王雅貞

摘 要：直觀想象素養(yǎng)是學(xué)生發(fā)展自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需要，良好的直觀想象素養(yǎng)能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心與活力。教師在新授課中可以從概念內(nèi)涵、幾何特征、漸近線三個方面強(qiáng)化學(xué)生規(guī)范準(zhǔn)確快速作圖的意識，夯實學(xué)生直觀想象素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ)。教師在解題教學(xué)過程中應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用直觀想象素養(yǎng)去解決數(shù)學(xué)問題，其有效途徑有：第一，借助信息技術(shù)讓學(xué)生在欣賞數(shù)學(xué)外在美的過程中提高學(xué)生幾何直觀想象的能力;第二，鼓勵學(xué)生用幾何直觀探尋解決問題的最佳路徑，縱深發(fā)展自己的直觀想象素養(yǎng);第三，運(yùn)用不同形式教學(xué)案例全面培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué) ;直觀想象素養(yǎng); 培養(yǎng)策略

直觀想象是2017版新課標(biāo)的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，它是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，更是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，任何一個人都不能忽視直觀想象的重要性，它為發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題提供重要的研究手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)[1]。因此，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容將直觀想象融入教學(xué)活動中，還應(yīng)當(dāng)采取多種教學(xué)策略，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識與技能的同時，逐漸養(yǎng)成自覺運(yùn)用直觀想象去發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的良好習(xí)慣。

一、直觀想象素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用

（一）直觀想象是全面發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的需要

認(rèn)知理論認(rèn)為人思維的發(fā)展是從直觀到抽象，先有直觀然后才能進(jìn)行合理抽象，直觀想象是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者必須具備的素養(yǎng)。實踐證明，一個學(xué)生，如果他在數(shù)學(xué)新知識的學(xué)習(xí)中能夠主動結(jié)合圖形進(jìn)行新的探索，那么他會比別人爬得更高，看得更遠(yuǎn);如果他在解題的過程中自覺運(yùn)用幾何圖形來分析，那么他的解題思路一定更寬闊、更靈活、更深刻;如果他的直觀想象有了良好的發(fā)展，那么他的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也在不斷地向前發(fā)展。

（二）良好的直觀想象素養(yǎng)能提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活力

直觀想象不是幾何直觀和空間想象的簡單疊加，也不是一種知識技能和解題能力，而是一種在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的思想方法和思維習(xí)慣，這種思想方法和思維習(xí)慣對今后的學(xué)習(xí)繼續(xù)發(fā)揮著重大的作用[2]。良好的直觀想象可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心與活力，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

二、培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的路徑

（一）強(qiáng)化學(xué)生正確規(guī)范作圖意識，為培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)奠定堅實的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門學(xué)科，數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩大研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系。正如華羅庚所說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，數(shù)形隔離萬事休?！毙抡n標(biāo)中的“函數(shù)”和“幾何與代數(shù)”兩大主題就是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的沃土，是發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的有效載體，教材中的其他主題也滲透著對直觀想象素養(yǎng)的要求。因此，直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿在整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，教師在教學(xué)中應(yīng)注意從以下幾個方面培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范作圖的意識。

1.準(zhǔn)確抓住數(shù)學(xué)概念本質(zhì)規(guī)范作圖。比如立體幾何中的正三棱錐概念的內(nèi)涵是：底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。在教學(xué)實踐中相當(dāng)多的學(xué)生作圖時沒有從正三棱錐概念本質(zhì)出發(fā)，只畫出一個沒有靈魂的“死圖”。因此，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)該給學(xué)生做好示范引領(lǐng)的作用，嚴(yán)格按下列三個步驟正確規(guī)范做出正三棱錐：第一步用斜二測畫法畫出底面直觀圖（注意此時底面一定不是平面正三角形），第二步作底面正三角形的中心O（三條中線的交點(diǎn)），第三步過O作底面的垂線，在垂線上任取一點(diǎn)P（異于O點(diǎn)），最后分別連接PA、PB、PC即可得到一個正確規(guī)范的正三棱錐（如圖1）。在規(guī)范作圖的過程中，學(xué)生明白了PO垂直底面，故PO垂直AC，又BO垂直AC，所以AC垂直面POB，從而得到AC垂直PB。學(xué)生在規(guī)范作圖過程中也就掌握了正三棱錐的對棱互相垂直的性質(zhì)。

