【摘 要】數(shù)學知識之間具有內(nèi)在的、緊密的聯(lián)系，數(shù)學知識發(fā)展的過程就是一個類比、推廣、特殊化等化歸與轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學問題解決的過程，本質(zhì)上也是不斷地化歸與轉(zhuǎn)化的過程。因此，化歸與轉(zhuǎn)化是數(shù)學學科特有的一種學習策略，有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。研究者以人教版教科書正弦定理和余弦定理證明過程為例，說明如何運用化歸與轉(zhuǎn)化學習策略培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】化歸與轉(zhuǎn)化;數(shù)學思維;學習策略;核心素養(yǎng)

【作者簡介】師軼，正高級教師，廣西數(shù)學特級教師。

【基金項目】廣西教育科學“十三五”規(guī)劃課題“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學學習策略研究”（2017A004）

數(shù)學學習的本質(zhì)是對數(shù)學思維方式的學習。學而不思則罔，學生只有通過自己的獨立思考，并掌握科學的思維方法才能真正學好數(shù)學。數(shù)學學習必須從數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的思維過程、數(shù)學性質(zhì)的合理猜想與論證的思維過程出發(fā)，讓學生學會用抽象、概括、分析、綜合、化歸、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思維方法去思考問題、解決問題。只有運用數(shù)學的思維方法進行數(shù)學學習，才能有效鍛煉數(shù)學思維能力，才能學會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界?？梢?，數(shù)學學習主要是通過數(shù)學思維活動來實現(xiàn)的，數(shù)學學習的過程就是以數(shù)學知識為載體對學生進行系統(tǒng)的數(shù)學思維訓練的過程。學會運用數(shù)學思維方式進行數(shù)學學習是高中數(shù)學學習策略的核心。因此，筆者認為，高中數(shù)學學習策略，就是在數(shù)學思想的指導下，運用數(shù)學思維方式進行高中數(shù)學學習（考察數(shù)學對象、認識數(shù)學本質(zhì)、把握數(shù)學規(guī)律）的策略。

一、化歸與轉(zhuǎn)化學習策略的內(nèi)涵

化歸與轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學基本思想之一。數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想、一般與特殊的思想等都是化歸與轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)，各種變換的方法、分析法、待定系數(shù)法、參數(shù)法、換元法、反證法、解析法、向量法等都是轉(zhuǎn)化的手段。數(shù)學問題解決的過程，就是不斷地化歸與轉(zhuǎn)化的過程，幾乎所有數(shù)學問題的解決都離不開化歸與轉(zhuǎn)化。因此，數(shù)學活動的實質(zhì)就是數(shù)學思維的轉(zhuǎn)化過程。

胡炯濤提出了十個基本數(shù)學思想，他認為化歸法是一種哲學方法，是一種更為一般的數(shù)學思想[1]。任子朝將數(shù)學思想方法劃分為三個層次：一是數(shù)學思想，如數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想、函數(shù)與方程的思想等;二是數(shù)學中的邏輯方法，如分析法、綜合法、歸納法等;三是具體的數(shù)學方法，如配方法、換元法、參數(shù)法等。[2]

可見，化歸與轉(zhuǎn)化不僅具有哲學層面的數(shù)學思想的特點，也具有邏輯學層面的思維方法的特點，還具有操作層面的具體數(shù)學方法的特點。化歸與轉(zhuǎn)化是數(shù)學學科特有的一種學習策略。

化歸，就是把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題。轉(zhuǎn)化，就是將數(shù)學問題（命題）由一種形式向另一種形式變換的過程。

化歸與轉(zhuǎn)化的學習策略，是指運用化歸與轉(zhuǎn)化的思維方式學習數(shù)學知識、解決數(shù)學問題的一種策略。

二、運用化歸與轉(zhuǎn)化學習策略培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)

運用化歸與轉(zhuǎn)化學習策略，可以發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系，建立知識結(jié)構(gòu)，完善數(shù)學知識體系，也可以通過細致觀察、合理聯(lián)想、知識提取、信息加工、思路選擇、縝密推理等思維過程，解決數(shù)學問題。因此，運用化歸與轉(zhuǎn)化的學習策略，能夠較好地落實數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。下面以人教版教科書正弦定理和余弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程的學習為例，說明如何運用化歸與轉(zhuǎn)化學習策略培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

（一）在定理發(fā)現(xiàn)與證明的過程中，運用化歸與轉(zhuǎn)化策略培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)

1.提出一般性問題，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)

人教社A版高中數(shù)學教科書必修5第一章的“正弦定理”首先提出一般性的抽象問題：我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系。我們是否能得到這個邊、角關(guān)系準確量化的表示呢？

教材不是提出特殊的具體問題，而是提出一般性的抽象問題，有利于啟發(fā)學生從宏觀的、整體的角度去思考問題，探究一般性的聯(lián)系、結(jié)論和規(guī)律，引導學生學會如何思考抽象問題，以及從哪些方面入手，逐步把抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題，運用化歸與轉(zhuǎn)化的學習策略培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)。

2.問題數(shù)學化，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)

