袁 丁， 孫慧賢， 閆云斌， 全厚德

（陸軍工程大學(xué)a.電子與光學(xué)工程系；b.無人機(jī)工程系，石家莊050003）

分布式發(fā)射波束形成（DTBF）利用多個分布式單天線節(jié)點，形成“虛擬天線陣”.各節(jié)點以不同的權(quán)值發(fā)射同一信息，形成定向波束指向接收端，所獲得的定向功率增益可增強(qiáng)系統(tǒng)通信效能，包括擴(kuò)展通信范圍、提高通信速率、提升系統(tǒng)抗干擾能力等[1－2].DTBF在移動通信、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)、電臺應(yīng)急通信等領(lǐng)域都有研究與應(yīng)用.

DTBF要求各分布式節(jié)點精確同步載波信號[3].不同于集中式波束形成節(jié)點共用一個本振，每個DTBF發(fā)射節(jié)點配置有獨(dú)立的本地振蕩器產(chǎn)生載波信號.即使節(jié)點配置相同類型的本振，但由于制造工藝和外界環(huán)境溫度等因素影響，節(jié)點本振輸出會存在誤差，進(jìn)而影響DTBF合成性能.從本振輸出的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度來看，本振誤差包括載波初始相位偏移（IPO）、載波頻率偏移（CFO）、相位噪聲（PN）等3個偏差項.三者相互獨(dú)立，且具有不同特性.因此，有必要分析不同本振誤差偏差項對DTBF性能的影響.

已有研究多數(shù)采用接收端指標(biāo)分析某一本振偏差項的影響.文獻(xiàn)[4]分析了IPO對接收端誤碼率（BER）的影響，文獻(xiàn)[5]選用接收信號強(qiáng)度（RSS）作為指標(biāo)分析CFO影響，文獻(xiàn)[6]則分析了PN對接收天線誤差向量幅度（EVM）的影響.由于這些接收端性能指標(biāo)存在陣列形式、信道條件、調(diào)制方式等適用場景限制，而且無法反映DTBF整體波束特征，文獻(xiàn)[7]推導(dǎo)給出了任意陣平均波束圖等指標(biāo)，對DTBF性能進(jìn)行了統(tǒng)計分析.而后，文獻(xiàn)[8]基于平均波束圖，分析了IPO對DTBF性能的影響.

目前，還少有文獻(xiàn)分析同時存在以上3個本振偏差項時的DTBF性能.因此，本文建立了包含這3個偏差項的節(jié)點本振輸出相位差模型，推導(dǎo)了存在本振誤差時的任意陣平均波束圖和互補(bǔ)累積分布函數(shù)的表達(dá)式，選用波束圖參數(shù)指標(biāo)，用以分析IPO、CFO、PN對DTBF性能的影響.

1 系統(tǒng)模型

1.1 DTBF系統(tǒng)

分布式發(fā)射波束形成系統(tǒng)如圖1所示，N個發(fā)射節(jié)點任意分布在平面O－xy半徑為R的區(qū)域，將發(fā)射節(jié)點i位置標(biāo)記為（xi，yi），對應(yīng)的極坐標(biāo)為＝arctan（yi／xi）），i＝1，2，…，N.接收節(jié)點位于遠(yuǎn)場區(qū)，其位置坐標(biāo)為（A，φ0，θ0），且有A?ri.

為便于分析，進(jìn)行系統(tǒng)假設(shè)[2]如下：

（1）假設(shè)節(jié)點位置固定，配置有單個全向天線，發(fā)射節(jié)點間隔足夠遠(yuǎn)，可忽略節(jié)點天線耦合影響；

圖1 DTBF系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of DTBF system

（2）收發(fā)節(jié)點、發(fā)射節(jié)點間均為理想信道條件，不考慮信道存在散射、多徑等情形；

（3）收發(fā)節(jié)點位置信息已知，已實現(xiàn)時鐘同步和發(fā)射節(jié)點間發(fā)射信息共享.

為使DTBF合成波束指向目標(biāo)方位（A，φ0，θ0），需合理設(shè)置各節(jié)點發(fā)射信號權(quán)重，調(diào)整節(jié)點發(fā)射功率和發(fā)射信號相位.為便于分析，設(shè)置發(fā)射節(jié)點輻射單位功率，且節(jié)點i發(fā)射信號相位為

1.2 節(jié)點本振誤差模型

從本振輸出的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度來看，本振誤差包含載波初始相位偏移、頻率偏移和相位噪聲等3個偏差項.在影響分析時，考慮3個偏差項引起的本振輸出相位差，建立如圖2所示的節(jié)點本振輸出相位差模型.

