劉富成 劉雅慧 周志向 郭雪 董夢(mèng)菲

(河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,保定 071002)

通過線性耦合Brusselator模型和Lengyel-Epstein模型,數(shù)值研究了雙層耦合非對(duì)稱反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中圖靈模之間的相互作用以及斑圖的形成機(jī)理.模擬結(jié)果表明,合適的波數(shù)比以及相同的對(duì)稱性是兩個(gè)圖靈模之間達(dá)到空間共振的必要條件,而耦合強(qiáng)度則直接影響了圖靈斑圖的振幅大小.為了保證對(duì)稱性相同,兩個(gè)圖靈模的本征值高度要位于一定的范圍內(nèi).只有失穩(wěn)模為長(zhǎng)波模時(shí),才能對(duì)另一個(gè)圖靈模產(chǎn)生調(diào)制作用,并形成多尺度時(shí)空斑圖.隨著波數(shù)比的增加,短波模子系統(tǒng)依次經(jīng)歷黑眼斑圖、白眼斑圖以及時(shí)序振蕩六邊形斑圖的轉(zhuǎn)變.研究表明失穩(wěn)圖靈模與處于短波不穩(wěn)定區(qū)域的高階諧波模之間的共振是產(chǎn)生時(shí)序振蕩六邊形的主要原因.

1 引 言

自組織斑圖是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)典型特征,普遍存在于自然界以及眾多非線性系統(tǒng)中,例如物理、化學(xué)以及生物系統(tǒng)等[1-6].在過去的半個(gè)世紀(jì)內(nèi),人們對(duì)斑圖形成機(jī)理的認(rèn)識(shí)有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展,其中比較著名的就是反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的圖靈機(jī)制[7],一個(gè)均勻穩(wěn)定態(tài)經(jīng)歷圖靈失穩(wěn)后會(huì)產(chǎn)生不隨時(shí)間變化的空間周期性分布的結(jié)構(gòu),例如條紋斑圖和六邊形斑圖[8,9].

近年來,多層耦合系統(tǒng)中不同模式之間的相互作用越來越受到人們的關(guān)注[10-18],其中不同圖靈模之間的相互作用可以產(chǎn)生各種復(fù)雜的多尺度時(shí)空斑圖.2002年,Yang等[11]通過線性耦合雙層反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)研究了圖靈模之間的相互作用,結(jié)果表明圖靈模之間的波數(shù)比、子斑圖對(duì)稱性以及本征值高度是空間共振的三個(gè)必要條件.該研究小組還發(fā)現(xiàn)僅僅是雙層間的耦合作用也可以導(dǎo)致一種新的叉形分叉,進(jìn)而產(chǎn)生兩個(gè)圖靈模式.這兩個(gè)圖靈模相互作用可以形成對(duì)稱、非對(duì)稱以及反相圖靈斑圖[12].在此基礎(chǔ)上,多個(gè)研究小組對(duì)圖靈模相互作用機(jī)理進(jìn)行了進(jìn)一步研究.例如Liu等[13]在更廣的本征值高度范圍內(nèi)獲得了超點(diǎn)陣斑圖,并且在波數(shù)比接近4∶1時(shí)觀察到一種新類型的白眼斑圖.Catlla等[14]發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩個(gè)圖靈模的波數(shù)比例為時(shí),系統(tǒng)可以產(chǎn)生穩(wěn)定的四邊形斑圖.白占國(guó)等[15-18]詳細(xì)研究了各種耦合條件對(duì)斑圖的影響,發(fā)現(xiàn)了多種超點(diǎn)陣四邊形斑圖,包括大小點(diǎn)、白眼、點(diǎn)線和復(fù)雜超四邊等.

