楊春猛 文 萍

(云南省玉溪市紅塔區(qū)教育科學(xué)研究所,653100) (云南省玉溪師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，653100)

“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”是高中數(shù)學(xué)選修4-4的重要內(nèi)容,也是高考選考內(nèi)容的考點之一.本文結(jié)合典型例題,研究不同類型的解題策略.

一、參數(shù)方程表示點的問題

參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點的坐標(biāo)的方程,是曲線在同一坐標(biāo)系下的另一種表示形式.自然而然,參數(shù)方程就具有“點的本質(zhì)”.從這個角度出發(fā),可以把參數(shù)方程中與點有關(guān)的問題歸納為三類問題來研究:

1.點到點的距離問題

∴t=0時,|PC|最小,此時P(3,0).

評析第(2)問的解法1,使用了點到直線的距離公式求解,比較符合學(xué)生的思維習(xí)慣.但這里需要求兩點間距離最小時的點P的坐標(biāo),就得先求出過圓心且垂直于直線l的方程,再聯(lián)立求解,比較麻煩.如果理解了參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點的坐標(biāo)的方程,就能想到解法2,簡潔迅速地解決問題.

2.點到直線的距離問題

例2在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為

(2)設(shè)點Q是曲線C上的一個動點,求它到直線l的距離的最小值.

解析(1)略.

評析第(2)問是把參數(shù)方程看作點的坐標(biāo)的典型問題,很自然地想到使用點到直線的距離公式.

3.點的軌跡方程問題

(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；

(2)將M到坐標(biāo)原點的距離d表示為α的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點.

評析第(1)問是點的軌跡的問題,t=α?xí)r表示動點P,t=2α?xí)r表示動點Q,M為PQ的中點,使用中點坐標(biāo)公式就可以解決問題,這源于參數(shù)方程表示點,反之,點也可以表述為參數(shù)方程的形式.第(2)問的距離d是點M到坐標(biāo)原點的距離,自然地使用兩點間距離公式就可以了.

二、直線參數(shù)方程的幾何意義問題

1.標(biāo)準(zhǔn)的直線參數(shù)方程問題

(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程;

(2)設(shè)l與曲線C相交于A,B兩點,求|AB|的值.

解析(1)曲線C化為ρ2-6ρcosθ+2ρsinθ+1=0,化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2-6x+2y+1=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y+1)2=9,

2.非標(biāo)準(zhǔn)的直線參數(shù)方程問題

(1)說明C2是哪種曲線,并將C2的方程化為普通方程;

解析(1)略.

三、極坐標(biāo)中ρ的幾何意義問題

(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;

解析略.

評析第(2)問因為直線過原點,所以解法1直接使用極坐標(biāo)中極徑ρ的幾何意義；解法2則是使用直線參數(shù)的幾何意義另外一個角度,直線過了定點(原點),根據(jù)題型的分析可知,故可以考慮使用直線參數(shù)的幾何意義來解決.

綜上所述,極坐標(biāo)與參數(shù)方程可以歸納總結(jié)為四類問題來研究,分別是相互轉(zhuǎn)化的問題、參數(shù)方程點的本質(zhì)的問題、直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義問題,極坐標(biāo)中極徑的幾何意義問題,可以簡記為: “相互化，點本質(zhì)，定點t，原點ρ”.