圖2 節(jié)點本振輸出相位差示意圖Fig.2 Diagram of node oscillator output phase error

假設(shè)各節(jié)點配置同類型獨(dú)立本振，且節(jié)點本振誤差服從獨(dú)立同分布（i.i.d），在圖2模型及下述表述中，省略下標(biāo)i.記Ts為符號時隙長度，在第m個時隙時刻mTs，節(jié)點本振輸出相位差可表示為

式中：Δφp表示本振在初始時刻的隨機(jī)相位差，IPO在初始時刻產(chǎn)生，且不隨時間變化；Δφc（m）為CFO在mTs時間內(nèi)累積的相位差，CFO反映本振輸出的頻率準(zhǔn)確度，定義為本振實際輸出載波頻率fc與本振標(biāo)稱頻率f0之間的差值Δf，其導(dǎo)致的相位差隨時間呈線性增加，即 Δφc（m）＝2πΔfmTs；ΔφPN（m）為PN在mTs時間內(nèi)累積的相位差.相位噪聲表征本振輸出的穩(wěn)定度，假設(shè)PN在一個符號時隙內(nèi)保持不變，在符號時隙與符號時隙之間發(fā)生變化，ΔφPN（m）為m個時隙累積PN之和，即ΔφPN（m）＝.第n個時隙（1≤n≤m）的PN為

式中：φ0（n）為白噪聲過程，為第n個時隙的白噪聲累積量；φ2（n）和φ3（n）分別表示功率譜密度為1／f2和1／f3的色噪聲過程[9]；φ2（1）和φ3（1）為對應(yīng)的色噪聲在第1個時隙的累積量，且有φ2（1）～N（0，.第u個 時 隙 （2 ≤u≤n）的對應(yīng)色噪聲累積量ζ2（u）?ζ2（uTs，Ts）和ζ3（u）?ζ3（uTs，Ts），且有

式中：ζ2（uTs，Ts）和ζ3（uTs，Ts）為零均值廣義平穩(wěn)（WSS）高斯過程.

PN多采用頻域的功率譜密度來表征，對于白噪聲和色噪聲過程，其對應(yīng)的功率譜密度（PSD）為

式中：K0，K2和K3為對應(yīng)的相位噪聲系數(shù)；γ為截止頻率.

進(jìn)一步地，可根據(jù)給定的噪聲PSD，計算式（3）中φPN（n）的均值μφPN（n）和方差（n）為

且有

式中：Λ?Γ－3／2；?！?.577 2，為Euler－Mascheroni常量[10].

1.3 存在本振誤差時的遠(yuǎn)場波束圖

當(dāng)存在本振誤差時，節(jié)點i對應(yīng)的發(fā)射載波信號相位變?yōu)榇藭r，對應(yīng)的“虛擬天線陣”的陣因子為

為描述“虛擬天線陣”在φ∈[－π，π）上的合成增益，定義遠(yuǎn)場波束圖如下

2 本振誤差影響理論分析

本節(jié)基于式（14）和（15），推導(dǎo)對應(yīng)的平均波束圖、互補(bǔ)累積分布函數(shù)（CCDF）表達(dá)式，對本振誤差影響進(jìn)行統(tǒng)計分析.

2.1 基于平均波束圖的本振誤差影響分析

式（15）包含變量zi和Δφi，考慮對遠(yuǎn)場波束性能進(jìn)行統(tǒng)計分析.此時的平均波束圖為

為求解上式，需要位置變量zi和本振誤差變量Δφi的概率密度函數(shù)（PDF）.根據(jù)系統(tǒng)假設(shè)，節(jié)點服從任意分布，且節(jié)點本振誤差隨時間變化，無法事先假定其分布，此時的PDF求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉菂?shù)估計問題.借鑒文獻(xiàn)[7]和[11]，采用核密度估計（KDE）方法求解，可得在zi和Δφi處的核密度估計為

式中：在進(jìn)行KDE時，采用了高斯核函數(shù)；h和s為核密度估計窗寬；M和K為核密度估計集的樣本數(shù)；表示M個采樣點的均值；表示K個采樣點的均值.文獻(xiàn)[11]討論了KDE方法的適用范圍和使用條件，證明了該方法適用于任意節(jié)點分布形式和任意節(jié)點數(shù)情形，且在足夠的樣本數(shù)下即可使核密度估計結(jié)果收斂于任意概率分布函數(shù).核密度估計樣本集可通過實際測量或經(jīng)驗?zāi)Ｐ瞳@得.

