融入數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)寫作等多種活動(dòng)來促進(jìn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，教材已經(jīng)從“教”的材料演變成“學(xué)”的材料[1]，因此，建立正確的學(xué)材觀是促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的前提。

一、教材內(nèi)容的重組與學(xué)材觀的建立

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教材的編寫一般比較注重知識(shí)的學(xué)術(shù)性，強(qiáng)調(diào)教材是教學(xué)中唯一的“法定文化”。從根本上講，這是以教為中心的教材觀的集中體現(xiàn)，教材對(duì)學(xué)生而言更多呈現(xiàn)的是訓(xùn)練的功能，學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)被教師的“教教材”所支配，教學(xué)活動(dòng)的組織實(shí)施與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、心理特點(diǎn)和思維發(fā)展存在一定的差距，這樣的知識(shí)傳授只是一種“學(xué)究式知識(shí)”的傳遞，而不是觸及主體體驗(yàn)的“發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)”。

課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫的基本依據(jù)，不管怎樣編寫教材，課程標(biāo)準(zhǔn)、教材、教學(xué)這三者之間都會(huì)存有一定的空間[2]，比如數(shù)學(xué)本身的抽象，知識(shí)的時(shí)空限制，編者的不同理解等，這就為教師重構(gòu)教材提供了可能，即以學(xué)生的深度學(xué)習(xí)為目的，依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)開發(fā)教材，讓教材成為培育學(xué)生核心素養(yǎng)的土壤，這便是學(xué)材觀的建立。

學(xué)材觀的建立強(qiáng)調(diào)對(duì)教材內(nèi)容的重新組織，使教學(xué)內(nèi)容更具有系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化和科學(xué)化，更利于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。鐘啟泉教授說：“既不能無視兒童已有的知識(shí)體系，單向地灌輸知識(shí)，也不能走向輕視概念性知識(shí)、無視知識(shí)結(jié)構(gòu)化的體驗(yàn)主義教育?！北M量減少機(jī)械性的接受，消除無意義的接受，使學(xué)生朝著有意義接受性學(xué)習(xí)的方向?qū)W習(xí)知識(shí)，將數(shù)學(xué)知識(shí)在相互聯(lián)系的基礎(chǔ)上組織起來，以學(xué)生心智發(fā)展規(guī)律為基礎(chǔ)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)材與學(xué)生生活的客觀世界的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從“被動(dòng)學(xué)”向“主動(dòng)求知”轉(zhuǎn)變，從被動(dòng)記憶轉(zhuǎn)化為主動(dòng)內(nèi)化，以喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性為根本目標(biāo)。

二、學(xué)材視域下學(xué)生主體性的認(rèn)識(shí)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程并不是由教師單一地將知識(shí)教給學(xué)生，而是學(xué)生主動(dòng)參與并自主建構(gòu)知識(shí)的過程，學(xué)生的學(xué)習(xí)是基于原有知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，對(duì)已有知識(shí)體系進(jìn)行更新與重構(gòu)的過程。學(xué)材觀要求教師關(guān)注學(xué)生是認(rèn)知的主體，充分考慮學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)與新知識(shí)的邏輯關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)他們將新知識(shí)的建構(gòu)融入到原有相關(guān)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中去，促進(jìn)學(xué)生在知識(shí)的理解水平和思維水平等方面的提升，形成“四基”與“四能”。

為了實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)學(xué)材的自主建構(gòu)，在教學(xué)中，教師應(yīng)始終以學(xué)生自己的建構(gòu)為主旨，充分暴露學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的思維過程，以組織者的身份引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來看客觀世界的千變?nèi)f化，用數(shù)學(xué)的思維分析各種現(xiàn)象，進(jìn)而用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行表達(dá)與交流。教師還要積極提供各種教學(xué)平臺(tái)，鼓勵(lì)學(xué)生勇敢地發(fā)表自己的數(shù)學(xué)見解。在教學(xué)中，教師要充分考慮學(xué)生的心智特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生年齡、生活和認(rèn)知基礎(chǔ)的情境（包括數(shù)學(xué)內(nèi)部的情境、生活情境以及科學(xué)情境），貼近他們的學(xué)習(xí)環(huán)境和學(xué)習(xí)心理，讓他們?cè)谶@樣的情境中進(jìn)行直觀想象、抽象概括等思維活動(dòng)，進(jìn)行有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，達(dá)到真正理解知識(shí)本質(zhì)的目的。