以前的研究主要集中在相同反應(yīng)擴(kuò)散模型[19-27]之間的耦合,例如兩個(gè)Brusselator模型[19,20]、兩個(gè)Lengyel-Epstein模型[21-23]或者是兩個(gè)Oregonator模型[24]等.在大多數(shù)非線性系統(tǒng)中,同時(shí)存在著多種不同的非線性物理過程,這些過程各自具有不同的斑圖形成機(jī)理.例如在介質(zhì)阻擋放電系統(tǒng)中,放電層與電介質(zhì)層相互耦合,可以產(chǎn)生種類繁多的時(shí)空斑圖,這些時(shí)空斑圖通常由兩套或者多套子結(jié)構(gòu)相互嵌套而成[25-27],因此有必要對(duì)不同物理過程之間的耦合進(jìn)行詳細(xì)研究.然而到目前為止,不同反應(yīng)模型之間的耦合以及斑圖選擇機(jī)制還尚未見報(bào)道,人們對(duì)不同斑圖形成系統(tǒng)之間的耦合機(jī)制還不甚清楚.

本文通過線性耦合兩個(gè)不同的反應(yīng)擴(kuò)散模型數(shù)值研究了兩個(gè)圖靈模之間的相互作用,并分析了兩個(gè)圖靈模的波數(shù)比、相對(duì)強(qiáng)度以及耦合強(qiáng)度對(duì)斑圖選擇和形成的影響.

2 模型分析

為了研究不同系統(tǒng)形成的圖靈模之間的相互作用,本文采用線性耦合兩個(gè)不同的反應(yīng)擴(kuò)散模型,構(gòu)建了一個(gè)雙層耦合非對(duì)稱反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)模型,在無量綱的情況下,該模型具有以下形式:

該模型包含兩個(gè)子反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng) (u1,v1)和(u2,v2),α為兩個(gè)子系統(tǒng)活化子之間的耦合強(qiáng)度;方程f(u,v)和 g (u,v) 為每個(gè)子反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的局部動(dòng)力學(xué)方程,不同的反應(yīng)系統(tǒng)有著不同的具體表達(dá)式.本文選取Brusselator模型和Lengyel-Epstein模型來充當(dāng)兩個(gè)子系統(tǒng).在無量綱的情況下,Brusselator模型的局部動(dòng)力學(xué)方程具有下列形式:

其中系數(shù)a和b是系統(tǒng)的控制參數(shù).

Lengyel-Epstein模型在無量綱情況下的形式為

其中系數(shù)c和d是系統(tǒng)的控制參數(shù).對(duì)于子系統(tǒng)1和2,其均勻定態(tài)解分別為 (u10,v10)=(a,b/a) 和本文中選取c=5a,則雙層耦合系統(tǒng)的均勻定態(tài)解可以表示為

對(duì)該均勻定態(tài)解附加一個(gè)均勻的線性微擾,去掉高階項(xiàng)得到其線性本征方程:

其中A和D分別為雅克比矩陣和擴(kuò)散系數(shù)矩陣,

解此本征方程可得到本征值λ,本征值λ與微擾模之間的關(guān)系被稱之為系統(tǒng)的色散關(guān)系曲線.通過系統(tǒng)的色散關(guān)系可以分析失穩(wěn)模的性質(zhì)以及系統(tǒng)的分岔類型.