2.利用圖形的幾何特征正確快速作圖。直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線是高中數(shù)學(xué)的五大曲線，它們各自都有與眾不同的幾何特征，準(zhǔn)確把握它們的幾何特征就可以正確快速做出它們的圖形。直線的定點(diǎn)與傾斜角、圓的圓心與半徑、橢圓的范圍、雙曲線的兩條漸近線、拋物線P的幾何意義，這些都給我們作圖提供了有力的依據(jù)。比如利用3P法則[焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線L的距離為P，焦點(diǎn)F到通徑兩端A、B的距離分別為P（如圖2）]即可快速準(zhǔn)確做出拋物線的圖像，利用標(biāo)準(zhǔn)的拋物線圖像比較容易直觀掌握拋物線的相關(guān)結(jié)論。

3.關(guān)注漸近線提高函數(shù)圖像作圖的準(zhǔn)確性。學(xué)習(xí)函數(shù)離不開函數(shù)的圖像，而利用函數(shù)圖像來解決函數(shù)單調(diào)區(qū)間、值域等問題時最大的坑就在于漸近線，學(xué)生有沒有關(guān)注漸近線對解題的正誤有很大的影響。我們知道大多數(shù)函數(shù)是有漸近線的，比如反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及正切函數(shù)等，這些漸近線分為水平漸近線和垂直漸近線，當(dāng)函數(shù)圖像進(jìn)行變換之后，它們的漸近線可能依然存在，只不過是位置發(fā)生了變化。

例如反比例型的函數(shù) 1 2 1 y x = + ？ 圖像是由函數(shù)y 1x = 的圖像經(jīng)過向右平移兩個單位長度再向上平移一個單位長度而得到的，故它的漸近線也從 X 軸和 Y 軸變成了 y=1 和x=2 兩條直線，這兩條漸近線對求函數(shù) 1 2 1 y x = + ？ 的單調(diào)區(qū)間及值域至關(guān)重要（如圖 3）。因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該強(qiáng)化學(xué)生關(guān)注函數(shù)圖像的漸近線。

（二）強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用直觀想象素養(yǎng)去解決數(shù)學(xué)問題，這是形成核心素養(yǎng)的有效途徑

北京航空航天大學(xué)李尚志教授說，學(xué)生的核心素養(yǎng)只有在運(yùn)用這些素養(yǎng)解決問題的過程中才能有效形成。直觀想象素養(yǎng)不是某一個具體的知識或技能，而是一種思維一種習(xí)慣，只有在解決數(shù)學(xué)問題的過程中自然而然地運(yùn)用，才可以認(rèn)為直觀想象素養(yǎng)形成了。因此，教師的教學(xué)目標(biāo)不能止步于實現(xiàn)一個課時的知識技能目標(biāo)，而是要放眼到整個主題甚至跨主題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從整體去把握知識結(jié)構(gòu)，自覺建構(gòu)核心素養(yǎng)達(dá)成的三個水平目標(biāo)的具體行為準(zhǔn)則。教師在解題教學(xué)過程中可以從下列三個方面去逐漸培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

1.在解題過程中借助信息技術(shù)做出函數(shù)圖像，讓學(xué)生在欣賞數(shù)學(xué)外在美的過程中提高幾何直觀能力。幾何直觀是借助圖形將數(shù)學(xué)的本質(zhì)用符號外在地展現(xiàn)出來，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的一個數(shù)學(xué)理念和學(xué)習(xí)技能，利用幾何直觀可以將復(fù)雜的抽象的數(shù)學(xué)問題簡單明了化，同時也可以欣賞到數(shù)學(xué)的簡潔美、內(nèi)在美、和諧美，正如古希臘數(shù)學(xué)家普洛科拉斯說，哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美。

