唐基凱

(長沙理工大學 土木工程學院， 湖南 長沙 410114)

目前對車橋耦合的研究已從只探究車橋本身(不考慮外部激勵)相互耦合逐步深入到考慮外部激勵(風荷載、撞擊等)對車橋耦合的影響。橋面不平順作為隨機外部激勵對車橋耦合振動有著重要影響。張建波等基于虛擬激勵法對重力引起的確定性激勵和橋面不平順引起的隨機激勵對橋梁的動態(tài)響應進行了研究；盛國剛等利用三角級數(shù)模擬橋面不平順，分析了橋面不平順對車橋耦合振動系統(tǒng)動力效應的影響；Y. Zhang等采用非線性多彈簧輪胎動力分析模型，分析了分離和橋面不平順對車橋交互系統(tǒng)的影響。此外，在橋梁使用壽命期間，由于荷載的動態(tài)交互作用，梁體極易產生裂紋，有必要分析含裂紋梁體的車橋耦合振動。C. Y. Fu模擬了裂紋切換瞬態(tài)(打開與關閉)對車橋耦合振動的影響；羅紀彬等分析了移動車輛荷載作用下含裂紋梁的非線性動力特性。上述研究忽略了橋面不平順的影響，使研究結論不夠完整。該文基于Hamilton原理,同時考慮橋面不平順和梁體含裂紋，對車橋耦合系統(tǒng)動力響應進行研究，探討裂紋深度、位置及橋面不平順等級、行車速度、車輛質量等參數(shù)對車橋耦合系統(tǒng)動力響應的影響。

1 考慮橋面不平順的車橋系統(tǒng)

如圖1所示，設梁截面為矩形截面，梁長與梁高分別為l、h，在距左端支座l0處存在深度為a的表面裂紋。k1、c1分別為車輛懸掛系統(tǒng)的剛度與阻尼系數(shù)，M1、M2分別為車輪和車輛的質量，Z(t)為彈簧上車輛位移。設車輛以速度v勻速行駛通過橋梁，且車輛輪胎始終與橋梁點接觸，不考慮脫離，則車輪與橋梁接觸處的位移y(x,t)為：

y(x,t)=w(x,t)+r(x)

(1)

式中：w(x,t)為與橋面接觸輪胎位移；r(x)為橋面不平順值。

圖1 車橋耦合振動模型

根據(jù)Hamilton變分原理，彈性變形體動力學變分一般表達式為：

(2)

式中：δT、δU、δW分別為系統(tǒng)的動能、應變能和外力功的變分。

設梁結構的密度為ρ，梁橫截面積為A，梁豎向位移為w，則梁動能為：

(3)

系統(tǒng)的勢能包括梁的形變勢能Ub和裂紋位置釋放的應變能Uk，令U=Ub-Uk，將梁簡化為一維伯努利梁，只考慮其抗彎剛度，則梁的形變勢能為：

(4)

式中：E、I分別為梁的彈性模量和慣性矩。

根據(jù)線性斷裂力學理論，裂紋位置釋放的應變能為：

(5)

裂紋處釋放的應變能為：

(6)

外力功為：

(7)

作用在梁上的外部荷載P(x,t)為：

P(x,t)=δ(x-vt){(M1+M2)g-

(8)

式中：δ為Dirac函數(shù)。

將式(3)、U=Ub-Uk、式(7)代入式(2)，得到含裂紋梁的振動方程：

(9)

車輛動力平衡方程為：

(10)

式(9)和式(10)即為橋面不平順時含裂紋簡支梁與移動車輛系統(tǒng)動力耦合運動方程。

2 方程求解

簡支梁橋的邊界條件可寫為:

(11)

同理，由式(10)可得：

(12)

式(11)和式(12)即為考慮橋面不平順時含裂紋梁車橋耦合系統(tǒng)動力控制方程。

3 橋面不平順的模擬

橋面不平順隨機激勵r(x)可按三角級數(shù)模擬：

式中：N為充分大的整數(shù)，為空間頻率帶的等分數(shù)；G2(ni)=4Gd(ni)Δn；n為空間頻率；Gd(n)為位移功率譜密度，Gd(n)=Gd(n0)(n/n0)-w1；Gd(n0)為路面平整度系數(shù)；n0為參考空間頻率值；w1為頻率指數(shù)；ni=nd+(i-1/2)Δn(i=1,2，…,N)；Δn=(nm-nd)/N；nm、nd為有效空間頻率上、下限；x為橋面縱向坐標；φi為隨機相位角，是滿足均勻分布的介于[0,2π]間的隨機數(shù)。

