胡蓓蓓

(江蘇省無錫市市北高級中學(xué),214000)

本文以章節(jié)起始課“任意角”為例,探討如何在課堂中踐行以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的起始課教學(xué)，供參考.

一、對教學(xué)內(nèi)容的解讀與目標(biāo)指向

以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》為依據(jù)的新教材已于2019年下半年啟用,新課程基于“立德樹人、數(shù)學(xué)育人”理念,以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,落實“四基”,培養(yǎng)“四能”.“任意角”這一章節(jié)起始課正是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看世界、用數(shù)學(xué)語言表達世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界的難得素材.

1. 教材分析

授課內(nèi)容為蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)(必修4)》第1章“三角函數(shù)”第1節(jié)“任意角”.學(xué)生已經(jīng)在初中學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù),對角和三角函數(shù)的定義有一定了解;并且在必修1中也已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù),這些函數(shù)刻畫了生活中的某些規(guī)律.三角函數(shù)作為刻畫客觀世界周期性變化規(guī)律的重要模型,在教學(xué)中需滲透函數(shù)思想,體現(xiàn)全局觀念.學(xué)生對角的認(rèn)識很充分,這是本節(jié)課乃至本章三角函數(shù)學(xué)習(xí)的生長點,但原有角的認(rèn)知并不能完全解釋生活中的很多現(xiàn)象,角的范圍需要擴充.

2. 教學(xué)目標(biāo)和重點、難點

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

(1)能在教師創(chuàng)設(shè)的情境中認(rèn)識到學(xué)習(xí)任意角的必要性,從而借助初中已有的知識經(jīng)驗將角的概念進行推廣;

(2)能用恰當(dāng)?shù)膱D形語言和符號語言表示任意角;

(3)能理解象限角的概念及其終邊相同的角之間的數(shù)量關(guān)系,能正確、熟練地從圖形和代數(shù)兩個角度判斷一個角的終邊位置;

(4)能體驗和感悟到在任意角的建立和研究過程中所蘊含的抽象、從特殊到一般、類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想和思維方法,能體會到借助直角坐標(biāo)系研究角的優(yōu)越性.

本節(jié)課的教學(xué)重點為對任意角概念的理解；教學(xué)難點為終邊相同的角的集合表示.

二、教學(xué)過程

概念教學(xué)應(yīng)重視知識的形成過程,讓學(xué)生在實踐活動中體驗知識的由來,增強分析問題、解決問題的能力,學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看世界.

1. 概念引入

本節(jié)課分別從數(shù)學(xué)和生活兩個角度揭示角的概念及范圍推廣的必要性:體操、跳水中的動作名稱是從生活的角度闡述的,生活中存在大量循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的現(xiàn)象;而利用圓周上的角表示點P的位置，則是從數(shù)學(xué)角度引入,即是否存在一個數(shù)學(xué)模型，可以用來刻畫周期性問題中變量與變量的關(guān)系?

(1)創(chuàng)設(shè)情境:日出日落,寒來暑往,四季更替,生活中有很多這樣周而復(fù)始的現(xiàn)象.比如轉(zhuǎn)動的摩天輪,環(huán)繞一周需18分鐘,6分鐘后轉(zhuǎn)120°,半小時后轉(zhuǎn)600°,也有同學(xué)認(rèn)為是240°,因為600°超出了初中認(rèn)識的角的范圍.通過這種思維的碰撞,教師引導(dǎo)學(xué)生思考:600°的角是怎樣的一個圖形呢?當(dāng)然現(xiàn)實生活中還有很多這樣的角,比如體操轉(zhuǎn)體中的720°,540°等,都與學(xué)生頭腦中的既有知識產(chǎn)生沖突,讓學(xué)生感覺到有必要對角的概念進行推廣.

設(shè)計意圖三角函數(shù)的自變量是角,涉及到旋轉(zhuǎn)以及數(shù)形結(jié)合等.選擇轉(zhuǎn)動的摩天輪作為熟悉的問題情境,抽象出最簡單的周期變化模型——圓周運動,通過刻畫圓周運動上點的位置變化,直觀感受角的“任意性”,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).

(2)溫故知新:初中是如何定義角的?

定義1平面內(nèi)有公共端點的兩條射線組成的圖形.這是從角的最終形成結(jié)果給出的靜態(tài)定義.

定義2平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.這個定義不僅呈現(xiàn)了角的最終形成結(jié)果,而且也給出了角的形成過程,是角的動態(tài)定義.

設(shè)計意圖通過具體生活實例，打破學(xué)生原有的角不大于360的認(rèn)知,思考如何完善角的概念,認(rèn)識到學(xué)習(xí)任意角的必要性.

2. 概念生成

問題1你認(rèn)為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°所形成的角,與順時針方向旋轉(zhuǎn)60°所形成的角是否相同?

設(shè)計意圖為了體現(xiàn)規(guī)定的合理性,與正負(fù)數(shù)表示相反意義的量進行類比，與平面直角坐標(biāo)系逆時針為正方向類比.類比是基本的數(shù)學(xué)思想方法之一,數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要向?qū)W生傳授知識與技能,更要傳授思想和方法,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識和情感價值觀,學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維分析世界.

學(xué)生活動1畫出30°,210°,-150°,-660°這四個角.

設(shè)計意圖從認(rèn)識生活中的角到學(xué)生畫角,從感性到理性,自己動手,體驗任意角的概念以及正負(fù)角的區(qū)別,強化本節(jié)課的教學(xué)重點,同時為更好地描述象限角、軸線角以及為引出終邊相同的角的探究做好鋪墊.在展示學(xué)生活動成果時,強調(diào)作圖不僅要畫出角的終邊,還要呈現(xiàn)角的旋轉(zhuǎn)過程,培養(yǎng)學(xué)生用恰當(dāng)?shù)膱D形語言和符號語言表示任意角的能力.

