劉鑫

摘要：

為分析初應力對復合材料圓柱殼結構雙穩(wěn)態(tài)特性的影響，采用經(jīng)典板殼理論建立復合材料圓柱殼力學模型，基于層合結構本構關系推導用雙參數(shù)表達的系統(tǒng)應變能公式;根據(jù)最小勢能原理得到雙穩(wěn)態(tài)產(chǎn)生的條件和穩(wěn)態(tài)時的曲率表達式。利用Abaqus軟件構建圓柱殼的有限元模型，通過附加邊界彎矩對柱殼穩(wěn)態(tài)躍遷過程進行模擬。理論計算結果與有限元結果的對比驗證理論模型的正確性。分析結果表明：當初應力滿足一定條件時，復合材料柱殼結構在其變形過程中有2個穩(wěn)定平衡位置，并且在穩(wěn)定平衡位置結構都不產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形;2個穩(wěn)定平衡位置的曲率方向可以相同或相反，這與無初應力時反對稱復合材料柱殼雙穩(wěn)態(tài)曲率方向只能相同的情況有區(qū)別。

關鍵詞：

初應力; 復合材料; 柱殼結構; 雙穩(wěn)態(tài); 曲率; 應變能; 有限元

中圖分類號：? V414.41; TB115.1

文獻標志碼：? B

Bistability behaviors of initially stressed composite

cylindrical shell structure

LIU Xin

（School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics， Tongji University， Shanghai 200092， China）

Abstract：

To analyze the influence of initial stress on the bistability behaviors of composite cylindrical shell structure， the mechanical model of composite cylindrical shell is established using classical plate and shell theory. Based on the constitutive relation of laminated structure， the system strain energy formula with two parameters is derived. According to the principle of minimum potential energy， the condition of bistability and the expression of curvature in steady state are obtained. The finite element? model of cylindrical shell structure is established by Abaqus software， and the stability transition process is simulated using additional boundary bending moment. The correctness of the theoretical model is verified by the comparison between the theoretical calculation results and the finite element results. The analysis results show that， when the initial stress satisfies certain conditions， there are two stability equilibrium points in the deformation process of composite cylindrical shell structure， and there is no torsion deformation at the two points. The curvature directions at the two stability

equilibrium points can be same or opposite， which is different from the case that the bistability curvature of antisymmetric composite cylindrical shell can only be the same without initial stress.

Key words：

initial stress; composite material; cylindrical shell structure; bistability; curvature; strain energy; finite element

0 引 言

作為一種新型的空間可展開結構，雙穩(wěn)態(tài)結構在土木工程和航空航天領域具有廣泛的應用前景。[14]雙穩(wěn)態(tài)柱殼結構具有特殊的力學性能，在其運動范圍內(nèi)具有2個穩(wěn)定平衡位置。通常，柱殼結構在被卷攏時處于高應變能的不穩(wěn)定狀態(tài)，需要較大尺寸的約束結構才能保持穩(wěn)定，而利用雙穩(wěn)態(tài)特性則可減少或避免使用這種約束裝置，從而減輕結構的總質(zhì)量。通過使用壓電材料貼層，可以驅(qū)動柱殼結構進行穩(wěn)態(tài)躍遷，實現(xiàn)對柱殼結構的穩(wěn)態(tài)控制。[5]目前，針對柱殼結構雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的研究已引起眾多學者的關注。[67]

雙穩(wěn)態(tài)結構性能研究主要涉及復合材料結構研究。英國劍橋大學工程系可延展結構實驗室率先研究雙穩(wěn)態(tài)復合材料結構及其應用。[8]復合材料圓柱殼可以存在2個穩(wěn)定平衡狀態(tài)，但最終的穩(wěn)態(tài)構型受復合材料鋪層方式影響：正對稱鋪層的層合柱殼在卷曲過程中產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，反對稱鋪層可以避免這種扭轉(zhuǎn)變形。近年來，一些研究表明：各向同性材料在一定條件下也存在雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，并且柱殼結構上的初應力對各向同性圓柱殼的雙穩(wěn)態(tài)特性產(chǎn)生影響。[910]本文研究力學性能較優(yōu)越的復合材料圓柱殼受初應力影響時的雙穩(wěn)態(tài)特性。為避免扭轉(zhuǎn)變形的影響，復合材料圓柱殼選用反對稱鋪層方式。研究結果表明，對于有初應力的復合材料圓柱殼，當初應力滿足一定條件時，柱殼為雙穩(wěn)態(tài)結構，且2個穩(wěn)定狀態(tài)對應的曲率方向可以相反或相同。這一結論與無初應力反對稱鋪層復合材料柱殼的雙穩(wěn)態(tài)曲率方向只能相同的情況有所不同。

1 復合材料本構關系

使用經(jīng)典板殼理論對復合材料圓柱殼結構進行分析，并進行如下假定：（1）柱殼為薄殼;（2）柱殼處于平面應力狀態(tài);（3）變形前垂直于中面的法線，變形后仍為直線且垂直于變形后的中面;（4）柱殼變形均為線彈性;（5）柱殼中面無應變;（6）任意時刻中面內(nèi)各點曲率均相同。

由假定（5）可知，柱殼中面不產(chǎn)生應變，故只需考慮彎矩的影響。根據(jù)經(jīng)典層合板理論，柱殼結構內(nèi)力矩與曲率的關系可以表示為

2 含初應力的柱殼模型

柱殼模型的幾何參數(shù)有縱向長度L、厚度t和圓心角α。在自然坐標系中，x軸為柱殼縱向方向，y軸為柱殼橫向方向，z軸為厚度方向。在柱殼初始狀態(tài)時，x軸方向存在初應力，其對應的單位長度上的彎矩大小為Mox，且Mox<0。根據(jù)假定（6），柱殼中面上任意一點都

