徐咪咪

(江蘇省蘇州市第五中學(xué)校，215008)

弗賴登塔爾提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的‘再創(chuàng)造’.”建構(gòu)主義也強(qiáng)調(diào)不能無視學(xué)習(xí)者原有的知識經(jīng)驗(yàn),簡單地從外部對學(xué)習(xí)者進(jìn)行知識的灌輸.應(yīng)該從學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)出發(fā),讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程,不斷豐富活動經(jīng)驗(yàn),提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文以“對數(shù)函數(shù)(第一課時)”中的幾個教學(xué)環(huán)節(jié)為例,談?wù)劰P者的一些做法和認(rèn)識.

一、教學(xué)片斷

環(huán)節(jié)1 在數(shù)與數(shù)的關(guān)系中形成概念

師:今天我們一起來研究對數(shù)函數(shù).先請同學(xué)們來回憶一下什么是對數(shù)?

生齊答:若ab=N,則b=logaN.

師:指數(shù)與對數(shù)之間有非常密切聯(lián)系.今天我們學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù),也將從指數(shù)函數(shù)入手.我們知道y=2x是細(xì)胞個數(shù)關(guān)于分裂次數(shù)的一個函數(shù)模型,給出分裂次數(shù)x的值,就能求出相應(yīng)細(xì)胞個數(shù)y的值.那么,反過來,如果知道了細(xì)胞個數(shù)y,能否求出分裂次數(shù)x呢?

生1:可以.當(dāng)y取1時,對應(yīng)x為0;當(dāng)y取2時,對應(yīng)x為1;當(dāng)y取3時,那么對應(yīng)x為…

生1脫口而出,顯然沒有深入想下去.這一停頓,給了其他同學(xué)機(jī)會.

生2:2x=3,所以x=log23.

師:那么對于給定的正數(shù)y0呢?

生齊答:x0=log2y0.

(學(xué)生邊說,教師邊列出表格.)

表1

師:這里的x0隨著y0的變化而變化.這符合前面我們學(xué)過哪個概念?

生3(搶答)函數(shù).

師:對!這樣我們就得到了一個新的函數(shù)x=log2y.只不過,它的自變量是y,因變量是x.這就是我們今天要學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù).習(xí)慣上,仍用x表示自變量,用y表示因變量,即為y=log2x.那么一般地,函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù).

點(diǎn)評以熟悉的細(xì)胞分裂的實(shí)例為背景,有助于學(xué)生直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系,感受研究對數(shù)函數(shù)的意義.從特殊到一般,學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、概括,概念自然生成.

環(huán)節(jié)2 在形與形的對比中發(fā)現(xiàn)性質(zhì)

師:如何得到對數(shù)函數(shù)這個陌生函數(shù)的圖象呢?

生4:可以先畫個特殊的,比如y=log2x.

師:作函數(shù)圖象的基本方法是什么?

生齊答:列表、描點(diǎn)、連線.

師:自變量取哪些值合適呢?

根據(jù)前面引入的鋪墊,師生共同探討自變量x的取值,得到下表.

表2

師:除了這幾個常見的取值,還有嗎?

生5:x取16,那對應(yīng)y取4.

生6(搶著回答):還有-2.

話音剛落,好多同學(xué)都向生6投以懷疑的目光.

生7:沒有這樣的y.負(fù)數(shù)是沒有對數(shù)的.

師:很好!對數(shù)函數(shù)的定義域是一切正實(shí)數(shù).

(學(xué)生列表、描點(diǎn)、連線,在學(xué)案上作出y=log2x的圖象)

師:請同學(xué)們觀察一下,函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)?

生8:函數(shù)圖象從左至右逐步上升!左邊部分與y軸無限接近.

師:函數(shù)y=log2x足以代表一般的對數(shù)函數(shù)y=logax嗎?

生9(不太自信)跟指數(shù)函數(shù)類似,是不是還要畫一個底數(shù)小于1的?

(小組討論5分鐘,交流各自的想法)

生10:仿照y=log2x的作圖過程,也可以列表描點(diǎn)連線來作圖象.

師:這個你是怎么發(fā)現(xiàn)的?

生12(指了指左邊的同學(xué)):是我們一起發(fā)現(xiàn)的,我們把y=2x圖象和y=log2x的圖象作在同一坐標(biāo)系中,發(fā)現(xiàn)它們關(guān)于直線y=x對稱.所以猜想這個應(yīng)該是對的.

師:對于一般情況,函數(shù)y=logax與y=ax的圖象也是關(guān)于直線y=x對稱的.

生13:這次是自左向右不斷下降,圖象左部分也是無限接近y軸.

師:從這四個對數(shù)函數(shù)的圖象中,同學(xué)們能歸納出對數(shù)函數(shù)的圖象特點(diǎn)嗎?

生齊答:分底數(shù)a>1和0

(教師用幾何畫板動態(tài)演示底數(shù)a的不同取值時的圖象,驗(yàn)證猜測)

師:通過對數(shù)函數(shù)的圖象研究,可以得到對數(shù)函數(shù)有哪些性質(zhì)?

