吳艷萍 徐章韜

(華中師范大學(xué) 430079)

1 引言

隨著新課程改革的不斷實踐，回歸數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)教育的價值已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育所追求的目標.在數(shù)學(xué)教育發(fā)展的這一大趨勢下，章建躍教師提出“數(shù)學(xué)教師必須在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)上狠下功夫”[1].確實，數(shù)學(xué)教師需要創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識之?dāng)?shù)學(xué)理解，不是數(shù)學(xué)知識的搬運工，并非簡單地將數(shù)學(xué)知識和盤托出機械地傳遞給學(xué)生，而是要將數(shù)學(xué)知識加以重組設(shè)計，以有條不紊層次清晰的方式幫助學(xué)生理解建構(gòu)數(shù)學(xué)知識.所以，教師要進行有效數(shù)學(xué)教學(xué)，必須深入理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，圍繞數(shù)學(xué)知識的主線設(shè)計出好的教學(xué).然而，在教學(xué)實際中，數(shù)學(xué)教師往往側(cè)重于數(shù)學(xué)知識的重點內(nèi)容及應(yīng)用，忽視數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的脈絡(luò)甚至是蘊含在知識內(nèi)的思想方法，這就導(dǎo)致教師難以把握數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，也就難以設(shè)計出有效的教學(xué)主線，長此以往，數(shù)學(xué)教育的價值將難以實現(xiàn).因此，為實現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的價值，教師必須在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上理清教學(xué)主線，圍繞知識明線使數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)完整，層次清晰；借助暗線使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的基本思想方法，鍛煉和提升數(shù)學(xué)思維并逐步形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2 數(shù)學(xué)教學(xué)中的“明線”

數(shù)學(xué)教學(xué)中的“明線”是教師在理解課程標準及數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容的核心，為促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解而設(shè)計的一條合乎數(shù)學(xué)邏輯和學(xué)生心理邏輯的知識路線.之所以強調(diào)教學(xué)明線的重要性，是因為這不僅關(guān)系到教師對課堂教學(xué)整體過程的把握，也關(guān)系到學(xué)生建構(gòu)知識的有效性.

數(shù)學(xué)知識不是一個個沒有交集的點，而是一個相互聯(lián)系的整體，教師在理解數(shù)學(xué)時應(yīng)把蘊含于數(shù)學(xué)知識內(nèi)的“明線”提煉出來，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識的“此岸”出發(fā)沿著知識“明線”逐步走向數(shù)學(xué)知識的“彼岸”.因此只有理清數(shù)學(xué)知識明線才能明確師生教學(xué)的整體目標和方向而不至于“東一榔頭西一棒子”.教師也只有在理清知識明線的基礎(chǔ)上才能設(shè)計出反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題情境、激活學(xué)生思維的問題串、促進知識發(fā)生發(fā)展的起承轉(zhuǎn)合，從而創(chuàng)造出有利于學(xué)生理解建構(gòu)數(shù)學(xué)知識、訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的數(shù)學(xué)理解.而對學(xué)生來說，不僅僅是主動建構(gòu)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，更重要的是經(jīng)歷知識的發(fā)生發(fā)展過程，體悟數(shù)學(xué)的思考方式.因此，好的數(shù)學(xué)教學(xué)明線是充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位的前提條件.

2.1 理清教學(xué)內(nèi)容的“明線”

教學(xué)明線，從教學(xué)內(nèi)容上看，是反映數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的一個層次序列，是數(shù)學(xué)教學(xué)活動展開的層次鮮明的線索和結(jié)構(gòu).關(guān)于如何架構(gòu)正確的數(shù)學(xué)教學(xué)明線，我們認為可以從“提出問題、分析問題、解決問題、系統(tǒng)化”四個階段構(gòu)建教學(xué)明線.任何一個數(shù)學(xué)課堂教學(xué)都有一個研究主題，那么教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生已有的事實經(jīng)驗為起點引導(dǎo)他們從中發(fā)現(xiàn)問題，以學(xué)生已有的思維水平為基礎(chǔ)引導(dǎo)他們分析問題從而得到數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理等.為促進學(xué)生對知識的強化和遷移，教學(xué)還需設(shè)置多種不同的問題情境讓學(xué)生在解決問題的過程中獲得知識的多元表征.最后，為幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，教學(xué)還應(yīng)讓學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化.例如，偶函數(shù)的教學(xué)，首先可以從圖形的對稱性過渡到函數(shù)圖象的對稱性，到兩個具體函數(shù)圖象(y=x2、y=|x|)的觀察，再到某個函數(shù)(如y=x2+1/|x|)對稱性的考察，使學(xué)生明確研究對象；其次，要啟發(fā)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的方法把圖象上的對稱性等價轉(zhuǎn)化為代數(shù)上的規(guī)律性，逐步引導(dǎo)學(xué)生得出偶函數(shù)的定義；再次，通過不同問題的解決，使學(xué)生獲得偶函數(shù)定義的多種表征及性質(zhì)等；最后，將偶函數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)系起來，從而將對稱性進行推廣等使知識系統(tǒng)化.