可以作為自然坐標原點，假定柱殼曲率與彎矩方向一致，即正彎矩對應正曲率，那么柱殼初始曲率

根據(jù)假定（5），柱殼在變形過程中時刻保持高斯曲率為0[8]，因此對于柱殼所有可能的變形狀態(tài)，必定存在一個潛在的圓柱與之對應。通常，用2個參數(shù)描述柱殼：一個是潛在柱殼的曲率C，另一個是夾角θ。柱殼變形示意見圖2。

柱殼初始形狀對應θ=0，變形后柱殼曲率和扭率與參數(shù)C和θ的對應關系為

4 算例分析

算例選取玻璃纖維/環(huán)氧樹脂基底復合材料，以鋪設角為[45/-45/0/45/-45]的5層反對稱鋪設構成圓柱殼結構。復合材料單層厚度均為0.21 mm，初始曲率koy=1.0 m-1。材料屬性參數(shù)[8]取E1=27.60 GPa，E2=2.60 GPa，

當Mox=-1.5 N時，根據(jù)式（10）和（19），可計算得到柱殼單位面積的應變能隨參數(shù)

C和θ變化的分布。雙穩(wěn)態(tài)柱殼結構單位面積應變能分布見圖3，圖中的曲線為單位面積應變能等值線，

等值線上的數(shù)值單位為N/m。

由圖3可知，此時柱殼單位面積應變能有2個極小值，對應柱殼2個穩(wěn)態(tài)形狀，穩(wěn)態(tài)半徑分別為

柱殼單位面積應變能隨參數(shù)C和θ變化的分布見圖4。

此時，單位面積應變能只有1個極小值，對應柱殼結構的初始狀態(tài)，未出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。

5 有限元模擬

為驗證理論計算結果的正確性，采用Abaqus軟件對含初應力的復合材料圓柱殼進行有限元模擬，具體過程如下。

（1）創(chuàng)建圓柱殼幾何模型。因柱殼結構的厚度相對于長度尺寸較小，故使用常規(guī)二維殼模型模擬柱殼中面，以降低計算復雜度。柱殼模型縱向長度L=3.0 m，圓心角α=180°。

（2）添加材料屬性和創(chuàng)建復合材料截面。采用玻璃纖維/環(huán)氧樹脂基底復合材料

，5層鋪設角度為[45/-45/0/45/-45]，

復合材料的單層厚度為0.21 mm。

（3）創(chuàng)建分析步。柱殼結構從第一穩(wěn)態(tài)跳躍到第二穩(wěn)態(tài)需要附加彎矩。第一分析步附加彎矩將柱殼展平，第二分析步卸載附加彎矩到達第二穩(wěn)態(tài)。分析步總長為1，初始步長為0.1，最小步長增量為1.0×10-30。

（4）定義載荷和邊界條件。為限制柱殼自由運動，取柱殼中心6個自由度方向的運動為0，即該點被固定，附加彎矩以

Mox≈-D12koy估算。

（5）劃分網(wǎng)格。采用S4R單元對柱殼進行網(wǎng)格劃分，并自動生成網(wǎng)格模型，得到960個網(wǎng)格單元。

當初應力Mox=-1.5 N時，柱殼結構的穩(wěn)態(tài)躍遷過程見圖5。圖5（a）對應第一穩(wěn)態(tài)，即柱殼初始狀態(tài);圖5（b）對應柱殼在附加彎矩作用下的展平狀態(tài);

由于初應力的存在，柱殼在展平后會自動向另一個方向彎曲，圖5（c）對應柱殼反向彎曲狀態(tài);圖5（d）對應第二穩(wěn)態(tài)。

為研究初應力對第二穩(wěn)態(tài)半徑的影響，采用不同Mox值進行理論計算和有限元數(shù)值模擬，并將結果進行對比，見表1。有限元模擬得到的穩(wěn)態(tài)半徑與理論計算結果吻合較好。

6 結 論

利用經(jīng)典板殼理論和最小應變能原理，對含初應力的復合材料圓柱殼的雙穩(wěn)態(tài)特性進行研究。在推導雙參數(shù)應變能模型的基礎上，給出考慮初應力時雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象產(chǎn)生的條件和穩(wěn)態(tài)曲率表達式。通過理論模型算例與有限元計算結果對比，驗證本文計算方法的正確性，為進一步構造雙穩(wěn)態(tài)柱殼結構和評估其雙穩(wěn)態(tài)性能提供參考。

分析結果表明：對于反對稱鋪設的復合材料圓柱殼結構，當初應力滿足

Mox<-D12koy時，柱殼結構在其變形過程中有2個穩(wěn)定平衡位置，且第一個穩(wěn)定平衡位置對應柱殼的初始狀態(tài)，2個穩(wěn)態(tài)對應的曲率方向相反，這與無初應力時反對稱復合材料圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)對應的曲率方向相同的情況有所不同;

當初應力滿足koy（D11D22/（2D66+D12）-D12）

柱殼結構也有2個平衡穩(wěn)態(tài)位置，第一個穩(wěn)定平衡位置對應柱殼的初始狀態(tài)，2個穩(wěn)態(tài)對應的曲率相同，此時與無初應力的反對稱復合材料圓柱殼雙穩(wěn)態(tài)對應的曲率方向相同的情況一致。初應力會對第二穩(wěn)態(tài)半徑造成影響，但初應力的存在使反對稱復合材料柱殼結構在穩(wěn)態(tài)時不會產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。

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（編輯 武曉英）