劉熙娟，劉 云

（塔里木大學(xué) 信息工程學(xué)院，新疆 阿拉爾 843300）

一、引言

高等數(shù)學(xué)是各類高等院校多種專業(yè)（包括許多文科專業(yè)）開設(shè)的一門重要基礎(chǔ)理論課，對學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)以及思維素質(zhì)的培養(yǎng)起著非常重要的作用。高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的目的在于讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本理論、方法和技能，同時還要培養(yǎng)學(xué)生自覺運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的理論知識解決實際應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)能力。然而高等數(shù)學(xué)中大量復(fù)雜的計算往往使學(xué)生望而生畏，部分學(xué)生對數(shù)學(xué)的抽象性感到困惑，對枯燥的理論推導(dǎo)感到厭煩，從而對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)失去信心。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育過分強(qiáng)調(diào)形式化的邏輯推導(dǎo)，缺乏體現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的橫向聯(lián)系，使得充滿活力、充滿生機(jī)、充滿美感的數(shù)學(xué)成了內(nèi)容多負(fù)擔(dān)重的習(xí)題、結(jié)論和公式的堆積，也難以將數(shù)學(xué)知識運(yùn)用到實際生活中去。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中若能采用一些數(shù)學(xué)軟件解決機(jī)械的數(shù)值計算與符號演算，把更多的精力用于加強(qiáng)“本質(zhì)”性問題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生親身體會數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)、經(jīng)營和管理活動中的應(yīng)用，使得高等數(shù)學(xué)課程從“學(xué)數(shù)學(xué)”向“用數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變，從“理論教學(xué)”到“應(yīng)用教學(xué)”轉(zhuǎn)變，充分領(lǐng)略數(shù)學(xué)的“工具性”與“應(yīng)用性”，同時革新教學(xué)手段和教學(xué)方法，定能充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深對理論知識的理解，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，以期達(dá)到教學(xué)效果的最優(yōu)化。

Mathematica的出現(xiàn)為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)提供了輕松的氛圍，它是集文本編輯、數(shù)學(xué)計算、邏輯分析、圖形、動畫于一體的高度優(yōu)化的專家系統(tǒng)，是目前比較流行的數(shù)學(xué)軟件之一。Mathematica軟件的原始系統(tǒng)是由美國物理學(xué)家Stephen Wolfram領(lǐng)導(dǎo)的一個小組于1987年研究開發(fā)的。由于Mathematica軟件界面直觀，便于安裝，且提供了很好的幫助功能，新手容易上手，因此比較適用于高等數(shù)學(xué)的實驗教學(xué)?；诖耍疚闹饕獜木唧w實例出發(fā)，以高等數(shù)學(xué)為切入口，利用Mathematica軟件解決高等數(shù)學(xué)中遇到的一些具體問題。

二、Mathematica軟件的舉例說明

下面就如何借助Mathematica軟件的可視化交互功能，在高等數(shù)學(xué)符號演算、數(shù)值計算和繪圖功能等幾個方面的應(yīng)用進(jìn)行簡要闡述。

1.符號演算。高等數(shù)學(xué)中常見的符號演算問題，如求極限、求導(dǎo)數(shù)、求積分等，用Mathematica軟件來解決更能體現(xiàn)其優(yōu)越性。

這是未定式極限問題，需用兩次洛必達(dá)法則才能求出結(jié)果，而且在計算中容易出錯。若用Mathematica軟件，只需輸入命令：Limit [（Sin [1/x]+Cos[1/x]）^x，x->+Infinity）]，即可得結(jié)果：e。

不定積分是積分學(xué)的基礎(chǔ)，要準(zhǔn)確地計算一個復(fù)雜函數(shù)的不定積分，需要相當(dāng)復(fù)雜的步驟，但是如果借助Mathematica軟件，往往可以達(dá)到事半功倍的效果。這是一個三角函數(shù)有理式的積分，需要先借助三角形萬能公式把sinx和cosx轉(zhuǎn)化成同一個三角函數(shù)，再做變量代換，最后化簡求積分，過程枯燥、煩瑣，但是在Mathematica軟件中，只需輸入命令：Integrate[（1+Sin[x]）/（Sin[x]+Sin[x]×Cos[x]），x]；Simplify[%]，即可得結(jié)果：

2.數(shù)值計算。Mathematica能求微分方程（組）的準(zhǔn)確解，能求解的類型基本覆蓋了人工可求解的范圍，功能很強(qiáng)，但不如人靈活，輸出的結(jié)果與教材上的答案可能在形式上有所不同。此外，Mathematica求數(shù)值解也很方便，而且有利于作出解的圖形。

在Mathematica軟件中，命令如下：

可得結(jié)果：

用Mathematica軟件還可得到該微分方程在平面中表示的圖形，如圖1。

圖1

說明：上例是求一個著名方程組的數(shù)值解的問題，通過求數(shù)值解容易得到它的相圖，In[4]繪制了解的相軌線如圖1所示，由圖可知原點是奇點，極限環(huán)的形狀也可以觀察到。

3.圖形處理。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，空間圖形的繪制是個難題，學(xué)生對這一問題的困惑主要在于無法畫出其圖形，但是借助數(shù)學(xué)軟件這個問題就變得很有吸引力了。

例4.畫出雙曲線x2+y2-z2=1的圖形及其在3個坐標(biāo)面上的投影。

在重積分的運(yùn)算中，經(jīng)常用到空間立體的投影區(qū)域，這需要很強(qiáng)的空間想象力。這類題目，如果不借助數(shù)學(xué)軟件，則無法獲得其草圖，如果借助數(shù)學(xué)軟件，這個投影區(qū)域則一目了然。當(dāng)然還可以通過設(shè)置參數(shù)，使圖形更加的美觀。在Mathematica軟件中，該題命令及結(jié)果如下：

圖2

三、結(jié)論

將通用數(shù)學(xué)軟件Mathematica融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，可以克服傳統(tǒng)教學(xué)中講解內(nèi)容抽象、手工繪圖不準(zhǔn)確、教學(xué)內(nèi)容難以擴(kuò)展等方面的不足。尤其是對于一些基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來說，這一軟件的應(yīng)用可以幫助他們擺脫“聽天書”的困境和折磨，使得抽象的數(shù)學(xué)變得生動有趣，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情與積極性。數(shù)學(xué)軟件與理論課程的整合不僅為視頻教學(xué)提供了豐富的表現(xiàn)手段，更為優(yōu)質(zhì)資源的創(chuàng)建提供了支撐和保障。利用數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的需要，也是培養(yǎng)創(chuàng)新型實用型人才的需要，這對于提高教學(xué)質(zhì)量、推動教學(xué)改革具有極其重要的理論意義與實際意義。