2.2 教師活動的“明線”與學(xué)生活動的“明線”

數(shù)學(xué)教學(xué)是以一系列數(shù)學(xué)活動的形式進行的，問題的提出、分析、解決等都是以活動為載體，在活動中生成，好的數(shù)學(xué)教學(xué)離不開好的數(shù)學(xué)活動，因此數(shù)學(xué)教學(xué)除了要理清教學(xué)內(nèi)容上的“明線”外，還有理清數(shù)學(xué)活動的“明線”.師生作為教學(xué)的兩個基本要素，在數(shù)學(xué)活動中的角色卻是不同的.數(shù)學(xué)教師作為教學(xué)的組織者和引導(dǎo)者，關(guān)鍵在于“引導(dǎo)”；而學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，關(guān)鍵在于學(xué)習(xí)的“主動性”，也就是說教師活動的“明線”應(yīng)體現(xiàn)出“引導(dǎo)性”，學(xué)生活動的“明線”應(yīng)體現(xiàn)出“主動性”.如何構(gòu)建教師活動的“明線”？首先，教師要創(chuàng)設(shè)合適的問題情境并設(shè)計合理的學(xué)生活動方式，以便讓學(xué)生從問題情境中發(fā)現(xiàn)研究對象或問題.其次，教師要指導(dǎo)學(xué)生正確地分析問題建立已知與未知的聯(lián)系，在關(guān)鍵處設(shè)疑或解疑，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活躍起來.再次，在引導(dǎo)學(xué)生分析問題得出答案之后，教師還應(yīng)組織學(xué)生利用新知解決問題以強化對新知的理解.最后，為了使學(xué)生獲得的知識系統(tǒng)化，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進行總結(jié)與反思等活動.

從學(xué)生活動的角度考慮，教學(xué)明線應(yīng)以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，使學(xué)生認識到學(xué)習(xí)新知的必要性為起點；其次，借助數(shù)學(xué)抽象、探索、推理等數(shù)學(xué)思維經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理等的發(fā)生發(fā)展過程；再次，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題，在不同的情境中形成對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理的多角度認識；最后，通過反思總結(jié)等完善自己的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu).

總之，教學(xué)明線不是對教材知識結(jié)構(gòu)的簡單提煉，需要教師在充分理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生后對教學(xué)的層次序列進行不斷打磨.因此確立教學(xué)明線教師應(yīng)注意明線的準確、精煉這兩個方面.明線的準確性一方面是指教學(xué)明線應(yīng)滿足知識的科學(xué)性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，另一方面教學(xué)明線應(yīng)符合知識的邏輯順序和學(xué)生的認知水平，是在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)范圍內(nèi)且能夠為學(xué)生所理解的.明線的精煉性是站在學(xué)生角度來說的.認知負荷理論認為，要達到好的學(xué)習(xí)效果，必須降低學(xué)生的內(nèi)在認知負荷，提高學(xué)生的相關(guān)認知負荷，優(yōu)化外在認知負荷.為促進學(xué)生對知識的有效建構(gòu)，教學(xué)明線的確立應(yīng)有利于學(xué)生提高相關(guān)認知負荷且減少學(xué)生的外在認知負荷，也就是說教學(xué)明線應(yīng)減少無意義的數(shù)學(xué)活動，盡量精煉簡潔層次分明.