教材通過符號化，把上面一般性的問題數(shù)學化，用符號重新表征，將問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題：在△ABC中，如果已知∠A所對的邊BC長為a，∠B所對的邊AC長為b，∠C所對的邊AB長為c，我們研究∠A，∠B，∠C，a，b，c之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系。

文字語言比較形象，而符號語言比較抽象。將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，將一般性問題通過數(shù)學化轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，這是運用化歸與轉(zhuǎn)化學習策略解決數(shù)學問題的基本思路。把一般性的問題數(shù)學化有利于聯(lián)系有關(guān)數(shù)學知識，有利于探究具有具體意義的符號之間的關(guān)系，讓思維有了抓手，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

3.分類轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)

教材對該數(shù)學問題進行分類轉(zhuǎn)化：一般三角形分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。由于我們不容易直接得到一般三角形中邊和角的數(shù)量關(guān)系，因此，我們可以嘗試分類探究，優(yōu)先考慮直角三角形，尋求突破。

在此，教材運用分類轉(zhuǎn)化的策略將一般三角形的問題分解為幾類特殊三角形的問題，先從最簡單的情形入手得到結(jié)論，再將其他情形轉(zhuǎn)化為最簡單的情形，逐個突破得到一般性結(jié)論，有利于培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)。

4.數(shù)形轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)

教材畫出了一個Rt△ABC的圖形（如圖1），其中∠C=90°。要考慮邊長之間的數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想到銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，有ac=sinA，bc=sinB。

圖1

圖2

當△ABC是銳角三角形時，如圖2，教材通過作AB邊上的高，將銳角三角形化歸為直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義，得出結(jié)論;當△ABC是鈍角三角形時，通過作高轉(zhuǎn)化，同理可以證明結(jié)論成立。

如圖4，將△ABC的內(nèi)心O與各頂點連接，將原三角形分割成三個小三角形：△OAB，△OBC，△OCA，則

S=S△OAB+S△OBC+S△OCA

圖4

=12rc+12ra+12rb

=12r（a+b+c），

∴r=2Sa+b+c。

該題通過三角形的外接圓與內(nèi)切圓等輔助圖形的轉(zhuǎn)化，不僅把正弦定理進行了推廣，還得到了三角形的邊、角與其他元素之間的一些基本關(guān)系式，使得對正弦定理的研究更加系統(tǒng)、更加完整?？梢?，通過圖形變換實施化歸與轉(zhuǎn)化的策略，有利于培養(yǎng)學生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

4.聯(lián)想變換，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)

余弦定理主要用于求解三角形的有關(guān)問題。由于它是一個二次三項式的結(jié)構(gòu)，與代數(shù)中的重要模型“a2+b2±ab”的結(jié)構(gòu)非常相似，這樣就可以通過配方法將二次三項式模型轉(zhuǎn)化為完全平方模型來實現(xiàn)模型轉(zhuǎn)化，或者通過構(gòu)造法將二次三項式模型轉(zhuǎn)化為余弦定理模型來實現(xiàn)模型轉(zhuǎn)化。

例3 設(shè)a>b>0，c>b>0，求證：a2-ab+b2+b2-bc+c2≥a2+ac+c2。

分析：a2-ab+b2，b2-bc+c2，a2+ac+c2與余弦定理的形式相似，

∵a2-ab+b2=a2-2abcos60°+b2，b2-bc+c2=b2-2bccos60°+c2，a2+ac+c2=a2-2accos120°+c2，

于是可構(gòu)造出以a、b為兩邊，夾角為60°的△ABD;以b、c為兩邊，夾角為60°的△DAC;以a、c為兩邊，夾角為120°的△ABC。由此，問題將轉(zhuǎn)化為三角形三邊之間的關(guān)系問題。

解：構(gòu)造如圖5所示的平面圖形。

圖5

則BD=a2+b2-2abcos60°=a2-ab+b2，

DC=b2+c2-2bccos60°=b2-bc+c2，

BC=a2+c2-2ac·cos120°=a2+ac+c2。

在△BDC中，因為BD+DC>BC，

所以，a2-ab+b2+b2-bc+c2>a2+ac+c2。

若D在BC上，則BD+DC=BC，即a2-ab+b2+b2-bc+c2=a2+ac+c2。

綜上可知，a2-ab+b2+b2-bc+c2≥a2+ac+c2。

對定理的模型（結(jié)構(gòu)）越熟悉、認識得越深刻，就越容易產(chǎn)生聯(lián)想，越容易實現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化。對同一個數(shù)學模型（結(jié)構(gòu)）從不同的角度進行分析，對不同的數(shù)學模型（結(jié)構(gòu)）不斷地進行比較、提煉，形成新的、更廣的模型（結(jié)構(gòu)），有利于深化對這些數(shù)學模型（結(jié)構(gòu)）的認識，有利于實現(xiàn)模型（結(jié)構(gòu)）之間的化歸與轉(zhuǎn)化，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)。

5.元素變換，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)