圖1給出了兩個(gè)耦合系統(tǒng)處于圖靈空間時(shí)的色散關(guān)系.圖1中藍(lán)色實(shí)線為本征值的實(shí)部,代表模式的線性增長(zhǎng)率,紅色虛線為本征值的虛部.對(duì)于每一個(gè)子系統(tǒng),當(dāng)活化子u的擴(kuò)散系數(shù)遠(yuǎn)小于禁阻子v的擴(kuò)散系數(shù)時(shí),系統(tǒng)經(jīng)歷圖靈分岔并激發(fā)出圖靈模.該圖靈模的波數(shù)大小為其中Δ是與控制參數(shù)有關(guān)的常數(shù).Du相比于 Dv越小,系統(tǒng)偏離分岔點(diǎn)越遠(yuǎn),圖靈模線性增長(zhǎng)率越高,即圖靈模的本征值高度越高.因此通過調(diào)節(jié)模型中各變量的擴(kuò)散系數(shù),可以使兩個(gè)子系統(tǒng)均經(jīng)歷圖靈分岔,從而各自激發(fā)相應(yīng)的圖靈模式.由于圖靈模的波數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)成反比,所以具有較小擴(kuò)散系數(shù)的子系統(tǒng)的圖靈模波數(shù)大(短波模),稱為 k2,本征值高度為 h2,而具有較大擴(kuò)散系數(shù)的子系統(tǒng)的圖靈模波數(shù)較小(長(zhǎng)波模),稱為 k1,相應(yīng)的本征值高度為 h1.圖1(a)和圖1(b)給出了兩個(gè)圖靈模波數(shù)比分別為1∶2和1∶3時(shí)的色散關(guān)系圖.研究發(fā)現(xiàn),只有長(zhǎng)波模 k1對(duì)短波模 k2有影響,而短波模 k2對(duì)長(zhǎng)波模 k1沒有影響.因此長(zhǎng)波模 k1一般設(shè)置為失穩(wěn)模.

圖1 不同參數(shù)下耦合系統(tǒng)的色散關(guān)系 (a) Du1=12.6,Dv1=27.9,Du2=22,Dv2=420,α=0.1;(b) Du1=5.3,Dv1=20,Du2=22,Dv2=500,α=0.1Fig.1.Dispersion relations of coupled systems under different parameters:(a) Du1=12.6,Dv1=27.9,Du2=22,Dv2=420,α=0.1;(b) Du1=5.3,Dv1=20,Du2=22,Dv2=500,α=0.1.

3 模擬結(jié)果與討論

采用歐拉向前差分的方法進(jìn)行積分,數(shù)值模擬在一個(gè)含有 1 28×128 個(gè)空間格點(diǎn)的二維平面上進(jìn)行,時(shí)間積分步長(zhǎng)取為 Δ t=0.01 個(gè)時(shí)間單位,空間積分步長(zhǎng)取為 Δ h=1.0 個(gè)空間單位,擴(kuò)散項(xiàng)在數(shù)值模擬中采取5點(diǎn)差分格式,邊界條件選用周期性邊界條件,初始條件為均勻定態(tài)加上一個(gè)很小的隨機(jī)擾動(dòng).如果沒有特殊說明,一般設(shè)置子系統(tǒng)2具有較大的擴(kuò)散系數(shù),即激發(fā)長(zhǎng)波模,而觀察子系統(tǒng)1中形成的各種斑圖.

接下來分別從波數(shù)比、相對(duì)強(qiáng)度以及耦合強(qiáng)度三個(gè)角度來討論兩個(gè)圖靈模之間的耦合作用以及相應(yīng)的斑圖結(jié)構(gòu).

3.1 兩個(gè)圖靈模波數(shù)比的影響

固定兩個(gè)圖靈模的本征值高度(h1,h2)=(0.20,-0.55)以及耦合強(qiáng)度 α=0.1,通過改變兩個(gè)圖靈模的波數(shù)比值 K1:k2,研究不同波數(shù)比對(duì)斑圖形成的影響.如前文所述,圖靈模的波數(shù)大小取決于 Du和Dv的乘積,而其高度取決于 Du和Dv的相對(duì)大小,因此兩個(gè)圖靈模的波數(shù) k1和k2的大小可以通過其各自的 DuDv來控制.波數(shù)大小確定后,保持 DuDv的乘積不變,改變二者的相對(duì)大小,調(diào)節(jié)其本征值高度h.