將式（17）和（18）代入式（16）得

對式（19）進(jìn)行化簡得

對于式（20）等號右側(cè)第二項，由核函數(shù)性質(zhì)可知恒等于1，故上式可化為

同理，可化簡式（19）等號右側(cè)剩余項，則可得

式中：等號右側(cè)第一項表征平均旁瓣水平，第二項表征平均主瓣水平.存在本振誤差時，主瓣表達(dá)式中增加了，平均主瓣水平發(fā)生變化.定義為衰減因子，且有即在沒有本振誤差時，誤差越大則對應(yīng)的衰減因子越小.對于AΔφ，當(dāng)K足夠大滿足大數(shù)定理時，有AΔφ→由此可衡量本振誤差對主瓣性能影響，當(dāng)本振誤差Δφ累積到40°時，DTBF主瓣性能會衰減到無本振誤差情形的60%.由此，得到本振誤差存在時的平均波束圖的統(tǒng)一表達(dá)式.由于在推導(dǎo)過程中采用了核密度估計方法，所得表達(dá)式適用于任意節(jié)點分布和任意本振誤差分布情形.

2.2 基于CCDF的本振誤差影響分析

平均波束圖Pav（φ）反映了遠(yuǎn)場波束圖的統(tǒng)計平均特性，但某一任意陣形成的合成波束存在隨機(jī)性，尤其是旁瓣水平會出現(xiàn)波動.定義CCDF來表征在任一角度φ的平均波束能量超過閾值P0的概率[11]，利用CCDF來分析本振誤差對旁瓣的影響.將式（14）可變換為

式中：

進(jìn)而，存在本振誤差時的CCDF可表示為

式中：

此時，求解CCDF問題轉(zhuǎn)化為求解本振誤差存在時X和Y的均值和方差.以X為例，其均值μx和方差σ2x可記為

為求解式（29）和（30），需要獲得聯(lián)合概率密度fi（zi，Δφi）.由于節(jié)點位置向量和本振誤差向量相互獨(dú)立，其聯(lián)合概率密度分布函數(shù)可由KDE方法求解為

將式（31）代入式（29）和（30），可得

同理，可求得Y的均值和方差分別為

由此，即可求解某一角度φ處的CCDF，可見本振誤差的存在改變了CCDF值，即改變了合成波束圖出現(xiàn)閾值P0以上旁瓣的概率.

3 數(shù)值模擬

考慮發(fā)射端配置有單天線節(jié)點數(shù)N＝16，工作頻率f0＝60MHz，對應(yīng)波長λ＝c／f0＝5m.符號速率設(shè)置為4.8kbit／s，Ts＝1／4 800s.

設(shè)置節(jié)點分布在半徑為R的區(qū)域，且服從Differential分布，該區(qū)域被等分為5個圓環(huán)區(qū)域，由內(nèi)至外，每個圓環(huán)的節(jié)點數(shù)為總節(jié)點數(shù)N的29.55%，27.18%，22.41%，15.23%和5.63%，節(jié)點均勻分布在對應(yīng)的圓環(huán)區(qū)域[7].模擬時，考察節(jié)點分布半徑R＝15和75m這2種節(jié)點分布情形.

節(jié)點本振誤差滿足i.i.d分布，3個偏差項設(shè)置如下.

（2）頻率偏移 Δf服從零均值高斯分布[12]，其標(biāo)準(zhǔn)差為σΔf＝f0×10－6，由其導(dǎo)致的相位偏差可根據(jù)式（2）計算得到.

（3）相位噪聲.根據(jù)文獻(xiàn)[13]，設(shè)置相位噪聲PSD參數(shù)為：K0＝10－10，K2＝1.6和K3＝100，截止頻率γ＝1Hz.

由于頻率偏移引入的相位偏差和相位噪聲隨時間變化，所以考察初始（記為0）、Ts、5Ts、10Ts、15Ts等時刻的DTBF性能.模擬實驗運(yùn)行50次.

3.1 不同時刻平均波束圖比較

圖3給出了2種節(jié)點分布下的平均波束圖，比較后可以發(fā)現(xiàn)：對于2種節(jié)點分布，節(jié)點分布半徑越大，所得遠(yuǎn)場波束圖的主瓣更窄.存在本振誤差時，遠(yuǎn)場波束圖的平均主瓣水平出現(xiàn)衰減，且本振誤差越大，對應(yīng)的平均主瓣水平衰減越大，波束形成的性能越差.

為進(jìn)一步比較不同本振偏差項影響，分別定義衰減因子：本振誤差衰減因子載波頻率偏移衰減因子相位噪聲衰減因子結(jié)果如表1所示.比較分析2種節(jié)點分布式情形結(jié)果，結(jié)論如下.

（2）對后續(xù)時刻，本振誤差包含3個偏差項.頻率偏移和相位噪聲的加入，引起DTBF性能更大的衰減，對應(yīng)，且隨著時間增長，衰減因子逐漸減小.