凸顯學(xué)生主體地位的學(xué)材觀建立，其根本目的是充分調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，改變被動(dòng)接受的淺層學(xué)習(xí)狀態(tài)，為實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)提供可能。事實(shí)表明，只有學(xué)生真正參與到建構(gòu)的活動(dòng)中去，才能促使他們樹立正確的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀。從本質(zhì)上講，教師的“教”是為了喚醒學(xué)生本有的學(xué)習(xí)潛能，是為了指導(dǎo)他們?nèi)绾胃玫剡M(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓他們更真實(shí)地進(jìn)行知識(shí)的建構(gòu)、思維的訓(xùn)練，積累更多的有意義的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，逐步形成現(xiàn)代公民生活和工作必需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和關(guān)鍵能力。

三、整體觀下的學(xué)材重構(gòu)

特級(jí)教師李庾南先生提出了“學(xué)材再建構(gòu)”的教學(xué)主張，這對(duì)于指導(dǎo)教師開展數(shù)學(xué)單元教學(xué)具有重要意義?！皩W(xué)材再建構(gòu)”是從知識(shí)整體性的視角對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)材進(jìn)行整合、重組而進(jìn)行的單元教學(xué)的建構(gòu)。這就要求數(shù)學(xué)教學(xué)不能照本宣科，而必須以課程標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，以教材為參照材料，以學(xué)生的最大發(fā)展為旨?xì)w，重新建構(gòu)學(xué)材，源于教材，高于教材[3]。

教師作為教材的解讀者與組織者，應(yīng)將教材轉(zhuǎn)化為有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)材。學(xué)材重構(gòu)是教師進(jìn)行教材開發(fā)與實(shí)施中不可或缺的方式之一，其首要目標(biāo)是促使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和核心概念的內(nèi)涵。學(xué)材重構(gòu)需要教師以整體的視角站在學(xué)生學(xué)習(xí)的立場(chǎng)審視教材文本，正確理解教材編寫意圖，積極挖掘教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)功能，對(duì)教材進(jìn)行深度的研讀、分析與評(píng)鑒，不僅找到其可操作的方法（包括教學(xué)功能、學(xué)科本質(zhì)的體現(xiàn)、教學(xué)組織的學(xué)材屬性等），還要找出其中存在的局限性。

學(xué)材重構(gòu)還需要實(shí)現(xiàn)靜態(tài)知識(shí)與動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)兩者間的科學(xué)調(diào)適，不僅包括課前的教學(xué)預(yù)設(shè)，還包括課堂上師生對(duì)話時(shí)的現(xiàn)場(chǎng)開發(fā)。教學(xué)過程并非如預(yù)設(shè)一樣一成不變，任何“意外”隨時(shí)都可能發(fā)生，教師應(yīng)依據(jù)動(dòng)態(tài)的教學(xué)情境對(duì)靜態(tài)的預(yù)設(shè)適時(shí)進(jìn)行調(diào)控，努力構(gòu)建教與學(xué)雙向的共生平衡。當(dāng)教師和學(xué)生一起將靜態(tài)知識(shí)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的教學(xué)體驗(yàn)時(shí)，教學(xué)才可能達(dá)成所需的目標(biāo)，才可能將靜態(tài)知識(shí)轉(zhuǎn)化為解決問題時(shí)所需要的關(guān)鍵能力。

學(xué)材重構(gòu)更為重要的一點(diǎn)就是通過模塊化、系統(tǒng)化的教學(xué)組織，實(shí)現(xiàn)學(xué)生從過程性知識(shí)到對(duì)象性理解的親歷體驗(yàn)過程。親歷體驗(yàn)是深度學(xué)習(xí)的核心特征，從心理學(xué)上講，體驗(yàn)是指學(xué)生作為全身心投入時(shí)的個(gè)體親歷、體認(rèn)與驗(yàn)證的過程，經(jīng)歷生理和心理、感性和理性、個(gè)體和整體等方面復(fù)合交織的情感、態(tài)度與價(jià)值觀的內(nèi)心活動(dòng)，讓學(xué)生獲得充分的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，是學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的應(yīng)然選擇和必由之路。為此，只有親歷體驗(yàn)，才能從真正意義上實(shí)現(xiàn)學(xué)材重構(gòu)的根本目的——深度學(xué)習(xí)。在這個(gè)過程中，實(shí)際上是把學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體進(jìn)行互動(dòng)、交流、理解、反思、體悟等活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的接收、重組和內(nèi)化等過程[4]。