3 數(shù)學(xué)教學(xué)的“暗線”

數(shù)學(xué)教育不只是教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識、技能，讓學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程，更在于引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想，“學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界”.數(shù)學(xué)知識如果對其進行深入挖掘，會發(fā)現(xiàn)除 “明線”外，還有“暗線”貫穿著數(shù)學(xué)知識發(fā)展的全過程.知識暗線一般是指蘊含在數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的高層次的數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)核心觀點，是一般性思想的體現(xiàn)，對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著重要的作用.

具體來說，數(shù)學(xué)知識暗線有助于深化學(xué)生的認知活動，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的自我解釋，增強學(xué)生所獲得知識的整體性和聯(lián)系性.其次，由于在實際課堂教學(xué)中，教師更關(guān)注于知識的掌握，而思想方法的滲透則主要體現(xiàn)在解題教學(xué)中，這也是造成學(xué)生數(shù)學(xué)知識的掌握與綜合應(yīng)用相脫節(jié)的原因之一，而知識暗線能夠幫助教師在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)基本思想，讓學(xué)生在知識的建構(gòu)過程中也感受到數(shù)學(xué)思想的魅力.再者，為促進學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該追求具有一般性的思想方法，而不是過于關(guān)注技能技巧方面，縱然某一定理的證明技巧再獨特巧妙，它對學(xué)生的價值也許仍比不過基于數(shù)學(xué)核心概念和基本數(shù)學(xué)思想的一般性方法，這是因為技巧性的方法適用范圍有限，只對某些特殊情況有效，而一般性方法更有利于學(xué)生的遷移學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)能力的養(yǎng)成.

3.1 教學(xué)內(nèi)容的“暗線”

教學(xué)暗線，從教學(xué)內(nèi)容上看，是指蘊含在知識內(nèi)的數(shù)學(xué)思想方法，對數(shù)學(xué)知識具有全局性的統(tǒng)領(lǐng)意義，對學(xué)生有認識論和方法論層面的意義.例如，在基本不等式、柯西不等式、排序不等式的教學(xué)中，我們除了從代數(shù)和幾何的角度來認識這些不等式外，還可以站在函數(shù)思想的高度統(tǒng)領(lǐng)這些重要不等式.當(dāng)我們深入理解這些數(shù)學(xué)知識時，可以分析出函數(shù)的單調(diào)性對這些不等式的證明具有一般方法論的意義.

我們知道數(shù)學(xué)思想方法或與某些數(shù)學(xué)內(nèi)容相對應(yīng)，如函數(shù)思想、極限思想等；或與數(shù)學(xué)理性思維相聯(lián)系，如化歸思想、類比思想等[3]，也即對于數(shù)學(xué)知識，教師可以從數(shù)學(xué)內(nèi)容或數(shù)學(xué)理性思維的角度分析所學(xué)內(nèi)容所隱含的數(shù)學(xué)思想方法.當(dāng)我們用數(shù)學(xué)思想方法的高度去審視數(shù)學(xué)知識內(nèi)容時，那么我們看到的不再是一些冰冷的符合和命題，而是具有思想性的充滿數(shù)學(xué)魅力的智慧結(jié)晶.如此，我們可以從“數(shù)學(xué)內(nèi)容——數(shù)學(xué)思想方法——數(shù)學(xué)體驗”三個階段構(gòu)建數(shù)學(xué)教學(xué)“暗線”，讓學(xué)生在掌握系統(tǒng)數(shù)學(xué)知識的過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，體驗數(shù)學(xué)知識顯性和隱性的雙重價值.章建躍老師更為詳細地提出數(shù)學(xué)教學(xué)要以“事實——方法——方法論——數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀”為暗線，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)要注重發(fā)揮“一般觀念”的作用，要加強一般方法的引導(dǎo)使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)研究的“基本套路”[4]，這也反應(yīng)了教學(xué)暗線對培養(yǎng)學(xué)生理性思維的價值.

3.2 教師活動的“暗線”與學(xué)生活動的“暗線”

為發(fā)揮“數(shù)學(xué)內(nèi)容——數(shù)學(xué)思想方法——數(shù)學(xué)體驗”這一教學(xué)“暗線”的作用，教師和學(xué)生的活動“暗線”也應(yīng)該圍繞數(shù)學(xué)思想方法而展開.