比如在學(xué)習(xí)均值不等式拓展函數(shù) y ax bx = + 時，教師要利用信息技術(shù)手段向?qū)W生展示這個函數(shù)的外在美，即當(dāng)a，b同號時其圖像是一對“勾號”，當(dāng) a， b異號時其圖像是雙撇或雙捺（如圖4）。函數(shù)圖像的美體現(xiàn)在于其結(jié)構(gòu)的對稱性，曲線的凹凸美，無限接近但又不相交的距離美，學(xué)生在欣賞數(shù)學(xué)美的過程中就是提高其幾何直觀能力的過程。

2.在解題過程中鼓勵學(xué)生用幾何直觀探尋解決問題的最佳路徑，讓直觀想象素養(yǎng)不斷地向前發(fā)展。一題多解能發(fā)展學(xué)生的全面思維能力，也能體現(xiàn)學(xué)生優(yōu)秀的綜合思維能力及良好的思維品質(zhì)。當(dāng)學(xué)生徘徊在岔路口選擇解題路徑的時候，我們可以讓學(xué)生用幾何直觀來探尋多種解決問題的辦法，并最終從幾何直觀中找到解決問題的最佳路徑。例如在解決極坐標(biāo)、參數(shù)方程的問題時，我們可以快速畫出草圖，認(rèn)真分析題中所求解的問題是與極點(diǎn)有關(guān)，還是與直線上的某定點(diǎn)有關(guān)，或者是其他的問題，從而在直直聯(lián)立、參直聯(lián)立、極極聯(lián)立中快速做出選擇。

3.教師要設(shè)計不同形式、不同層次的教學(xué)案例來綜合提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)水平。

案例1（教學(xué)目的：在圖像題中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象 的 一 級 水 平。）[2019全 國1（ 理 ）5] 如 圖5， 函 數(shù)在[-π，π]的圖像大致為（ ）

解析：此題重點(diǎn)考查學(xué)生識圖用圖能力，屬于直觀想象素養(yǎng)的一級水平。有圖就有真想，只需要求出兩個特殊值就可以得到答案。，故選D。

案例2（教學(xué)目的：在解決幾何問題中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的綜合素養(yǎng)。）（2008浙江理10）如圖6所示，AB是平面α 的斜線，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α 內(nèi)運(yùn)動，使得△ABP的面積為定值，則動點(diǎn)P的軌跡是（ ）[3]

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

解 析： 由S△ADP=1/2×AB ×dP-AB可 知，P到AB的距離PM為定值，能畫出圖中三角形ABP的高PM是達(dá)到直觀想象素養(yǎng)一級水平的表現(xiàn)。如果能描述出到AB距離為定值的點(diǎn)P的軌跡為一個圓柱面則可達(dá)到直觀想象素養(yǎng)的二級水平，此時一個學(xué)生直觀想象素養(yǎng)達(dá)到三級水平的特征就是可以想象出這個模型是握在手中并斜著放置的透明的水杯，通過觀察得出此時的水面呈橢圓的形狀，故選B。

拓展研究：用一個平面去截圓柱，所得到的截面圖形有哪些形狀？先讓學(xué)生通過直觀想象猜想出所有可能，再用手中水杯模型驗證自己的猜想，不難得出所得到的截面圖形有圓形、橢圓形、矩形、曲邊梯形、拱形五種不同圖形。

建構(gòu)理論提出，教師在教授學(xué)生知識的過程中不能照本宣科，教學(xué)方法不能一成不變，而是要根據(jù)自己所學(xué)的理論水平和實踐經(jīng)驗主動構(gòu)建出適合學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)模式，學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)策略也應(yīng)該在教學(xué)實踐中不斷建構(gòu)，不斷完善和改進(jìn)。

參考文獻(xiàn)

[1]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]王亞東.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的研究[D].湖南理工學(xué)院，2019.

[3]張楊文，蘭師勇.高考數(shù)學(xué)你真的掌握了嗎？圓錐曲線[M].北京：清華出版社，2014.