圖2給出了波數(shù)比分別為1∶2,1∶3和1∶4三種比值下子系統(tǒng)1中形成的超點(diǎn)陣斑圖及其相應(yīng)的傅里葉頻譜圖.圖2(a)是波數(shù)比為1∶2時(shí)得到的黑眼斑圖,其中每個(gè)中心點(diǎn)的濃度最低,且周圍環(huán)繞著一圈高濃度環(huán),整體呈現(xiàn)六邊形陣列排布.從其傅里葉頻譜圖可以看出,該黑眼斑圖包含三套不同波數(shù)的模式,其波數(shù)值分別為 k1,k2和q.每一套波矢都組成一個(gè)完美的六邊形結(jié)構(gòu),其中 k1和k2為兩個(gè)子系統(tǒng)激發(fā)的圖靈模 (K1:k2=1:2),而q是新生模式.這三種模式之間滿足空間三波共振關(guān)系:K1+k2=q.圖2(b)是波數(shù)比為1∶3時(shí)得到的白眼六邊形斑圖,與黑眼斑圖不同,白眼斑圖的中心為高濃度斑點(diǎn),周圍依次圍繞一圈低濃度環(huán)和一圈高濃度環(huán),然后被6個(gè)更高濃度的亮點(diǎn)包圍,整體也呈現(xiàn)六邊形陣列結(jié)構(gòu).分析其傅里葉頻譜圖可知,該白眼斑圖同黑眼斑圖類似,也包含上述三套滿足空間共振關(guān)系的波矢,唯一的區(qū)別是新生模式q具有兩套六邊形結(jié)構(gòu),即12個(gè)波矢.通過幾何關(guān)系可知,此兩套六邊形之間的夾角為θ=21.8°.圖2(c)是波數(shù)比為1∶4時(shí)得到的白眼斑圖.與圖2(b)相比,每一個(gè)六邊形晶胞中心的亮斑點(diǎn)濃度下降,同時(shí),晶胞外圍的六個(gè)亮點(diǎn)連接在一起,形成了一個(gè)蜂窩狀六邊形結(jié)構(gòu).它包含的波矢成分也較為復(fù)雜,除了基本的圖靈模 k1和k2外,還產(chǎn)生了各種高階模 2 k1,3 k1以及這些模式共振而生成的新生模式q.需要特殊說明的是,圖靈模式 k2的強(qiáng)度較弱,而高階模 3 k1的強(qiáng)度較強(qiáng),這意味著當(dāng)波數(shù)比較大時(shí),子系統(tǒng)1中的斑圖主要是失穩(wěn)模 k1及其激發(fā)的高階模相互作用而形成.

圖2 不同波數(shù)比下的超點(diǎn)陣斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 1∶2下的黑眼斑圖,Du1=13.5,Dv1=27.5,Du2=22,Dv2=400 ;(b) 1∶3下的白眼斑圖,Du1=6,Dv1=12.3,Du2=22,Dv2=400 ;(c) 1∶4下的白眼斑圖,Du1=3.4,Dv1=6.96,Du2=21.9,Dv2=400.α=0.1Fig.2.Superlattice pattern and fourier spectrum under different wave number ratios:(a) Black eye pattern at 1∶2,Du1=13.5,Dv1=27.5,Du2=22,Dv2=400 ;(b) white eye pattern at 1∶3,Du1=6,Dv1=12.3,Du2=22,Dv2=400 ;(c) white eye pattern at 1∶4,Du1=3.4,Dv1=6.96,Du2=21.9,Dv2=400.α=0.1.