如何構(gòu)建教師活動的“暗線”？如前所述，基于教師的主導(dǎo)作用，教師的活動應(yīng)以促進學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟為核心.由于數(shù)學(xué)思想方法相比于數(shù)學(xué)內(nèi)容而言更加隱蔽，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟難以一步到位，而是一個潛移默化的過程，因此，教師在設(shè)計其活動時可以按照“潛移——外化——內(nèi)化”的暗線來進行.首先，教師在指導(dǎo)學(xué)生分析問題時可以給學(xué)生提供適當(dāng)?shù)乃季S層面的引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的意會，促進問題分析的進程.其次，在得出數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理等知識后，教師可以向?qū)W生明確提出這一數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法形成清晰的認識.最后，通過深入理解和應(yīng)用將外化的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化，從而實現(xiàn)用數(shù)學(xué)思想方法統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)內(nèi)容，深化對數(shù)學(xué)知識的雙重認識.例如，正弦定理的教學(xué)中在學(xué)生已經(jīng)得出直角三角形中的正弦定理后，教師可以提問學(xué)生一般的三角形是否存在這個關(guān)系.這時教師可以啟發(fā)學(xué)生由于直角三角形的情形已經(jīng)解決，那么解一般的三角形問題能否轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題.在學(xué)生通過做高法得到一般的三角形的正弦定理之后，教師可以向?qū)W生揭示這個過程所用到的思想方法(從特殊到一般、化歸思想)及其涵義.最后，通過反思小結(jié)等活動強化學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的體悟，將數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化.

從學(xué)生層面考慮，學(xué)生的活動不能僅停留在如何做的層面，更要關(guān)注活動背后的數(shù)學(xué)思想方法，在解決具體問題的活動中掌握數(shù)學(xué)的一般方法，從而達到舉一反三、觸類旁通，形成對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認識.因此，學(xué)生活動的暗線可以是“具體數(shù)學(xué)活動——數(shù)學(xué)的一般思想方法——認清本質(zhì)正向遷移”，以此將學(xué)生的活動也上升到思維層面，讓學(xué)生在活動中既獲得數(shù)學(xué)知識又提升數(shù)學(xué)思想.

4 優(yōu)化“明線”和“暗線”提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性

數(shù)學(xué)教學(xué)實踐已告訴我們，數(shù)學(xué)教學(xué)無論采用何種運行方式，都要以學(xué)生能有效理解知識領(lǐng)悟思想為目的，以教師是否真正“理解數(shù)學(xué)”為首要基礎(chǔ).教師不能滿足于對教材中概念定理的掌握和應(yīng)用，而要站在數(shù)學(xué)思維的高度深入挖掘知識發(fā)生發(fā)展過程和所蘊含的數(shù)學(xué)思想，站在學(xué)生的角度思考如何將數(shù)學(xué)知識加以重組和再創(chuàng)造，以條理清晰富有“靈魂”的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，這也是“教學(xué)有法、教無定法、貴在得法”的內(nèi)涵.數(shù)學(xué)學(xué)科的特點決定數(shù)學(xué)教學(xué)的特點，數(shù)學(xué)教學(xué)“法”存在于數(shù)學(xué)知識或數(shù)學(xué)學(xué)科之中，關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)教師能否“獲得”.

由于教學(xué)一方面要遵循數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的邏輯和學(xué)生心理邏輯的自然規(guī)律，因此數(shù)學(xué)教學(xué)要優(yōu)化“明線”，基于數(shù)學(xué)的本質(zhì)設(shè)計教學(xué)，以整體帶動部分，由過程到結(jié)果，幫助學(xué)生將靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生頭腦中有意義的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生真正做到理解知識；另一方面，數(shù)學(xué)教學(xué)除了要關(guān)注教學(xué)的邏輯性外，還要關(guān)注知識的思想性，讓學(xué)生建構(gòu)知識的同時領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，因此數(shù)學(xué)教學(xué)還應(yīng)優(yōu)化“暗線”，用一般性的數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)知識促進學(xué)生的遷移學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的思想境界，讓學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界”，并逐步形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).總而言之，數(shù)學(xué)教學(xué)需要謀篇布局，需要精心構(gòu)思教學(xué)的“明線”和“暗線”，需要“突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法”[5]，并以此為基礎(chǔ)優(yōu)化師生的教學(xué)活動，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性.