(學(xué)生自主完成下面的表3，教師挑選一位同學(xué),利用實(shí)物投影進(jìn)行展示)

表3

師:對照指數(shù)函數(shù),同學(xué)們有什么想法?

生14:對數(shù)函數(shù)的定義域和值域跟指數(shù)函數(shù)剛好相反.

師:有同學(xué)能解釋一下這個原因嗎?

生15:y=logax與y=ax的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

生16:y=logax中的x,其實(shí)對應(yīng)的是y=ax里的y.

師:大家從數(shù)和形兩個角度闡述了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的關(guān)系,其實(shí)這兩個函數(shù)互為反函數(shù).關(guān)于反函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容,可參見本節(jié)課本上的鏈接部分先猜想再論證,合理運(yùn)用幾何畫板,讓學(xué)生掌握基本圖形,掌握變換規(guī)律.

點(diǎn)評合理運(yùn)用幾何畫板,讓學(xué)生掌握基本圖形及其變換規(guī)律.運(yùn)用函數(shù)本身刻畫,把“圖象特征”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表示”,在具體的例子中抽象概括出共同的本質(zhì)特征,得到一般性的結(jié)論.

環(huán)節(jié)3 在值與值的比較中提升認(rèn)識

學(xué)生活動:比較下列各組數(shù)中兩個值的大小:

(1)log23.4,log23.8;

(2)log0.51.8,log0.52.1;

(3)log25,log30.7;

(4) log35,log85.

(學(xué)生自主思考5分鐘后,小組討論交流3分鐘.)

師:前兩組,我看很多同學(xué)基本是“秒殺!”請一位同學(xué)來說說理由.

生17:第一組,由于函數(shù)y=log2x單調(diào)遞增,3.4<3.8,因此log23.4log0.52.1.

師:很好!利用函數(shù)單調(diào)性比較對數(shù)大小.那第三組呢?

生18:這道題是同桌啟發(fā)我的,他說沒想法就畫個圖吧.結(jié)果我發(fā)現(xiàn)一個比0大,一個比0小,log25>0>log30.7.

師:底數(shù)不同,單調(diào)性不能用了,用特殊值,不失為一個好辦法.

生19:第四組也可以跟特殊值比,log35>1>log85.

師:這兩個對數(shù)真數(shù)相同,就沒有其他方法嗎?

(短暫的沉默之后,有一個聲音響起)

生21:補(bǔ)充一下,應(yīng)該是log35>log85>0.

師:這樣就更加嚴(yán)謹(jǐn)了.有沒有同學(xué)愿意來小結(jié)一下比較兩個對數(shù)大小的問題?

生22:底數(shù)相同的情況下,可以考慮利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,底數(shù)不同,可以利用特殊值.

生23:有的也可以通過變形,轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.

點(diǎn)評本題前幾組比較基礎(chǔ),最后一組具有開放性,有利于知識的觸類旁通.通過對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,加深對對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解.

二、幾點(diǎn)思考

1.學(xué)情分析是活動設(shè)計的出發(fā)點(diǎn)

本節(jié)課利用學(xué)生在指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)過程獲得的經(jīng)驗(yàn),通過指數(shù)、對數(shù)的相似性研究,從整體上類比得到對數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生體會函數(shù)的研究方法與過程的一致性,培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知策略,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的內(nèi)化.

2.注重體驗(yàn)是活動設(shè)計的落腳點(diǎn)

本節(jié)課將學(xué)生的手、眼、腦、口等重要器官協(xié)調(diào)運(yùn)動起來,使學(xué)生經(jīng)歷觀察、想象、發(fā)現(xiàn)、對比、交流等數(shù)學(xué)活動過程,讓學(xué)生自己觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、概括,在活動體驗(yàn)中進(jìn)一步加深對知識的理解.

通過對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)關(guān)系的研究,讓學(xué)生對反函數(shù)的概念有直觀的認(rèn)識,也加深對函數(shù)的理解.一系列的分析與探究,既豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),鍛煉了學(xué)生的理性思維能力,也發(fā)展了學(xué)生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

3.師生互動是活動設(shè)計的助力點(diǎn)

在學(xué)習(xí)活動的設(shè)計上,教師要關(guān)注“收”與“放”的藝術(shù).學(xué)生建構(gòu)知識的過程,是一個“悟”的過程.既要考慮教學(xué)過程的完整性,也要為學(xué)生留有思考、體會、回味的時間.在問題的設(shè)置上,要適當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突,在沖突中感知,在沖突中反思,使得其思維層層遞進(jìn),逐步走向深刻.活動中常常也有新的沒有預(yù)期的情況出現(xiàn),活動設(shè)計上首先要留有調(diào)整的余地.過程中也需要教師以學(xué)生的思維角度、思維習(xí)慣、思維方法一同去體驗(yàn)、探究,實(shí)時調(diào)控,力求做到教學(xué)合拍,課堂才能充滿生機(jī)與活力.