圖3給出了兩個(gè)圖靈模波數(shù)比為1∶5時(shí)所產(chǎn)生的振蕩超六邊形斑圖.圖3(a)為相應(yīng)的色散關(guān)系曲線圖,由圖3(a)可知,在 k1和k2之間存在著一個(gè)虛部不為零的區(qū)域,即短波不穩(wěn)定性區(qū)域,在此區(qū)域內(nèi)的各個(gè)模式均隨時(shí)間周期性振蕩,失穩(wěn)模k1的高階模 2 k1和3 k1均位于此區(qū)域內(nèi).在此情況下,失穩(wěn)圖靈模 k1與其高階模 2 k1和3 k1相互作用時(shí),就導(dǎo)致了一種正弦型時(shí)間振蕩斑圖的形成.圖3(b)給出了三個(gè)不同位置處(分別標(biāo)記為A,B,C)活化子 u1隨時(shí)間變化的圖.其中B點(diǎn)為振蕩六邊形的中心斑點(diǎn)位置,其格點(diǎn)坐標(biāo)為(50,76);A點(diǎn)為兩個(gè)中心亮斑的中心,其格點(diǎn)坐標(biāo)為(53,59);C點(diǎn)為三個(gè)中心亮斑組成的三角形中心,其格點(diǎn)坐標(biāo)為(65,61),如圖3(c)所示.由圖3(c)可知,三個(gè)位置處的振蕩周期相同,均為 T=t6-t1=46 個(gè)時(shí)間單位,但是相位不同,A,B,C相位依次延遲.另外,這三點(diǎn)的振蕩幅度也不相同,B點(diǎn)處振蕩幅度遠(yuǎn)高于其他兩點(diǎn).圖3(c)顯示了一個(gè)振蕩周期內(nèi)該振蕩六邊形斑圖的時(shí)空演化過程.在t1=24時(shí)刻,六邊形亮斑結(jié)構(gòu)濃度稍高于其它位置,從而形成了一種具有暈結(jié)構(gòu)的超六邊形斑圖.在t2=30時(shí)刻,中心斑點(diǎn)濃度下降,低于暈的濃度,此時(shí)斑圖呈現(xiàn)一種類似白眼斑圖的結(jié)構(gòu).在 t4=47 時(shí)刻,中心斑點(diǎn)處濃度降至最低點(diǎn),遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于暈的濃度,此時(shí)斑圖呈現(xiàn)為簡(jiǎn)單的蜂窩六邊形斑圖.隨著時(shí)間演化,中心斑點(diǎn)處濃度開始上升,在 t6=64 時(shí)刻開始顯現(xiàn)出中心亮斑,有意思的是單元中心由原來的一個(gè)斑點(diǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)斑點(diǎn),并且每個(gè)單元外包圍著6個(gè)暗點(diǎn).該時(shí)序振蕩六邊形斑圖與對(duì)稱耦合反應(yīng)擴(kuò)散模型獲得的眨眼斑圖[11]有著很大的區(qū)別.首先是形成機(jī)理不同,該振蕩六邊形是失穩(wěn)模與其高階模相互作用而成,而眨眼斑圖則是失穩(wěn)模與其次諧波模相互作用而成;其次是振蕩模式不同,該振蕩六邊形呈現(xiàn)正弦式的振蕩,而眨眼斑圖則呈現(xiàn)脈沖式的振蕩.

圖3 波數(shù)比為1∶5時(shí)的時(shí)間振蕩超六邊形斑圖,Du1=2.2,Dv1=4.5,Du2=21.9,Dv2=400,α=0.1 (a) 色散關(guān)系曲線;(b) 三個(gè)位置處u1的時(shí)間變化關(guān)系圖;(c) 一個(gè)振蕩周期內(nèi)的斑圖演化過程Fig.3.Oscillatory super-hexagon pattern with wave number ratio of 1∶5,Du1=2.2,Dv1=4.5,Du2=21.9,Dv2=400,α=0.1:(a) Dispersion curve;(b) time variation of u1 at three positions;(c) evolution of pattern in an oscillating period.

3.2 圖靈模強(qiáng)度對(duì)斑圖的影響

圖靈模的本征值高度h代表了圖靈模的線性增長(zhǎng)率,h越大,表示增長(zhǎng)率越快,意味著圖靈模強(qiáng)度越強(qiáng).在本節(jié)中固定兩個(gè)圖靈模波數(shù)比為1∶3以及耦合強(qiáng)度 α=0.1,通過改變兩個(gè)圖靈模的本征值高度h來研究圖靈模強(qiáng)度對(duì)斑圖形成產(chǎn)生的影響.