圖3 不同節(jié)點分布的平均波束圖Fig.3 Average beampattern under different node distributions

表1 衰減因子比較Tab.1 Degradation factor comparison

3.2 波束圖參數(shù)比較

在平均波束圖基礎(chǔ)上，進(jìn)一步選取3個波束圖參數(shù)以考察波束性能，其定義如下[13].

（1）3dB主瓣φ3dB，定義為φ3dB處波束增益比目標(biāo)方向φ0衰減了3dB.波束合成設(shè)計時期望獲得窄的主瓣，即φ3dB越趨向等于φ0，反映DTBF性能越優(yōu).

（2）3dB旁瓣區(qū)域S3dB，定 義 為S3dB?且φsidelobe處波束增益比平均旁瓣水平高出3dB.平均波束圖上會存在多個位置滿足3dB增益要求，選取最小的角度值作為φsidelobe.波束合成設(shè)計時，希望減小旁瓣區(qū)域以使更多的能量集中在主瓣方向，即φsidelobe越大，反映DTBF性能越優(yōu).

（3）平均指向性因數(shù)，定義為聚集在目標(biāo)方位能量與全域φ∈[－π，π）內(nèi)總能量的比值，即有

3個參數(shù)的模擬結(jié)果如表2所示.從表2可以看出，節(jié)點本振誤差也改變了波束圖特性.隨著時間的增長，本振誤差逐漸累積，對應(yīng)的波束圖主瓣變寬，旁瓣區(qū)域擴(kuò)展，平均指向性系數(shù)減小，波束圖參數(shù)變化反映出DTBF性能的下降.尤其在15Ts時刻，出現(xiàn)φsidelobe＞φ3dB，即旁瓣區(qū)域覆蓋主瓣，同時?Dav＜0.2說明此時波束合成增益很小.

表2 波束圖參數(shù)比較Tab.2 Beampattern characteristic parameters comparison

3.3 CCDF比較

CCDF反映本振誤差對旁瓣區(qū)域的影響，由上文仿真結(jié)果可知，對任意節(jié)點分布，φ＝π／8始終位于旁瓣區(qū)域，故考察φ＝π／8，N＝16時，節(jié)點服從Differential分布，且半徑分別為R＝15和75m時的CCDF，其仿真結(jié)果如圖4所示.

圖4 不同節(jié)點分布的CCDFFig.4 CCDF under different node distributions

根據(jù)CCDF考察本振誤差對旁瓣區(qū)域的改變，在進(jìn)行DTBF設(shè)計時，期望獲得低旁瓣.對于N＝16的DTBF系統(tǒng)，由式（23）可知，其統(tǒng)計平均旁瓣水平均為10lg（1／N）＝－12dB.對于2種節(jié)點分布情形，由圖4結(jié)果可知，對于P0＞－12dB，所有情形對應(yīng)的CCDF均小于0.2，說明系統(tǒng)出現(xiàn)對應(yīng)功率值的旁瓣概率較小.但對于P0＜－12dB，存在本振誤差時的CCDF小于無本振誤差情形，說明存在本振誤差時，系統(tǒng)出現(xiàn)對應(yīng)功率值的低旁瓣的概率降低，旁瓣區(qū)域分布能量增多，也就意味著系統(tǒng)整體合成性能下降.

4 結(jié)語

本文分析了存在IPO、CFO、PN等3個本振誤差項時的分布式發(fā)射波束形成性能，采用核密度估計方法，得到了對應(yīng)的性能表達(dá)式.選用平均波束圖、衰減因子、波束圖特征參數(shù)、CCDF為指標(biāo)，分析節(jié)點本振誤差對DTBF性能的影響，并進(jìn)行相關(guān)模擬分析，得到如下結(jié)論：

（1）本振誤差會影響DTBF性能，其影響表現(xiàn)在兩方面：① 影響遠(yuǎn)場波束圖主瓣性能，導(dǎo)致平均主瓣水平下降，主瓣變寬；② 影響波束圖旁瓣特性，本振誤差會擴(kuò)展旁瓣區(qū)域，并導(dǎo)致合成波束圖出現(xiàn)高旁瓣.本振誤差導(dǎo)致的主瓣和旁瓣特性的改變，使得聚集到目標(biāo)方位的能量減少，且誤差值越大，DTBF合成性能越差.

（2）這3個本振偏差項表現(xiàn)出不同的時間特性，其對分布式發(fā)射波束形成性能影響也是不同的.IPO初始時刻存在且不隨時間變化，故在初始時刻DTBF性能的衰減是由IPO引起.CFO導(dǎo)致的本振輸出相位差隨時間呈線性增長，PN其所致相位差隨時間累積，故CFO引起的性能衰減速度大于PN.時間越長，PN所致DTBF性能衰減越明顯.