四、學(xué)材重構(gòu)的實(shí)踐案例

2019年蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第3章“基本不等式”一節(jié)中，材料的組織是這樣的。

材料1 情境設(shè)置——由不等臂天平稱物的情境引出兩個(gè)平均數(shù);

材料2 幾何解釋——引導(dǎo)學(xué)生作出長度為ab和a+b2的兩條線段，用半圓中的半徑與半弦認(rèn)定二者大小關(guān)系;

材料3 證法安排——通過作差、分析法和綜合法三種方法進(jìn)行證明;

材料4 弦圖利用——在練習(xí)中出現(xiàn)“弦圖”進(jìn)一步理解基本不等式。

對(duì)于材料1，不等臂天平秤物并非學(xué)生常見的情境，教師需要解釋學(xué)生才能明白，不僅如此，在處理問題時(shí)還需要用到物理中的杠桿原理才能解決。整個(gè)過程似乎是為了“發(fā)現(xiàn)”這兩個(gè)平均數(shù)而兜了一大圈，最終還是回到通過數(shù)值代入來比較兩者大小，這樣的教學(xué)情境并不能反映所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。筆者認(rèn)為縮短發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)平均數(shù)的過程很有必要，應(yīng)基于實(shí)數(shù)的非負(fù)性（x2≥0）引入基本不等式，這樣比較符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。學(xué)習(xí)對(duì)象指向精確，減少了因理解情境和表征對(duì)象導(dǎo)致的認(rèn)知負(fù)荷，將學(xué)習(xí)的重心落在如何理性認(rèn)識(shí)并深度認(rèn)識(shí)基本不等式這一核心目標(biāo)上。

對(duì)于材料2，如果沒有教師的引導(dǎo)學(xué)生在同一個(gè)圖形（如圖1）中作出這樣的幾何對(duì)象是非常困難的，而且從整個(gè)認(rèn)知的路線看，這里也顯得突兀。因?yàn)閺那榫持谐橄蟪鰧?duì)象a+b2和ab，再通過數(shù)值驗(yàn)證兩者的大小關(guān)系，這里的認(rèn)知活動(dòng)以“推理—演算”為主要的認(rèn)知方式，教師讓學(xué)生重新從另一個(gè)認(rèn)知視角（即幾何）來驗(yàn)證正處于“模糊”狀態(tài)下的認(rèn)知對(duì)象，一方面，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在認(rèn)知方式的轉(zhuǎn)頻上產(chǎn)生間歇性的困難，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)思維上的斷層，另一方面，按照A·Sfard概念二重性理論，一個(gè)概念的形成要從過程開始，然后轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)對(duì)象的認(rèn)知過程。顯然，之前的代數(shù)值驗(yàn)證活動(dòng)是概念認(rèn)知的過程階段，這時(shí)的認(rèn)知更多是感性的，而之后的“作圖驗(yàn)證”屬幾何表征，是在獲得結(jié)論（a+b2≥ab）的基礎(chǔ)之上進(jìn)行的概念認(rèn)知的對(duì)象階段，很明顯這個(gè)過程中出現(xiàn)了認(rèn)知方式上的混亂，這不利于概念的理性建構(gòu)。筆者認(rèn)為可以按照這樣的認(rèn)知路徑：“不等式的發(fā)現(xiàn)—不等式的證明—不等式的欣賞”，遵循從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)，再到深度認(rèn)識(shí)的過程。根據(jù)逐步認(rèn)知數(shù)學(xué)對(duì)象的原則，筆者將素材的順序調(diào)整為：發(fā)現(xiàn)a+b2≥ab—代入數(shù)值進(jìn)一步驗(yàn)證—運(yùn)用不同的方法進(jìn)行證明—從其他角度（幾何、函數(shù)等）進(jìn)行欣賞，形成深度理解。