首先固定本征值高度 h1=0.2,討論本征值高度 h2對(duì)圖靈斑圖的選擇及形成產(chǎn)生的影響.圖4給出了 h2逐步升高而獲得的各種復(fù)雜斑圖及其相應(yīng)的傅里葉頻譜圖,其中圖4(a)—(d)是 h2＜0 的情況,圖4(e) 是 h2＞0 的情況.當(dāng) h2=-2.56 時(shí)系統(tǒng)1呈現(xiàn)簡(jiǎn)單的蜂窩六邊形斑圖(圖4(a)).由于h2較低,該系統(tǒng)的本征模并不能被激發(fā),因此該六邊形斑圖完全是由系統(tǒng)2的失穩(wěn)模調(diào)制形成.隨著h2的升高,系統(tǒng)1中的本征模開始被激發(fā),如前文所述,兩個(gè)圖靈模相互耦合,形成了白眼斑圖(圖4(b)和圖4(c)).繼續(xù)升高 h2至—0.31,白眼斑圖失穩(wěn),轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N新的超六邊形結(jié)構(gòu),該斑圖中每個(gè)晶胞均由三個(gè)相鄰的暗點(diǎn)排列而成,這些暗點(diǎn)的空間波數(shù)為 k2,晶胞之間以波數(shù) k1周期性排列(圖4(d)).當(dāng)h2=0.67時(shí),系統(tǒng)1呈現(xiàn)單一的條紋斑圖,也就是說此時(shí)系統(tǒng)1的斑圖完全由其自身的本征模所決定,系統(tǒng)2的長(zhǎng)波模對(duì)它的調(diào)制作用僅僅存在于背景中,這可以通過傅里葉頻譜圖看出(圖4(e)).

另外h還表征了系統(tǒng)遠(yuǎn)離初級(jí)分岔點(diǎn)的程度,h越大,偏離程度越高.早期的研究表明[13],在初級(jí)分岔點(diǎn)附近,系統(tǒng)一般選擇為六邊形斑圖,而當(dāng)遠(yuǎn)離分岔點(diǎn)時(shí),選擇為條紋斑圖.因此通過改變h的大小還可以控制斑圖的對(duì)稱性類型.圖5給出了 h1分別為0.2和0.4兩種情況下子系統(tǒng)1中形成的復(fù)雜斑圖,這里固定兩個(gè)圖靈模的波數(shù)比為1∶3,h2=-0.5,耦合強(qiáng)度 α=0.1.當(dāng) h1=0.2 時(shí),兩個(gè)子系統(tǒng)中的斑圖均為六邊形斑圖,對(duì)稱性相同,因此可以滿足空間共振關(guān)系,從而形成了白眼斑圖(圖5(a)).但是當(dāng) h1增大到0.4時(shí),該失穩(wěn)模呈現(xiàn)出條紋結(jié)構(gòu),與另一個(gè)圖靈模的對(duì)稱性不匹配,不滿足空間共振關(guān)系,因此在子系統(tǒng)1中僅僅呈現(xiàn)簡(jiǎn)單的重疊斑圖,即條紋結(jié)構(gòu)和六邊形的疊加(圖5(b)).

圖4 不同本征值 h 2 下的復(fù)雜斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 蜂窩狀六邊形斑圖 h 2=-2.56,Du1=8.5,Dv1=12.5,Du2=22,Dv2=400 ;(b) 白眼斑圖 h 2=-1.3,Du1=7,Dv1=12.3,Du2=22,Dv2=400 ;(c) 白眼斑圖 h 2=-0.55,Du1=6,Dv1=12.3,Du2=22,Dv2=400 ;(d) 超六邊形斑圖 h 2=-0.31,Du1=5.9,Dv1=12.7,Du2=22,Dv2=400 ;(e) 條紋斑圖 h 2=0.67,Du1=5.5,Dv1=16,Du2=22,Dv2=400.α=0.1.Fig.4.Complex patterns and Fourier spectrum under different eigenvalues h2 :(a) Honeycomb hexagon pattern h 2=-2.56,Du1=8.5,Dv1=12.5,Du2=22,Dv2=400 ;(b) white-eye pattern h 2=-1.3,Du1=7,Dv1=12.3,Du2=22,Dv2=400;(c) white-eye pattern h 2=-0.55,Du1=6,Dv1=12.3,Du2=22,Dv2=400 ;(d) super-hexagon pattern h2=-0.31,Du1=5.9,Dv1=12.7,Du2=22,Dv2=400 ;(e) stripe pattern h 2=0.67,Du1=5.5,Dv1=16,Du2=22,Dv2=400.α=0.1.