加速度功率譜Ga(n)、速度功率譜Gv(n)與位移功率譜之間的關系為：

Ga(n)=Gd(n)·(2πn)4

Gv(n)=Gd(n)·(2πn)2

橋梁不平順考慮橋面等級為A、B、C、D 4個等級，其中A、D級橋面的模擬數(shù)據(jù)見圖2。

圖2 不同等級下橋面不平順值

4 數(shù)值分析

采用Runge-kutta法對式(11)、式(12)聯(lián)立的微分方程組進行求解。為驗證上述方法的有效性，在忽略橋梁幾何非線性和梁體裂紋的基礎上得到車橋耦合系統(tǒng)橋梁的位移時程(見圖3)。根據(jù)圖3，采用上述方法得到的結果與文獻[11]中結果吻合，上述方法可靠。

圖3 忽略裂紋時梁體位移時程

橋面不平順狀態(tài)下含裂紋梁采取如下參數(shù)進行分析并忽略車輪質量：梁長l=40 m；彈性模量E=1.28×109N/m2；梁單位長度質量m=2 303 kg；慣性矩Iy=1.0 m4；梁體密度ρ=7 200 kg/m3；車體質量M2=2 000 kg；懸架剛度k=160 kN·s/m；車輛勻速經過橋梁的速度v=10 m/s；阻尼系數(shù)c1=2×103N·s/m；泊松比μ=0.2；梁體高度h=0.8 m；裂紋深度a=0.2 m；梁體橫截面面積A=0.36 m2；l0=l/2。

圖4為以A級橋面不平順作為隨機激勵時梁體是否含裂紋及裂紋深度對車橋系統(tǒng)位移的影響。由圖4可知：不管是否考慮裂紋，梁體波動的位移最大值都位于跨中附近；考慮梁體含裂紋時，梁體位移明顯變大且位移增幅在跨中處更明顯。裂紋深度從零增加到0.4 m時，梁體位移增加并不是線性的，裂紋深度從0.2 m增加到0.4 m時梁體位移增量比從零增加到0.2 m時的大。因此，在梁體位移幅值、不利位置處考慮梁體含裂紋是有必要的。

圖4 梁體裂紋深度對車橋系統(tǒng)位移的影響

圖5為裂紋深度為0.2 m時，忽略橋面不平順及不同等級橋面不平順對車橋系統(tǒng)位移的影響。由圖5可知：系統(tǒng)跨中位移考慮橋面不平順后圍繞平順狀態(tài)上下波動，考慮橋面不平順時跨中位移峰值比平順下位移增大且受梁體波動更復雜?？紤]不同等級橋面不平順時，梁體波動曲線變化不大，但隨著橋面不平順等級的提高，梁體跨中位移峰值有所增大。說明橋面鋪裝的平整度對車橋系統(tǒng)的安全有一定影響。

圖5 不同等級橋面不平順對系統(tǒng)位移的影響

圖6為裂紋深度為0.2 m、隨機激勵為A級橋面不平順時，行車速度對車橋系統(tǒng)位移的影響。由圖6可知：隨著行車速度的增加，梁體位移增加，但梁體最大位移的位置不受速度影響，都集中在跨中附近；行車速度越大，梁體波動頻率越小，行車速度低時出現(xiàn)多個位移峰值。這是由于梁體是彈性體，行車速度低時梁體部分撓度能自行恢復，而速度較高時，梁體變形不能及時恢復，導致其撓度增加。

圖6 行車速度對車橋耦合系統(tǒng)的影響

設車橋質量比系數(shù)u=M2/(ml)，考慮u為0.02、0.03、0.05。圖7為車橋質量比對車橋系統(tǒng)動力響應的影響。由圖7可知：隨著車橋質量比的增加，梁體位移有所增加，但梁體波動頻率并未改變。說明車輛質量增加會增加梁體波動位移，但不改變其振型。

圖7 車橋質量比對車橋系統(tǒng)動力響應的影響

5 結論

(1) 橋面不平順狀態(tài)下考慮梁體含裂紋時，梁體跨中位移響應隨裂紋深度增加而增加，且在跨中增加更明顯，但裂紋深度線性增加時，梁體位移響應增加為非線性。

(2) 考慮橋面不平順影響時，跨中位移響應比平順狀態(tài)下有所增大，不僅位移幅值增加，梁體的波動也更復雜。在不同等級橋面不平順下，路面平整狀態(tài)越差，梁體跨中位移幅值越大，考慮橋面平整狀態(tài)對系統(tǒng)的安全有必要。

(3) 隨著行車速度的增加，梁體位移增加，車速較高時梁體不能及時恢復變形而使第一次位移峰值變大且位置靠后。隨著車橋質量比的增加，梁體位移有所增加，但車輛質量的增加并不改變其振型。