正弦定理的結(jié)構(gòu)是一個連比型的比例式結(jié)構(gòu)，即每個分式的分子都是邊長，分母是該邊所對角的正弦;余弦定理是二次型的結(jié)構(gòu)，即三項都是二次的，兩項是平方和，一項是乘積的兩倍。從正弦定理和余弦定理中的某一個式子出發(fā)，對其元素按照a→b→c→a及A→B→C→A的順序同時進行輪換，就可以得到其他的公式。這體現(xiàn)了正弦定理和余弦定理具有數(shù)學的對稱美和輪換對稱美。

利用三角形的外接圓可以發(fā)現(xiàn)，正弦定理中比例的值恰恰是三角形外接圓直徑的長度;勾股定理是余弦定理的特殊形式，余弦定理是勾股定理的推廣。這些都體現(xiàn)了數(shù)學的統(tǒng)一美。

通過外接圓的直徑2R，正弦定理可以實現(xiàn)邊與角的轉(zhuǎn)化;利用余弦定理及其推論也可以實現(xiàn)邊與角的轉(zhuǎn)化。這就為我們解三角形問題提供了三種化歸與轉(zhuǎn)化的思路：邊化角，角化邊，或邊角同時互化，體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美。

對數(shù)學結(jié)構(gòu)從不同的側(cè)面、不同的角度進行解讀、欣賞，會感受到數(shù)學美的不同表現(xiàn)形式，這就需要發(fā)揮觀察、分析、想象、聯(lián)想、類比、化歸、推理、重構(gòu)等數(shù)學思維的作用，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)。

（三）在提煉數(shù)學方法的過程中，運用化歸與轉(zhuǎn)化的學習策略培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)

教材在證明余弦定理時，將三角形的邊轉(zhuǎn)化為向量，通過向量的數(shù)量積以及向量模的概念，把幾何證明問題化歸為向量的運算問題。由此可以抽象概括出一種重要的數(shù)學方法——向量法。

向量既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象，它是溝通代數(shù)、幾何與三角的橋梁，也是化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學問題、解決數(shù)學問題的重要工具。

利用向量法進行化歸與轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是通過向量運算進行邏輯推理。推理的思路相對單一，就是把問題向量化;推理的步驟相對固定，就是實施向量運算;推理的結(jié)論可靠，就在于運算步驟的準確性。運用向量法進行化歸與轉(zhuǎn)化，包括將問題向量化、實施向量運算、抽象概括結(jié)論三個步驟。

1.將問題向量化，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)

對問題進行向量化的過程，就是構(gòu)建向量模型的過程。例如，向量加法與向量減法的幾何模型、數(shù)乘向量的幾何意義模型、向量模的公式模型、向量的模與向量運算的公式模型、向量數(shù)量積的模型。在這個向量化的過程中，需要根據(jù)問題中數(shù)學對象的結(jié)構(gòu)特點，聯(lián)想向量的有關(guān)知識，將數(shù)學對象抽象為向量的某個模型，再運用這個模型進行計算。因此，將問題向量化的過程，有利于培養(yǎng)學生數(shù)學建模、數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。

2.實施向量運算，培養(yǎng)數(shù)學運算素養(yǎng)

實施向量運算，就是根據(jù)向量的運算法則，對構(gòu)建出來的向量模型中的有關(guān)向量實施運算，這是一個利用運算進行推理的過程。要注意運算的條件、運算的方向、運算的方法、運算的準確性，這也是一個培養(yǎng)數(shù)學運算的合理性、精細性、準確性素養(yǎng)的過程。

3.抽象概括結(jié)論，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)

抽象概括結(jié)論的過程，就是對實施向量運算得到的結(jié)果做出符合題意或者實際的解釋，添加限制條件（如漏解）或者刪除多余結(jié)論（如增解），從而歸結(jié)出原問題的結(jié)論。這樣的化歸與轉(zhuǎn)化的過程，有利于培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

向量法在數(shù)學中的運用非常廣泛。運用向量法可以證明立體幾何中的平行、垂直問題，求空間角、空間距離，證明正弦定理、余弦定理、射影定理、三垂線定理、線面平行或垂直的判定定理等。

三、結(jié)語

運用化歸與轉(zhuǎn)化學習策略進行數(shù)學學習，有助于提高學生對數(shù)學的整體認識，通過對新知識的特殊化發(fā)現(xiàn)與已有知識的聯(lián)系，對新知識的推廣探求新的事實和論證猜想，以及對新知識的類比提出新的探究問題，使不同模塊的數(shù)學知識相互溝通。在學習中，學生體會數(shù)學探索活動的基本規(guī)律，逐步學會借助數(shù)學符號和邏輯關(guān)系進行抽象思維、數(shù)學推理和探究，養(yǎng)成邏輯思維的習慣，能夠有條理地、符合邏輯地進行思考、推理、表達和交流，從而發(fā)展學生處理相應的數(shù)學關(guān)系的悟性和潛能，把培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)落實在化歸與轉(zhuǎn)化的過程中。

參考文獻：

[1]胡炯濤.數(shù)學教學論[M].南寧：廣西教育出版社，1996.

[2]任子朝.改進高考命題 推進素質(zhì)教育：數(shù)學高考命題回顧與展望[J].中學數(shù)學月刊，1997（9）：1-3.

（責任編輯：陸順演）