詳細(xì)研究發(fā)現(xiàn),在該雙層耦合非對(duì)稱反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中,兩個(gè)子系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)空間共振,其斑圖必須均為六邊形結(jié)構(gòu),即兩個(gè)模式的空間對(duì)稱性必須相同.對(duì)于失穩(wěn)模 k1,當(dāng)本征值高度處于0＜h1＜0.33時(shí),子系統(tǒng)自發(fā)選擇六邊形斑圖;當(dāng) h1＜0 時(shí),系統(tǒng)是穩(wěn)定的,無法激發(fā)圖靈模;當(dāng) h1＞0.33 時(shí),子系統(tǒng)選擇條紋斑圖.對(duì)于圖靈模 k2,其本征值高度范圍需在-2＜h2＜0 ;若 h2＞0 時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)槭Х€(wěn)模,此時(shí)子系統(tǒng)選擇條紋斑圖;而當(dāng)其本征值高度過小時(shí),盡管受到失穩(wěn)模 k1的激勵(lì)作用,但是依然無法激發(fā)出該本征模,此時(shí)子系統(tǒng)處于均勻定態(tài).

圖5 不同本征值 h1 下的復(fù)雜斑圖及其傅里葉頻譜圖 (a) 白眼斑圖,h 1=0.2,Du1=6.1,Dv1=12.7,Du2=22.3,Dv2=403;(b) 條紋點(diǎn)狀斑圖,h 1=0.4,Du1=6.1,Dv1=12.6,Du2=20.3,Dv2=464,α=0.1Fig.5.Complex patterns and fourier spectrum under different eigenvalues h1 :(a) White-eye pattern,h 1=0.2,Du1=6.1,Dv1=12.7,Du2=22.3,Dv2=403 ;(b) stripe-spot pattern,h 1=0.4,Du1=6.1,Dv1=12.6,Du2=20.3,Dv2=464,α=0.1.

圖6 不同耦合強(qiáng)度下的超六邊形斑圖 (a) 白眼斑圖,α=0.01,Du1=5.8,Dv1=11.4,Du2=22,Dv2=367 ;(b) 白眼斑 圖,α=0.1,Du1=6.3,Dv1=12.9,Du2=21.8,Dv2=395 ;(c) 新型超六邊形斑圖,α=0.2,Du1=6.1,Dv1=13,Du2=22,Dv2=432 ;(d) 新白眼斑圖,α=0.3,Du1=6.3,Dv1=13.98,Du2=22,Dv2=460Fig.6.Super-hexagon patterns with different coupling strength:(a) White-eye pattern,α=0.01,Du1=5.8,Dv1=11.4,Du2=22,Dv2=367 ;(b) white-eye pattern,α=0.1,Du1=6.3,Dv1=12.9,Du2=21.8,Dv2=395 ;(c) new superhexagon pattern,α=0.2,Du1=6.1,Dv1=13,Du2=22,Dv2=432 ;(d) new white-eye pattern,α=0.3,Du1=6.3,Dv1=13.98,Du2=22,Dv2=460.