從整個(gè)學(xué)習(xí)單元來看，實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是解決等式、不等式問題的邏輯基礎(chǔ)。通過類比等式的性質(zhì)獲得不等式性質(zhì)，并以此進(jìn)一步研究基本不等式等是本章的學(xué)習(xí)主線。因此，研究基本不等式的認(rèn)知起點(diǎn)應(yīng)是實(shí)數(shù)的大小關(guān)系。所以作差法應(yīng)該是證明基本不等式的首選方法，這樣的選擇體現(xiàn)單元教學(xué)的邏輯性，突出知識(shí)的生成是之前認(rèn)知的延續(xù)與生長。分析法的核心是從證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使其成立的充分條件。在前一章學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到進(jìn)行證明的邏輯依賴于命題的充要性，而實(shí)施分析法的邏輯依據(jù)就是本章上一節(jié)中的不等式的性質(zhì)，分析法實(shí)際上是在不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的推理展示。證法3實(shí)際上是從x∈R，x2≥0出發(fā)，通過取x=a-b進(jìn)行的代數(shù)變形。證明方法的選擇應(yīng)充分考慮方法在學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)中的整體性，并且還要考慮選擇的方法對(duì)學(xué)生解決問題時(shí)的思維方式形成的影響。所以，三種方法的使用可以調(diào)整成如下的組織結(jié)構(gòu)：證法3作為不等式發(fā)現(xiàn)的方法——從比較大小的角度選擇證法1（作差法）證明——從運(yùn)用不等式性質(zhì)及邏輯的角度選擇證法2（分析法）證明。那么，這三種方法是不是都要進(jìn)行講解？是不是一定要照此來講解？筆者認(rèn)為應(yīng)以單元學(xué)習(xí)的整體視角來審視證明方法的選擇，有什么樣的目標(biāo)定位就選擇什么樣的證明方法（或方法的組合），教師應(yīng)靈活整合這些方法進(jìn)行講評(píng)，不是孤立地將其作為證明的某一種方法進(jìn)行傳授，而應(yīng)作為整體認(rèn)知中某一個(gè)邏輯點(diǎn)來考量。

弦圖是經(jīng)典的教學(xué)素材，其結(jié)構(gòu)精妙，內(nèi)涵豐富，是數(shù)與形完美統(tǒng)一的典范。如果僅僅把趙爽弦圖作為問題情境或數(shù)學(xué)欣賞的素材則大大削弱了其教學(xué)功能。學(xué)生在初中已借助趙爽弦圖研究勾股定理，是從幾何圖形中構(gòu)建代數(shù)關(guān)系的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)恰好為學(xué)生學(xué)習(xí)基本不等式起到了先行組織者的作用，因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)弦圖進(jìn)行以下探究活動(dòng)。

探究活動(dòng)1：如圖2，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，則由等積法得到HE=aba2+b2，再取AB的中點(diǎn)M，則ME=a2+b22，由于ME≥HE，即a2+b22≥aba2+b2，平方得a2+b24≥a2b2a2+b2，即a2+b22≥21a2+1b2。

探究活動(dòng)2：由等積法c=abh≥2h，即ab≥2h2=2a2b2a2+b2=21a2+1b2。

探究活動(dòng)3：如圖3，以AN，BN為鄰邊向形外作矩形ANBM，O為正方形的中心，所以O(shè)，A，M，B四點(diǎn)共圓，其中AB為圓的直徑，OM為圓的一條弦，所以O(shè)M≤AB?？傻肙M=a+b2，AB=a2+b2，所以得a+b2≤a2+b22。

由此可得結(jié)論：21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22。

上述探究活動(dòng)和之前通過弦圖發(fā)現(xiàn)（或幾何解釋）基本不等式的認(rèn)知方式一致，是在已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)下進(jìn)行的探究，而且獲得的結(jié)論是經(jīng)典的不等式鏈，學(xué)生很有可能會(huì)帶著這樣的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和鑒賞體驗(yàn)去探求更多更豐富的數(shù)學(xué)結(jié)論，這對(duì)學(xué)生進(jìn)行深度認(rèn)知是有促進(jìn)作用的。

總之，教材是教學(xué)活動(dòng)開展的行動(dòng)指南，在教學(xué)過程中，教師要理性考量教材中的素材，創(chuàng)造性地使用教材，以學(xué)生的認(rèn)知和數(shù)學(xué)邏輯來審視教學(xué)素材，結(jié)合教學(xué)的實(shí)際情況進(jìn)行學(xué)材重構(gòu)，真正發(fā)揮學(xué)材的教育教學(xué)價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。

參考文獻(xiàn)：

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[2]李強(qiáng)，李孟璐.變“教材”為“學(xué)材”的幾個(gè)基本問題[J].教育理論與實(shí)踐，2011（29）：15-17.

[3]李庾南，馮衛(wèi)東.學(xué)材再建構(gòu) 在結(jié)構(gòu)中教與學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（8）：17-22，30.

[4]齊歡.數(shù)學(xué)教學(xué)要促進(jìn)和發(fā)展學(xué)生的主體性[J].中國教育學(xué)刊，2018（1）：106.

（責(zé)任編輯：陸順演）