3. 概念深化

推廣后的任意角在數(shù)學(xué)中如何刻畫,怎樣描述更加合理、方便呢?通常將角放到平面直角坐標(biāo)系中,以角的頂點為坐標(biāo)原點,角的始邊為x軸正半軸,那么角的終邊落在第幾象限,就稱這個角為第幾象限角;如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上,稱為軸線角,軸線角不是任何象限角.

問題2判斷以下說法是否正確:(1)銳角一定是第一象限的角;(2)第一象限的角一定是銳角;(3)第二象限的角一定比第一象限的角大.

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):在平面直角坐標(biāo)系中,給定角,就可以畫出圖形,就有唯一的終邊與之對應(yīng);反之,給定終邊,角不能唯一確定.

學(xué)生活動2請你寫出一個正角、一個負(fù)角,并請同桌在平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個角,判斷分別是第幾象限角.

預(yù)設(shè)生成:設(shè)置學(xué)生活動,在合作中加深對角的概念的理解,體會直角坐標(biāo)系研究角的優(yōu)越性.課前預(yù)設(shè)有學(xué)生會寫出比較復(fù)雜的角,直接畫圖感到困難.引導(dǎo)學(xué)生思考:難道只能一圈一圈地旋轉(zhuǎn)嗎?學(xué)生產(chǎn)生內(nèi)在驅(qū)動力,感覺到非常有必要去研究終邊相同的角的關(guān)系.

學(xué)生活動3請同學(xué)們探究與210°終邊相同的角的集合.

設(shè)計意圖如何區(qū)別這些具有相同幾何特征的角?體現(xiàn)了處理周期現(xiàn)象的一般原則.這對于學(xué)生是陌生的,理解有一定困難,但突破這一難點對深入學(xué)習(xí)本章知識十分重要.所以教師采取從特殊到一般的方式,引導(dǎo)學(xué)生作圖發(fā)現(xiàn)這些角的終邊旋轉(zhuǎn)相差若干周,則在數(shù)量上相差k×360°.通過觀察、猜想、歸納等一系列合情推理,得到終邊相同角的關(guān)系的背后是數(shù)、形兩個方面的闡釋,既可以從代數(shù)(即數(shù)量關(guān)系)角度,也可以從幾何(即圖形特征)角度,由幾何位置探討其代數(shù)特征的“統(tǒng)一”,感受數(shù)學(xué)的整體性,學(xué)會用數(shù)學(xué)語言來表達世界.

4. 概念應(yīng)用

例1在0°～360°的范圍內(nèi),找出與-950°12′終邊相同的角,并判斷它是第幾象限角?

5. 歸納小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要知識有:任意角,象限角,終邊相同的角.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),體會兩個主要核心思想:(1)如何確定一個角,不僅要關(guān)注形成的結(jié)果,還得關(guān)注形成的過程,在潛移默化中給學(xué)生滲透了任意角是“旋轉(zhuǎn)出來的”這一本質(zhì);(2)把一個任意角不斷地重復(fù)旋轉(zhuǎn)(k×360°)得到無數(shù)個與它終邊相同的角,這其實就是一種周期思想的萌芽,為學(xué)習(xí)本章內(nèi)容做好前瞻性的鋪墊,使本節(jié)課得到升華,而這也正是本節(jié)課的重點和難點.

設(shè)計意圖這種“生長式小結(jié)”給出了本節(jié)課所在知識模塊的地位,聚意點睛,讓學(xué)生能從全局、整體角度感知本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,注重知識的縱向發(fā)展和橫向聯(lián)系,凸顯數(shù)學(xué)思想,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

三、對章節(jié)起始課的教學(xué)建議

弗賴登塔爾說“數(shù)學(xué)是充滿聯(lián)系的,不要教孤立的片段,應(yīng)該教聯(lián)系的材料”.數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生不是孤立的,而是人們在長期的生產(chǎn)實踐中發(fā)現(xiàn)的,必然有其內(nèi)在規(guī)律.所以幫助學(xué)生搭建認(rèn)知結(jié)構(gòu),加強概念之間的聯(lián)系,讓概念理解從“孤立”存在變?yōu)椤绑w系”存在,用聯(lián)系的觀點明確新概念研究的主要內(nèi)容和基本研究方法,符合課程標(biāo)準(zhǔn)提出的如下要求：“把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中,注重知識的結(jié)構(gòu)和體系,處理好局部知識和整體知識的關(guān)系,引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性”.

隨著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)這一課程目標(biāo)的提出,“單元整體教學(xué)” 成了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究的熱點,而章起始課就是在進入單元具體知識的學(xué)習(xí)之前,通過先行組織,系統(tǒng)建構(gòu)出本章知識框架,幫助學(xué)生高屋建瓴地認(rèn)識學(xué)習(xí)內(nèi)容、形成認(rèn)知結(jié)構(gòu),力求知識的融匯貫通.英國教育家懷特海曾說過:“教育使人通過樹木見到森林”.章節(jié)起始課用整體的視角、聯(lián)系的觀點、發(fā)展的眼光看本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容,在理解教學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上,運用行之有效的起始課教學(xué)策略,充分挖掘起始課的價值,讓學(xué)生見木又見林,充分體驗數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”,完善知識體系,實現(xiàn)深度學(xué)習(xí),從而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).