3.3 耦合強(qiáng)度的影響

耦合強(qiáng)度也是影響兩個(gè)圖靈模相互作用的一個(gè)重要因素.由于各個(gè)參量共同影響兩個(gè)圖靈模的大小和強(qiáng)度,本文中改變耦合強(qiáng)度的同時(shí)對(duì)擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行微調(diào),以保證兩個(gè)圖靈模的大小 K1=0.2,k2=0.6和本征值高度 (h1,h2)=(0.2,-0.55) 始終保持恒定,從而研究耦合強(qiáng)度對(duì)斑圖形成的影響.圖6給出了不同耦合強(qiáng)度下獲得的超六邊形點(diǎn)陣斑圖.模擬研究發(fā)現(xiàn),耦合強(qiáng)度不僅可以影響斑圖的振幅大小,還影響了其空間結(jié)構(gòu)的具體形式.如果耦合系數(shù)足夠小,失穩(wěn)模對(duì)子系統(tǒng)1的影響可以忽略不計(jì),此時(shí)子系統(tǒng)1呈現(xiàn)穩(wěn)定的均勻狀態(tài).當(dāng)耦合系數(shù) α=0.01 時(shí),子系統(tǒng)1開始受到失穩(wěn)模k1的調(diào)制和激發(fā),系統(tǒng)形成白眼斑圖,但是此時(shí)的活化子濃度的變化范圍非常小(圖6(a)).圖6(b)為耦合系數(shù) α=0.1 時(shí)模擬得到的白眼斑圖,從圖6(b)中可以看出,活化子濃度的變化范圍變大,圖靈模k2的強(qiáng)度也開始增強(qiáng).繼續(xù)增大耦合強(qiáng)度α,子系統(tǒng)1中活化子濃度的變化范圍持續(xù)增加,并且其空間形貌逐漸開始變化.圖6(c)是模擬獲得的一種新型超六邊形斑圖,此超點(diǎn)陣斑圖雖然整體也呈現(xiàn)六邊形陣列結(jié)構(gòu),但是每一個(gè)晶胞單元中心不再是一個(gè)圓斑點(diǎn),而是形成了一個(gè)線段,這可能是六邊形斑圖和條紋斑圖共同競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果.圖6(d)給出了耦合強(qiáng)度 α=0.3 時(shí)得到的新白眼斑圖,與圖6(b)不同,此白眼斑圖在中心亮點(diǎn)周圍還包圍著一圈高濃度環(huán),環(huán)外排列著一組六邊形斑點(diǎn).從傅里葉頻譜圖中可以看出,耦合強(qiáng)度很大,此斑圖也是由兩個(gè)圖靈模 k1和k2直接耦合而成.

4 結(jié) 論

通過線性耦合兩個(gè)不同的反應(yīng)擴(kuò)散模型(Brusselator模型和 Lengyel-Epstein模型)研究了不同系統(tǒng)間兩個(gè)圖靈模之間的相互作用以及斑圖的形成和選擇過程.模擬結(jié)果表明合適的波數(shù)比以及相同的對(duì)稱性是不同反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的圖靈模之間相互共振的必要條件.只有長(zhǎng)波模子系統(tǒng)對(duì)短波模子系統(tǒng)有調(diào)制和激發(fā)作用,因此超點(diǎn)陣斑圖只能出現(xiàn)在短波模子系統(tǒng)中.在不同的波數(shù)比下,短波模子系統(tǒng)內(nèi)可以形成包括黑眼斑圖和白眼斑圖在內(nèi)的多種超點(diǎn)陣斑圖.為了保證兩個(gè)子系統(tǒng)斑圖具有相同的對(duì)稱性,兩個(gè)圖靈模的本征值高度必須處于 0＜h1＜0.33和-2＜h2＜0.當(dāng)失穩(wěn)模的高階諧波處于短波不穩(wěn)定區(qū)域時(shí),失穩(wěn)模與其高階模相互共振可以形成一種正弦型時(shí)序振蕩六邊形斑圖.耦合強(qiáng)度直接影響了圖靈斑圖的振幅大小.本文的研究結(jié)果有助于人們進(jìn)一步認(rèn)知非線性系統(tǒng)中各種模式之間的相互作用機(jī)理.